人教版2023-2024年数学八年级第一学期期末扫盲清障复习卷——13.1轴对称
数学考试
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．下列图形中．轴对称图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2． 有无数条对称轴的图形是（ ）
A．线段 B．等边三角形 C．正方形 D．圆
3．（2024八上·浏阳期中）在如图的三角形纸片中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
4．（2023八上·洞口期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则（ ）
A． B． C． D．
5． 如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝3，则BE＝（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1.5
6．如图，直线、相交于点，点是直线外一点，在直线、上找一点，使为一个等腰三角形．满足条件的点有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．如图，中，，AD平分，，，垂足分别是E、F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到B、C的距离相等；②AD任意一点到AB、AC的距离相等；③且；④．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③④ D．①②③④
8．（2023八上·苍溪期中）如图，已知，，点P是AB上的一点，连结CP，将沿CP所在直线折叠，点A落在点M处，连结MB，MD．若，，则（ ）
A．24° B．24.5° C．25° D．25.5°
9．（2023八上·哈尔滨月考）下列说法中，正确的有（ ）个
①两个全等的三角形一定关于某直线对称；
②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分；
③等腰三角形的高、中线、角平分线互相组合；
④到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点；
⑤的三边为a，b，c，且满足关系，则为等边三角形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2023八上·青秀月考）已知：是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边的内部时，那么和的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
阅卷人 二、填空题
得分
11． 如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为 ．
12． 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，则△AEG的周长为 ．
13．（2023八上·吉林期中）如图，直线l1、l2分别垂直平分线段AB、BC交于点O，直线l1交BC于点E．若∠AOC=72°，则∠DOE= °.
14． 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将△ACD沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则∠B等于 °．
15．如图，在等腰中，，点M，N分别是边，上的动点，与关于直线对称，点B的对称点为．当且时，若，则的面积为 .
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、作图题
得分
16．（2023八上·呈贡期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，3），B（-1，1），C（-5，-3）．
画出△ABC关于y轴成轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
请直接写出△A1B1C1的面积；
在y轴上找一点P，使PA＝PB，并写出点P的坐标．
阅卷人 四、解答题
得分
17．（2024八上·浏阳期中）在等边△ABC中，点D是边BC上一点．作射线AD，点B关于射线AD的对称点为点E．连接CE并延长，交射线AD于点F．
（1）如图①，连接AE，
①AE与AC的数量关系是 ▲ ；
②设∠BAF＝a，用a表示∠BCF的大小；
（2）如图②，用等式表示线段AF，CF，EF之间的数量关系，并证明．
18．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点.
（1）若，则的度数是 ；若，则的度数是 ；
（2）你认为与有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）连接，若，的周长是16cm，求的长；
（4）点是边上的中点，连接，与直线相交于点，点到三个顶点的距离有怎样的关系？请说明理由.
19．（2021八上·济宁月考）在中为直角，，为外一点，且，交延长线于点，探求，，之间有何数量关系．
20．已知△ACD中，AC＝AD，∠CAD＝α，将点C关于直线AP对称，得到点B
（1）连接BD，
①依题意，在图1中补全图形；
②若α＝80°，则∠BDC的度数为 ▲ ；
③当α的度数发生变化时，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数，请说明理由．
（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，DE．若α＝90°．求证：CE⊥ED．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，
（1）求∠ECF的度数；
（2）若CE＝4，B′F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积．
22．如图，
∠BAC的角平分线与线段BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）求证：AB﹣AC＝2BE．
23．（2021八上·盐都月考）如图，ABC的边BC的垂直平分线DE交ABC的外角平分线AD于点D，DF⊥AB于点F，且AB＞AC，试探究BF、AC、AF之间的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解： 轴对称图形有第二、三两幅图形，共2个；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形的定义判定即可。
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】∵线段有2条对称轴；等边三角形有3条对称轴；正方形有4条对称轴；圆有无数条对称轴；
∴有无数条对称轴的图形是圆，
故答案为：D.
【分析】先分别求出各项图形的对称轴的数量，再求解即可.
3．【答案】C
【知识点】轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠性质知：DE=DC，BE=BC，
∴AE=AB-BE=AB-BC=8-6=2(cm)，AD+DE=AD+DC=AC=5cm，
∴△AED的周长为 ：AE+AD+DE=2+5=7（cm）。
故答案为：C。
【分析】首先根据折叠的性质得出DE=DC，BE=BC，进而可求得AE=2cm，AD+DE=5cm，从而得出△AED的周长为 ：7cm，即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ，若.
==.
的垂直平分线交于点D，交于点E，
AE=DE.
，
是的外角.
C正确，A，B，D错误.
故答案为：C.【分析】由等腰三角形的性质求，再根据垂直平分线的性质求出，根据外角定理求出即可.
5．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接CD，BD
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE
∴AE=AF
∵DG是BC的垂直平分线
∴CD=BD
在Rt△CDF和Rt△BDE中
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）
∴BE=CF
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE
∵AB=6，AC=3
∴BE=1.5
故答案为：D
【分析】连接CD，BD，根据角平分线性质可得AE=AF，根据线段垂直平分线性质可得CD=BD，再根据全等三角形判定定理可得Rt△CDF≌Rt△BDE，则BE=CF，再进行边之间的转换即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
7．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①垂直平分线上的点 到线段两端点的距离相等，因此①正确；②角平分线上的点 到角两边的距离相等，因此②正确；③等腰三角形三线合一，因此③正确；④∠B+∠BDE=∠C+∠CDF=90°，∠B=∠C,则∠BDE=∠CDF，因此④正确；则正确的有①②③④
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形三线合一、垂直平分线的性质、角平分线的性质、解题即可。
8．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接PM并延长交CD于点E，
由折叠与平行线的性质可知：∠CME=∠CMP=∠A=90°，∠2=∠3，
∵∠2=∠1+∠D，∠B＝∠D，
∴∠3=∠1+∠B=∠CMD-90°+180°-∠3-∠PMB，
∴2∠3=90°+∠CMD-∠PMB=102°，
∴∠3=51°，
∴，
∴∠ACP=90°-∠APC=90°-64.5°=25.5°，
故答案为：D。
【分析】连接PM并延长交CD于点E，根据折叠的性质、平行线的性质和三角形内角和定理求出∠APC的值，并进一步得到∠ACP的值．
9．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：①两个全等三角形不一定关于某条直线对称，故①错误；
②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分，故②正确；
③等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线三线合一，故③错误；
④到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点，故④正确；
⑤∵（a-b）（b-c）（c-a）=0，∴a=b或b=c或c=a，则△ABC为等腰三角形，故⑤错误；
∴正确的有2个．
故答案为：B.
【分析】 根据轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，判断①错误、②正确；
根据等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线三线合一，判断③错误；
根据线段的垂直平分线的性质：到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点，判断④正确；
根据条件得a=b，b=c或c=a，则△ABC为等腰三角形，判断⑤错误．
10．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AO，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠BAC）
=90°+∠BAC，
∵点O是三边垂直平分线的交点，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，
∴∠AOB=180°-2∠OAB，∠AOC=180°-2∠OAC，
∴∠BOC=360°-（∠AOB+∠AOC）
=360°-（180°-2∠OAB+180°-2∠OAC）
=2∠OAB+2∠OAC
=2∠BAC，
即∠BAC=∠BOC
∴∠PBC=90°+×∠BOC
4∠PBC=360°+∠BOC
∴4∠BPC-∠BOC=360°.
故答案为：D.
【分析】 连接AO，根据角平分线的定义、三角形内角和定理得到∠BPC=90°+∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OB=OC，进而根据等边对等角、三角形的内角和定理及周角定义得到∠BOC=2∠BAC，转化代入即可得到答案．
11．【答案】19
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】根据题意可得MN垂直平分BC，
∴BD=CD，
∵AC=12，AB=7，
∴C△ABD=AD=DB+AB=AD+DC+AB=AC+AB=19，
故答案为：19.
【分析】利用垂直平分线的性质可得BD=CD，再利用三角形的周长公式及等量代换可得C△ABD=AD=DB+AB=AD+DC+AB=AC+AB=19.
12．【答案】11
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，
∴BE=AE，AG=CG，
∴C△AEG=AE+EG+AG=BE+EG+CG=BC=11，
故答案为：11.
【分析】利用垂直平分线的性质可得BE=AE，AG=CG，再利用三角形的周长公式及等量代换可得C△AEG=AE+EG+AG=BE+EG+CG=BC=11.
13．【答案】36
【知识点】余角、补角及其性质；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接BO并延长，点F是延长线上一点，
∵l1是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO，
∵l2是BC的垂直平分线，
∴OB=OC，
∴∠CBO=∠BCO，
∴∠AOF=∠ABO+∠BAO=2∠ABO，∠COF=∠CBO+∠BCO=2∠CBO，
∴∠AOF+∠COF=2∠ABO+2∠CBO=2（∠ABO+∠CBO），
∴∠AOC=2∠ABC=72°，
∴∠ABC=36°，
∵∠ABC=90°-∠BEO，∠DOE=90°-∠BEO，
∴∠DOE= ∠ABC=36°。
故答案为：36.
【分析】连接BO并延长，点F是延长线上一点，根据中垂线的性质，得出OA=OB，OB=OC，从而得出∠ABO=∠BAO，∠CBO=∠BCO，再根据三角形外角的性质，得出∠AOF=2∠ABO，∠COF=2∠CBO，从而得出∠AOC=2∠ABC=72°，可求得∠ABC=36°，再根据 ∠DOE 和∠ABC都是∠BEO的余角，从而得出 ∠DOE= 36°。
14．【答案】20
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将△ACD沿AD折叠，点C恰好与点E重合
∴
∵BD的垂直平分线交AB于点E
∴BE=DE
∴
∴
在△ABC中
解得：∠B=20°
故答案为：20
【分析】根据折叠性质可得，再根据线段垂直平分线性质可得，则，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的性质
【解析】【解答】解：过点M作ME⊥AC于点H，则∠MEC=90°，
∵与关于直线对称， ，
∴∠BMN=∠B'MN=15°，
∵∠B=45°，
∴∠CNB=∠B+∠BMN=60°，
∵CN=MN，
∴△CMN为等边三角形，
∴∠MCN=60°，
∴∠ACM=∠ACB-∠MCN=90°-60°=30°，
∴ME=MC，
∴ △AMC的面积为= AC·ME=BC·CM=BC·CM=×2=.
故答案为：.
【分析】过点M作ME⊥AC于点H，则∠MEC=90°，由折叠可得∠BMN=∠B'MN=15°，再证△CMN为等边三角形，可得∠MCN=60°，从而求出∠ACM=∠ACB-∠MCN=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得ME=MC，根据△AMC的面积为= AC·ME=BC·CM=BC·CM即可求解.
16．【答案】解：如图；△A1B1C1即为所求，点A1（3，3）；
△A1B1C1的面积为；
如图：点P即为所求，P（0，4）
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征，即可得出点A，B，C三点的对称点的坐标，然后顺次连接即可得到 关于y轴成轴对称的△A1B1C1；
（2）把△A1B1C1的面积转化为矩形的面积与三角形的面积的差来求即可；
（3）根据网格特征作AB的垂直平分线交y轴于点P，即可得出点P的坐标。
17．【答案】（1）解：①∵点B关于射线AD的对称点为E，
∴AE＝AB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，
∴AE＝AC．
故答案为：AE＝AC．
②解：∵∠BAF＝∠EAF＝α，△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠EAC＝60°﹣2α，AE＝AC，
∴∠ACE＝ [180°﹣（60°﹣2α）]＝60°+α，
∴∠BCF＝∠ACE﹣∠ACB＝60°+α﹣60°＝α．
（2）解：结论：AF＝EF+CF．
证明：如图，作∠FCG＝60°交AD于点G，连接BF．
∵∠BAF＝∠BCF＝α，∠ADB＝∠CDF，
∴∠ABC＝∠AFC＝60°，
∴△FCG是等边三角形，
∴GF＝FC，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ACG＝∠BCF＝α，
在△ACG和△BCF中，
，
∴△ACG≌△BCF（SAS）．
∴AG＝BF，
∵点B关于射线AD的对称点为E，
∴BF＝EF，
∴AF﹣AG＝GF，
∴AF＝EF+CF．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）①根据轴对称性质可得AB=AE，再根据等边三角形的性质可得AB=AC，进而得到AE=AC；
②首先根据轴对称性质得出∠BAF＝∠EAF＝α，根据等边三角形的性质得出∠BAC=∠BCA=60°，从而得出∠EAC=60°-2α，由①知AE=AC，从而得出∠ACE=∠AEC=60°+α，故而得出∠BCF＝∠ACE﹣∠AC＝α；
（2）如图，作∠FCG＝60°交AD于点G，连接BF，由（1）②知∠BAF＝∠BCF＝α，故而得出∠ABC＝∠AFC＝60°，从而可判定△CFG是等边三角形，故而GF＝FC，然后再根据SAS证得△ACG≌△BCF，由全等三角形性质得出AG=BF，又根据对称性可知EF=BF，故而AG=EF，即可得出AF=GF+AG=EF+CF.
18．【答案】（1）50°；70°
（2）解：
理由：∵，∴，
∴，∴.
∵，∴，
在中，，
∴，∴
（3）解：∵是的垂直平分线，点在上，
∴，的周长是16cm，即，
∵，∴.
（4）解：.
理由：如图，
∵，是边的中点，∴，
∴是的垂直平分线
∵点在上，∴，
又∵垂直平分，点在上，
∴，∴.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵在中，，
∴
∴
∵的垂直平分线交于点，交于点.
∴=90°-40°=50°
当，则
∴=90°-20°=70°
故答案为： 50° ，70° ．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得三角形内角和定理求得，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解．
（2）根据（1）的方法，即可求解．
（3）根据垂直平分线的性质可得，进而根据即可求解．
（4）根据题意可得 是的垂直平分线 进而可得 ， 又 垂直平分，点在上， 则，即可得出结论．
19．【答案】解：猜想：，理由如下：
连接，
∵，，
∴在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】首先连接CD，由AC=BC，AD=BD，可得CD是AB的垂直平分线，又由∠ACB=90°，易得三角形CDE是等腰直角三角形，继而证得结论。
20．【答案】（1）①解：如图所示；
；
②30°；
③解：∠BDC的大小不变，理由如下：
∵AC＝AD，∠CAD＝α，
∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，
∵∠PAC＝30°，将点C关于直线AP对称，
∴∠PAB＝∠PAC＝30°，AB＝AC，
∴∠BAD＝60°+α，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°﹣α，
∴∠BDC＝30°；
（2）证明：过点A作AH⊥CD于H，连接EH，
∵AC＝AD，∠CAD＝90°，
∴AH＝CH＝DH，
∵∠B＝∠ACD，AB＝AC，
∴△ABE≌△ACH（AAS），
∴AE＝AH，∠BAE＝∠CAH＝45°，
∴∠BAC＝2∠PAC＝60°＝∠EAH，
∴△AEH是等边三角形，
∴EH＝AH＝CH＝DH，
∴∠CED＝90°，
∴CE⊥DE．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： ②
故填：30°
【分析】（1）根据题意补全图形；求∠BDC的度数，观察图形发现它为的差，根据给定的相等线段，计算出底角ADC，再根据对称性质，得到另一等腰三角形的底角ADB，故∠BDC的度数可求；α的度数发生变化时，∠BDC的大小不变，根据上一问的思路，将80°角替换成α即可得到∠BDC=30°，故∠BDC的大小不变；（2）考虑刚刚学过斜边中线定理的逆定理即如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，恰好题中有等腰三角形，作底边的高即可得到底边中线，故尝试用此定理证明；按此思路过点A作AH⊥CD于H，连接EH ；在证明EH是CD的一半时，通过斜边中线定理和全等三角形的性质进行等量代换从而证得△AEH是等边三角形，这是本题证明的一个关键点，整理思路，书写证明过程即可。
（审核老师，这套题题目中缺失信息较多，根据网查补全题目做的解答，但不知是否与出题者意图相符，如有不妥之处，请说明并退回，感谢。）
21．【答案】（1）解：由折叠可得，∠ACE＝∠DCE＝∠ACD，∠BCF＝∠B'CF＝∠BCB'，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCB'＝90°，
∴∠ECD+∠FCD＝×90°＝45°，
即∠ECF＝45°；
（2）解：由折叠可得：∠DEC＝∠AEC＝90°，BF＝B'F＝1，
∴∠EFC＝45°＝∠ECF，
∴CE＝EF＝4，
∴BE＝4+1＝5，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC＝
设AE＝x，则AB＝x+5，
∵Rt△ACE中，AC2＝AE2+CE2，
Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AE2+CE2＝AB2﹣BC2，
即x2+42＝（x+5）2﹣41，
解得：x＝，
∴AE＝，AB＝AE+BE＝+5＝
∴S△ABC＝
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用；轴对称的性质
【解析】【分析】⑴、由折叠（轴对称）知，三角形ACE和三角形DCE全等，三角形CBF全等于三角形B CF，所以∠ACE等于∠DCE，∠BCF等于∠B CF，故可知∠ECF等于二分之一的∠ACB，所以∠ECF可求；
⑵、由折叠知∠AEC等于∠DEC等于90度，且∠ECF等于45度，所以三角形ECF是等腰直角三角形，故EF等于EC等于4，所以EB等于5，直角三角形中由勾股定理可求CB长；三角形ABC是直角三角形且CB已经知道，所以求出AC的长，就可以求面积，利用共边直角三角形AEC和ACB，设 AE长从而建立方程求解，再求得AC长，从而求出三角形ABC的面积。
22．【答案】（1）证明：连接CD，如图
∵DG垂直平分BC，
∴BD＝CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF；
（2）证明：在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∵AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴AB﹣BE＝AC+CF，
即AB﹣AC＝2BE．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得BD=CD，再根据角平分线的性质得DE=DF，利用HL方法证明Rt△BDE≌Rt△CDF即可求得；
（2）利用HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF得AE＝AF，再根据（1）的结论及线段的和差即可求得.
23．【答案】解： ，理由如下：
如图，过点D作DG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接 ， ，
平分 ， ， ，
， ，
垂直平分 ，
，
在 和 中，
，
∴ ，
，
在 和 中，
，
∴ ，
．
，
∴ ．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】BF=AC+AF，理由如下： 如图，过点D作DG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接CD，DB，由角平分线上的点到角两边的距离相等可得DF=DG，∠AFD=∠AGD=∠BFD=90°，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得CD=BD，用HL定理可证Rt△AFD≌Rt△AGD，由全等三角形的性质得AF=AG，同理证Rt△BFD≌Rt△CGD，则BF=CG，然后由线段的构成可求解.
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人教版2023-2024年数学八年级第一学期期末扫盲清障复习卷——13.1轴对称
数学考试
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．下列图形中．轴对称图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解： 轴对称图形有第二、三两幅图形，共2个；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形的定义判定即可。
2． 有无数条对称轴的图形是（ ）
A．线段 B．等边三角形 C．正方形 D．圆
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】∵线段有2条对称轴；等边三角形有3条对称轴；正方形有4条对称轴；圆有无数条对称轴；
∴有无数条对称轴的图形是圆，
故答案为：D.
【分析】先分别求出各项图形的对称轴的数量，再求解即可.
3．（2024八上·浏阳期中）在如图的三角形纸片中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
【答案】C
【知识点】轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠性质知：DE=DC，BE=BC，
∴AE=AB-BE=AB-BC=8-6=2(cm)，AD+DE=AD+DC=AC=5cm，
∴△AED的周长为 ：AE+AD+DE=2+5=7（cm）。
故答案为：C。
【分析】首先根据折叠的性质得出DE=DC，BE=BC，进而可求得AE=2cm，AD+DE=5cm，从而得出△AED的周长为 ：7cm，即可得出答案。
4．（2023八上·洞口期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ，若.
==.
的垂直平分线交于点D，交于点E，
AE=DE.
，
是的外角.
C正确，A，B，D错误.
故答案为：C.【分析】由等腰三角形的性质求，再根据垂直平分线的性质求出，根据外角定理求出即可.
5． 如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝3，则BE＝（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1.5
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接CD，BD
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE
∴AE=AF
∵DG是BC的垂直平分线
∴CD=BD
在Rt△CDF和Rt△BDE中
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）
∴BE=CF
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE
∵AB=6，AC=3
∴BE=1.5
故答案为：D
【分析】连接CD，BD，根据角平分线性质可得AE=AF，根据线段垂直平分线性质可得CD=BD，再根据全等三角形判定定理可得Rt△CDF≌Rt△BDE，则BE=CF，再进行边之间的转换即可求出答案.
6．如图，直线、相交于点，点是直线外一点，在直线、上找一点，使为一个等腰三角形．满足条件的点有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
7．如图，中，，AD平分，，，垂足分别是E、F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到B、C的距离相等；②AD任意一点到AB、AC的距离相等；③且；④．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①垂直平分线上的点 到线段两端点的距离相等，因此①正确；②角平分线上的点 到角两边的距离相等，因此②正确；③等腰三角形三线合一，因此③正确；④∠B+∠BDE=∠C+∠CDF=90°，∠B=∠C,则∠BDE=∠CDF，因此④正确；则正确的有①②③④
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形三线合一、垂直平分线的性质、角平分线的性质、解题即可。
8．（2023八上·苍溪期中）如图，已知，，点P是AB上的一点，连结CP，将沿CP所在直线折叠，点A落在点M处，连结MB，MD．若，，则（ ）
A．24° B．24.5° C．25° D．25.5°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接PM并延长交CD于点E，
由折叠与平行线的性质可知：∠CME=∠CMP=∠A=90°，∠2=∠3，
∵∠2=∠1+∠D，∠B＝∠D，
∴∠3=∠1+∠B=∠CMD-90°+180°-∠3-∠PMB，
∴2∠3=90°+∠CMD-∠PMB=102°，
∴∠3=51°，
∴，
∴∠ACP=90°-∠APC=90°-64.5°=25.5°，
故答案为：D。
【分析】连接PM并延长交CD于点E，根据折叠的性质、平行线的性质和三角形内角和定理求出∠APC的值，并进一步得到∠ACP的值．
9．（2023八上·哈尔滨月考）下列说法中，正确的有（ ）个
①两个全等的三角形一定关于某直线对称；
②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分；
③等腰三角形的高、中线、角平分线互相组合；
④到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点；
⑤的三边为a，b，c，且满足关系，则为等边三角形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：①两个全等三角形不一定关于某条直线对称，故①错误；
②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分，故②正确；
③等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线三线合一，故③错误；
④到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点，故④正确；
⑤∵（a-b）（b-c）（c-a）=0，∴a=b或b=c或c=a，则△ABC为等腰三角形，故⑤错误；
∴正确的有2个．
故答案为：B.
【分析】 根据轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，判断①错误、②正确；
根据等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线三线合一，判断③错误；
根据线段的垂直平分线的性质：到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点，判断④正确；
根据条件得a=b，b=c或c=a，则△ABC为等腰三角形，判断⑤错误．
10．（2023八上·青秀月考）已知：是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边的内部时，那么和的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AO，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠BAC）
=90°+∠BAC，
∵点O是三边垂直平分线的交点，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，
∴∠AOB=180°-2∠OAB，∠AOC=180°-2∠OAC，
∴∠BOC=360°-（∠AOB+∠AOC）
=360°-（180°-2∠OAB+180°-2∠OAC）
=2∠OAB+2∠OAC
=2∠BAC，
即∠BAC=∠BOC
∴∠PBC=90°+×∠BOC
4∠PBC=360°+∠BOC
∴4∠BPC-∠BOC=360°.
故答案为：D.
【分析】 连接AO，根据角平分线的定义、三角形内角和定理得到∠BPC=90°+∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OB=OC，进而根据等边对等角、三角形的内角和定理及周角定义得到∠BOC=2∠BAC，转化代入即可得到答案．
阅卷人 二、填空题
得分
11． 如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为 ．
【答案】19
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】根据题意可得MN垂直平分BC，
∴BD=CD，
∵AC=12，AB=7，
∴C△ABD=AD=DB+AB=AD+DC+AB=AC+AB=19，
故答案为：19.
【分析】利用垂直平分线的性质可得BD=CD，再利用三角形的周长公式及等量代换可得C△ABD=AD=DB+AB=AD+DC+AB=AC+AB=19.
12． 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，则△AEG的周长为 ．
【答案】11
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，
∴BE=AE，AG=CG，
∴C△AEG=AE+EG+AG=BE+EG+CG=BC=11，
故答案为：11.
【分析】利用垂直平分线的性质可得BE=AE，AG=CG，再利用三角形的周长公式及等量代换可得C△AEG=AE+EG+AG=BE+EG+CG=BC=11.
13．（2023八上·吉林期中）如图，直线l1、l2分别垂直平分线段AB、BC交于点O，直线l1交BC于点E．若∠AOC=72°，则∠DOE= °.
【答案】36
【知识点】余角、补角及其性质；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接BO并延长，点F是延长线上一点，
∵l1是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO，
∵l2是BC的垂直平分线，
∴OB=OC，
∴∠CBO=∠BCO，
∴∠AOF=∠ABO+∠BAO=2∠ABO，∠COF=∠CBO+∠BCO=2∠CBO，
∴∠AOF+∠COF=2∠ABO+2∠CBO=2（∠ABO+∠CBO），
∴∠AOC=2∠ABC=72°，
∴∠ABC=36°，
∵∠ABC=90°-∠BEO，∠DOE=90°-∠BEO，
∴∠DOE= ∠ABC=36°。
故答案为：36.
【分析】连接BO并延长，点F是延长线上一点，根据中垂线的性质，得出OA=OB，OB=OC，从而得出∠ABO=∠BAO，∠CBO=∠BCO，再根据三角形外角的性质，得出∠AOF=2∠ABO，∠COF=2∠CBO，从而得出∠AOC=2∠ABC=72°，可求得∠ABC=36°，再根据 ∠DOE 和∠ABC都是∠BEO的余角，从而得出 ∠DOE= 36°。
14． 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将△ACD沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则∠B等于 °．
【答案】20
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将△ACD沿AD折叠，点C恰好与点E重合
∴
∵BD的垂直平分线交AB于点E
∴BE=DE
∴
∴
在△ABC中
解得：∠B=20°
故答案为：20
【分析】根据折叠性质可得，再根据线段垂直平分线性质可得，则，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
15．如图，在等腰中，，点M，N分别是边，上的动点，与关于直线对称，点B的对称点为．当且时，若，则的面积为 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的性质
【解析】【解答】解：过点M作ME⊥AC于点H，则∠MEC=90°，
∵与关于直线对称， ，
∴∠BMN=∠B'MN=15°，
∵∠B=45°，
∴∠CNB=∠B+∠BMN=60°，
∵CN=MN，
∴△CMN为等边三角形，
∴∠MCN=60°，
∴∠ACM=∠ACB-∠MCN=90°-60°=30°，
∴ME=MC，
∴ △AMC的面积为= AC·ME=BC·CM=BC·CM=×2=.
故答案为：.
【分析】过点M作ME⊥AC于点H，则∠MEC=90°，由折叠可得∠BMN=∠B'MN=15°，再证△CMN为等边三角形，可得∠MCN=60°，从而求出∠ACM=∠ACB-∠MCN=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得ME=MC，根据△AMC的面积为= AC·ME=BC·CM=BC·CM即可求解.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、作图题
得分
16．（2023八上·呈贡期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，3），B（-1，1），C（-5，-3）．
画出△ABC关于y轴成轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
请直接写出△A1B1C1的面积；
在y轴上找一点P，使PA＝PB，并写出点P的坐标．
【答案】解：如图；△A1B1C1即为所求，点A1（3，3）；
△A1B1C1的面积为；
如图：点P即为所求，P（0，4）
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征，即可得出点A，B，C三点的对称点的坐标，然后顺次连接即可得到 关于y轴成轴对称的△A1B1C1；
（2）把△A1B1C1的面积转化为矩形的面积与三角形的面积的差来求即可；
（3）根据网格特征作AB的垂直平分线交y轴于点P，即可得出点P的坐标。
阅卷人 四、解答题
得分
17．（2024八上·浏阳期中）在等边△ABC中，点D是边BC上一点．作射线AD，点B关于射线AD的对称点为点E．连接CE并延长，交射线AD于点F．
（1）如图①，连接AE，
①AE与AC的数量关系是 ▲ ；
②设∠BAF＝a，用a表示∠BCF的大小；
（2）如图②，用等式表示线段AF，CF，EF之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：①∵点B关于射线AD的对称点为E，
∴AE＝AB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，
∴AE＝AC．
故答案为：AE＝AC．
②解：∵∠BAF＝∠EAF＝α，△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠EAC＝60°﹣2α，AE＝AC，
∴∠ACE＝ [180°﹣（60°﹣2α）]＝60°+α，
∴∠BCF＝∠ACE﹣∠ACB＝60°+α﹣60°＝α．
（2）解：结论：AF＝EF+CF．
证明：如图，作∠FCG＝60°交AD于点G，连接BF．
∵∠BAF＝∠BCF＝α，∠ADB＝∠CDF，
∴∠ABC＝∠AFC＝60°，
∴△FCG是等边三角形，
∴GF＝FC，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ACG＝∠BCF＝α，
在△ACG和△BCF中，
，
∴△ACG≌△BCF（SAS）．
∴AG＝BF，
∵点B关于射线AD的对称点为E，
∴BF＝EF，
∴AF﹣AG＝GF，
∴AF＝EF+CF．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）①根据轴对称性质可得AB=AE，再根据等边三角形的性质可得AB=AC，进而得到AE=AC；
②首先根据轴对称性质得出∠BAF＝∠EAF＝α，根据等边三角形的性质得出∠BAC=∠BCA=60°，从而得出∠EAC=60°-2α，由①知AE=AC，从而得出∠ACE=∠AEC=60°+α，故而得出∠BCF＝∠ACE﹣∠AC＝α；
（2）如图，作∠FCG＝60°交AD于点G，连接BF，由（1）②知∠BAF＝∠BCF＝α，故而得出∠ABC＝∠AFC＝60°，从而可判定△CFG是等边三角形，故而GF＝FC，然后再根据SAS证得△ACG≌△BCF，由全等三角形性质得出AG=BF，又根据对称性可知EF=BF，故而AG=EF，即可得出AF=GF+AG=EF+CF.
18．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点.
（1）若，则的度数是 ；若，则的度数是 ；
（2）你认为与有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）连接，若，的周长是16cm，求的长；
（4）点是边上的中点，连接，与直线相交于点，点到三个顶点的距离有怎样的关系？请说明理由.
【答案】（1）50°；70°
（2）解：
理由：∵，∴，
∴，∴.
∵，∴，
在中，，
∴，∴
（3）解：∵是的垂直平分线，点在上，
∴，的周长是16cm，即，
∵，∴.
（4）解：.
理由：如图，
∵，是边的中点，∴，
∴是的垂直平分线
∵点在上，∴，
又∵垂直平分，点在上，
∴，∴.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵在中，，
∴
∴
∵的垂直平分线交于点，交于点.
∴=90°-40°=50°
当，则
∴=90°-20°=70°
故答案为： 50° ，70° ．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得三角形内角和定理求得，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解．
（2）根据（1）的方法，即可求解．
（3）根据垂直平分线的性质可得，进而根据即可求解．
（4）根据题意可得 是的垂直平分线 进而可得 ， 又 垂直平分，点在上， 则，即可得出结论．
19．（2021八上·济宁月考）在中为直角，，为外一点，且，交延长线于点，探求，，之间有何数量关系．
【答案】解：猜想：，理由如下：
连接，
∵，，
∴在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】首先连接CD，由AC=BC，AD=BD，可得CD是AB的垂直平分线，又由∠ACB=90°，易得三角形CDE是等腰直角三角形，继而证得结论。
20．已知△ACD中，AC＝AD，∠CAD＝α，将点C关于直线AP对称，得到点B
（1）连接BD，
①依题意，在图1中补全图形；
②若α＝80°，则∠BDC的度数为 ▲ ；
③当α的度数发生变化时，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数，请说明理由．
（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，DE．若α＝90°．求证：CE⊥ED．
【答案】（1）①解：如图所示；
；
②30°；
③解：∠BDC的大小不变，理由如下：
∵AC＝AD，∠CAD＝α，
∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，
∵∠PAC＝30°，将点C关于直线AP对称，
∴∠PAB＝∠PAC＝30°，AB＝AC，
∴∠BAD＝60°+α，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°﹣α，
∴∠BDC＝30°；
（2）证明：过点A作AH⊥CD于H，连接EH，
∵AC＝AD，∠CAD＝90°，
∴AH＝CH＝DH，
∵∠B＝∠ACD，AB＝AC，
∴△ABE≌△ACH（AAS），
∴AE＝AH，∠BAE＝∠CAH＝45°，
∴∠BAC＝2∠PAC＝60°＝∠EAH，
∴△AEH是等边三角形，
∴EH＝AH＝CH＝DH，
∴∠CED＝90°，
∴CE⊥DE．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： ②
故填：30°
【分析】（1）根据题意补全图形；求∠BDC的度数，观察图形发现它为的差，根据给定的相等线段，计算出底角ADC，再根据对称性质，得到另一等腰三角形的底角ADB，故∠BDC的度数可求；α的度数发生变化时，∠BDC的大小不变，根据上一问的思路，将80°角替换成α即可得到∠BDC=30°，故∠BDC的大小不变；（2）考虑刚刚学过斜边中线定理的逆定理即如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，恰好题中有等腰三角形，作底边的高即可得到底边中线，故尝试用此定理证明；按此思路过点A作AH⊥CD于H，连接EH ；在证明EH是CD的一半时，通过斜边中线定理和全等三角形的性质进行等量代换从而证得△AEH是等边三角形，这是本题证明的一个关键点，整理思路，书写证明过程即可。
（审核老师，这套题题目中缺失信息较多，根据网查补全题目做的解答，但不知是否与出题者意图相符，如有不妥之处，请说明并退回，感谢。）
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，
（1）求∠ECF的度数；
（2）若CE＝4，B′F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积．
【答案】（1）解：由折叠可得，∠ACE＝∠DCE＝∠ACD，∠BCF＝∠B'CF＝∠BCB'，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCB'＝90°，
∴∠ECD+∠FCD＝×90°＝45°，
即∠ECF＝45°；
（2）解：由折叠可得：∠DEC＝∠AEC＝90°，BF＝B'F＝1，
∴∠EFC＝45°＝∠ECF，
∴CE＝EF＝4，
∴BE＝4+1＝5，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC＝
设AE＝x，则AB＝x+5，
∵Rt△ACE中，AC2＝AE2+CE2，
Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AE2+CE2＝AB2﹣BC2，
即x2+42＝（x+5）2﹣41，
解得：x＝，
∴AE＝，AB＝AE+BE＝+5＝
∴S△ABC＝
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用；轴对称的性质
【解析】【分析】⑴、由折叠（轴对称）知，三角形ACE和三角形DCE全等，三角形CBF全等于三角形B CF，所以∠ACE等于∠DCE，∠BCF等于∠B CF，故可知∠ECF等于二分之一的∠ACB，所以∠ECF可求；
⑵、由折叠知∠AEC等于∠DEC等于90度，且∠ECF等于45度，所以三角形ECF是等腰直角三角形，故EF等于EC等于4，所以EB等于5，直角三角形中由勾股定理可求CB长；三角形ABC是直角三角形且CB已经知道，所以求出AC的长，就可以求面积，利用共边直角三角形AEC和ACB，设 AE长从而建立方程求解，再求得AC长，从而求出三角形ABC的面积。
22．如图，
∠BAC的角平分线与线段BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）求证：AB﹣AC＝2BE．
【答案】（1）证明：连接CD，如图
∵DG垂直平分BC，
∴BD＝CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF；
（2）证明：在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∵AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴AB﹣BE＝AC+CF，
即AB﹣AC＝2BE．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得BD=CD，再根据角平分线的性质得DE=DF，利用HL方法证明Rt△BDE≌Rt△CDF即可求得；
（2）利用HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF得AE＝AF，再根据（1）的结论及线段的和差即可求得.
23．（2021八上·盐都月考）如图，ABC的边BC的垂直平分线DE交ABC的外角平分线AD于点D，DF⊥AB于点F，且AB＞AC，试探究BF、AC、AF之间的数量关系，并说明理由．
【答案】解： ，理由如下：
如图，过点D作DG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接 ， ，
平分 ， ， ，
， ，
垂直平分 ，
，
在 和 中，
，
∴ ，
，
在 和 中，
，
∴ ，
．
，
∴ ．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】BF=AC+AF，理由如下： 如图，过点D作DG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接CD，DB，由角平分线上的点到角两边的距离相等可得DF=DG，∠AFD=∠AGD=∠BFD=90°，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得CD=BD，用HL定理可证Rt△AFD≌Rt△AGD，由全等三角形的性质得AF=AG，同理证Rt△BFD≌Rt△CGD，则BF=CG，然后由线段的构成可求解.
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