第十四章 整式的乘法与因式分解解答题专项特训（含解析）

第十四章整式的乘法与因式分解解答题专项特训-数学八年级上册人教版
1．已知方程的解与方程的解互为相反数，求：
(1)m的值；
(2)代数式的值．
2．已知，．
(1)求和；
(2)若，求的代数式；
(3)在（2）的条件下，当的代数式值为时，求的值．
3．（1）已知．求下列各式的值：
①；
②．
（2）已知，比较a，b，c，d的大小．
4．阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：
．
(1)上述分解因式的方法是__________，共应用了________次；
(2)若分解，则需应用上述方法_______次，结果是________．
(3)分解因式：（为正整数）．
5．先分解因式，再求值:，其中．
6．学校准备在校运动会开幕式上进行大型队列展示，通过变换队形，摆出不同造型，8路纵队（每路人数相同）进场，队列在主席台前一分为二，使两边的人数相同；接着，从一边走出96位学生到另一边，这时两边的学生刚好可以各自组成一个正方形队列．问这次队列展示至多需要多少名学生？
7．阅读并解答：对于多项式，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为，由此可断定多项式中有因式，（注：把代入多项式，能使多项式的值为，则多项式一定含有因式），于是我们可以把多项式写成：，分别求出，后代入，就可以把多项式因式分解．
(1)求式子中，的值；
(2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式．
8．阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式，
即是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．
如：（1）；
（2）．
请你仿照上述方法，把多项式分解因式：．
9．阅读理解：把多项式分解因式．
解法一：．
解法二：．
(1)分解因式：；
(2)已知：，，为三角形的三边长，且，试判断三角形的形状．
10．如图是一个长为、宽为的长方形（其中，均为正数，且），沿图中虚线用剪刀均匀分成四块相同小长方形，然后按图方式拼成一个大正方形．
(1)你认为图中大正方形的边长为________；小正方形（阴影部分）的边长为________．（用含、的代数式表示）
(2)仔细观察图，请你写出下列三个代数式：，，所表示的图形面积之间的相等关系，并选取适合、的数值加以验证．
(3)已知，．求代数式的值．
11．已知与的积不含的项，也不含的项，求的值．
12．已知关于x的多项式因式分解后有一个因式是．
(1)求m的值；
(2)将该多项式因式分解．
13．阅读材料：若，求m、n的值．
解：，
，，，∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求的值．
(2)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的值．
14．学习了无理数后，老师教了同学们一种估算无理数的近似值的新方法．
例如：估算的近似值．
，
设，显然，
，
，
，
，
，
，
．
故的值在与之间．
问题：
(1)请你依照上面的方法，估算的近似值在______与______之间；
(2)对于任意一个大于1的无理数，若的整数部分为，小数部分为，请用含，的代数式表示的大致范围．
15．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为． 若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．
(1)直接用含a，b的代数式分别表示图、：则： ， ；
(2)若，，求的值；
(3)当时，求出图3中阴影部分的面积．
16．上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：．
，
当时，的值最小，最小值是0．
．
当时，的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
(1)知识再现：当__________时，代数式的最小值是__________；
(2)知识运用：若，当__________时，有最__________值（填“大”或“小”），这个值是__________；
(3)知识拓展：若，求的最小值．
17．小华的数学老师在数学课上给学生归纳了如下结论：“幂的形式的数之间的大小比较，可以通过统一底数，比较指数或者统一指数，比较底数来确定数之间的大小关系．”
请结合你的理解作答下列问题：
(1)比较与的大小；
(2)比较与的大小．
18．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题：
(1)求的值；
(2)若，，，求的值；
(3)若运算的结果为810，则t的值是多少？
19．将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和．已知小长方形纸片的长为，宽为，且．
(1)当，，时，长方形的面积是______，的值为______；
(2)当时，请用含、的式子表示的值；
(3)若长度保持不变，变长，将这张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当、满足什么关系时，的值与的长度无关？
20．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法“3+3”分法等．
如“2+2”分法：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)分解因式：；
(3)分解因式：．
参考答案：
1．(1)；
(2)
【分析】（1）先求出方程的解，再利用相反数的定义以及方程解的定义，即可求出未知数的值；
（2）将（1）问中求出的m的值代入，逆用同底数幂相乘的法则求得代数式的值．
【详解】（1）解：解方程得，，
根据题意得，是方程的解，
∴，
解得；
（2）解：将代入得：
．
【点睛】本题考查考查解含字母系数的一元一次方程，同底数幂相乘的逆用，掌握解一元一次方程的步骤是关键．
2．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）按照整式的除法法则计算，按照平方差公式计算；
（2）由已知条件推出，把，分别代入计算即可；
（3）根据题意得出，算出的值，再根据已知进而即可求出答案．
【详解】（1）
（2）
（3）由（2）得：
【点睛】本题主要考查了整式的乘除运算，熟练掌握相关的运算法则是解本题的关键．
3．（1）①13；②1；（2）．
【分析】（1）①根据完全平方公式的变形，即可求解；②根据完全平方公式的变形，即可求解；
（2）根据幂的乘方的逆运算计算，即可求解．
【详解】解：（1） ①；
②．
(2)因为，，，，
所以．
所以．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，幂的乘方的逆运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4．(1)提公因式法，2
(2)2007，
(3)
【分析】（1）根据已知材料直接回答即可；
（2）利用已知材料进而提取公因式，找到规律，进而得出答案；
（3）根据（2）中的规律即可得出答案．
【详解】（1）
第1次提公因式，
第2次提公因式，
，
故答案为：提公因式法，2；
（2），运用0次提公因式；
，运用1次提公因式；
，运用2次提公因式；
，运用3次提公因式；
，
依次类推：，运用2007次提公因式；
故答案为：2007，；
（3）结合（2）中的规律可知：．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
5．，0
【分析】提公因式，然后将字母的值代入进行计算即可求解．
【详解】解：
，
当时，
原式
【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
6．这次队列展示至多需要296名学生
【分析】设各自组成正方形队列的边长分别为x人和y人（x、y为正整数，且），根据题意列出方程，写出和可能的值，然后分情况计算出做出判断即可．
【详解】解：设各自组成正方形队列的边长分别为x人和y人（x、y为正整数，且），
∴，，
∴和的值可能为96和1，48和2，24和4，16和6，12和8，
∵和的奇偶性相同，
∴和的值为24和4，48和2，16和6，12和8，
①，解得，
∴；
②，解得，
∴；
③，解得，
∴；
④，解得，
∴
∵1154和146不能被8整除，舍去，，
这次队列展示至多需要296名学生，
答：这次队列展示至多需要296名学生．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的知识及分类讨论的思想是解题的关键．
7．(1)
(2)
【分析】（1）根据，得出有关m，n的方程求出即可；
（2）由把代入，得其值为0，则多项式可分解为的形式，进而将多项式分解得出答案．
【详解】（1）解：∵
，
∴，
∴，
解得；
（2）解：当 时，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了因式分解的运用，掌握多项式乘多项式法则是解题的关键．
8．
【分析】仿照题意运用进行分解因式即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键．
9．(1)
(2)三角形是等腰三角形
【分析】（1）仿照题意进行分解因式即可；
（2）先把分解因式变为，进而求出，则三角形是等腰三角形．
【详解】（1）解：
；
（2）解：三角形是等腰三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，为三角形的三边长，
∴三角形是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了因式分解，等腰三角形的定义，熟知分组分解因式的方法是解题的关键．
10．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）直接观察图形得出；
（2）根据大正方形的面积=4个长方形的面积+小正方形的面积即可得出答案；
（3）将，代入（2）中关系式中求解得到符合题意的答案即可．
【详解】（1）解：由题图可知，大正方形的边长为，
小正方形（阴影部分）的边长为；
故答案为：，；
（2）解：∵大正方形的面积=4个长方形的面积+小正方形的面积，
∴；
例如：当，时，
，
，
；
（3）解：∵，，
∴，
∴，则，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的图形应用，完全平方公式的应用，解此题的关键在于准确理解题中图形的各个选项边与面积关系．
11．
【分析】由题意得，，由积不含的项，也不含的项，可得，计算求解的值，然后代入求解即可．
【详解】解：由题意得，
积不含的项，也不含的项，
∴，解得，
∴．
∴的值为1．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，多项式的项，代数式求值，解二元一次方程组等知识．解题的关键在于正确的运算．
12．(1)；
(2)．
【分析】（1）由于x的多项式分解因式后有一个因式是，所以当时多项式的值为0，由此得到关于m的方程，解方程即可求出m的值；
（2）把m的值代入，再利用十字相乘法进行因式分解，即可求出答案．
【详解】（1）解：∵x的多项式分解因式后有一个因式是，
当时多项式的值为0，
即，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
【点睛】本题主要考查因式分解的意义和方法，关键是根据关于x的多项式因式分解后有一个因式是得出当时多项式的值为0．
13．(1)9
(2)2
【分析】（1）根据求出x、y的值，代入计算即可；
（2）根据，应用因式分解的方法，判断出，求出a、b的值，然后根据三角形的三条边的关系，求出c的值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵c为正整数，
∴．
【点睛】本题考查配方法的应用，以及三角形三条边的关系，解答本题的关键是明确配方法、会用配方法解答问题．
14．(1)，；
(2)
【分析】（1）仿照题干的方法解决问题，即可得到答案；
（2）仿照题干的方法解决问题，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
设，显然，
，
，
，
，
，
．
．
的值在与之间，
故答案为：，；
（2）解：根据题意可知，，显然，
，
，
．
，
，
．
【点睛】本题考查了无理数的大小估算，涉及完全平方公式等知识，理解题目中的解题方法是解题关键．
15．(1)，；
(2)25
(3)14
【分析】（1）根据题意由图可知：，；
（2）根据题意由已知可得；
（3）根据题意由图可知：，再由即可求解．
【详解】（1）由图可得，，；
故答案为：，；
（2）根据题意由图可知：；
，，
；
（3）根据题意由图可知： ，
，
．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景；熟练掌握完全平方公式，并能灵活运用公式是解题的关键．
16．(1)3，3
(2)1，大，
(3)
【分析】（1）配方后即可确定最小值；
（2）将所给式子配方后即可确定当取何值时能取到最大值；
（3）首先表示出，然后配方确定最小值即可．
【详解】（1）解：，
当时，有最小值3；
故答案为：3，3．
（2），
当时有最大值；
故答案为：1，大，．
（3），
，
，
，
当时，的最小值为．
【点睛】本题考查了完全平方公式及非负数的性质，解题的关键是能够对二次三项式进行配方，难度不大．
17．(1)；
(2)；
【分析】（1）先逆用幂的乘方的运算法则化简，统一底数，比较指数的大小即可解答；
（2）先逆用同底数幂的乘法法则化简，统一指数，比较底数的大小即可解答．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了同底数幂的运算法则，幂的乘方的运算法则，有理数的大小比较，掌握同底数幂的运算法则及幂的乘方的运算法则是解题的关键．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解；
（2）根据新定义进行计算，得出，将已知式子的值代入进行计算即可求解；
（3）根据新定义，列出方程，根据同底数幂的以及幂的乘方运算进行计算即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：当，，时，
；
（3）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
解得：．
【点睛】本题考查了幂的乘法与同底数幂的乘法，理解新定义，掌握幂的乘法与同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据长方形的面积公式，直接计算即可；求出和的面积，相减即可；
（2）用含的式子表示出和的面积，即可求得结论；
（3）用含的式子表示出，根据的值与的值无关，整理后，让的系数为0即可．
【详解】（1）长方形的面积为；
；
故答案为：；
（2）
；
（3）∵，
整理，得：，
∵的值与的值无关，
∴，
解得：．
即满足的关系是
【点睛】此题考查了整式的混合运算，列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．(1)）；
(2)；
(3)．
【分析】利用分组分解法、公式法进行因式分解．
【详解】（1）解：
=；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查的是分组分解法因式分解，掌握分组分解法、公式法的一般步骤是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()