江苏省常州市前黄名校2023-2024高三上学期期中适应性考试 数学（原卷版+解析版）

江苏省前黄中学2024届高三第一学期期中适应性考试
数学答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求.
1. 已知集合，，则=（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意求出集合，然后直接求出二者的交集即可.
【详解】时，所以集合，
同理可得，故
故选：D.
2. 是虚数单位，设复数满足，则的共轭复数对应的点位于（）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】先利用模长公式和复数除法计算，再根据共轭复数的定义即可知其对应的点所在象限.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以的共轭复数对应的点位于第一象限，
故选：A
3. 已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由诱导公式与二倍角公式即可求解
【详解】
，
故选：B
4. 设是两个单位向量，若在上的投影向量为，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据投影向量公式以及向量夹角的余弦公式求得结果.
【详解】∵在上的投影向量为，
，
，又是两个单位向量，即，
.
故选：.
5. 为进一步在全市掀起全民健身热潮，兴义市于9月10日在万峰林举办半程马拉松比赛.已知本次比赛设有4个服务点，现将6名志愿者分配到4个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排2名志愿者，有（）种分配方式
A. 540 B. 660 C. 980 D. 1200
【答案】B
【解析】
【分析】按照最后一个服务区有2名志愿者和3名志愿者进行分配，即和，分别求出其方法种数，即可得出答案.
【详解】由题知可按照最后一个服务区有2名志愿者和3名志愿者进行分配，
①，有；
②，有，
共有（种）.
故选：B.
6. 在中，“”是“为锐角三角形”的（）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】若为锐角三角形,则,则,进而可得,利用诱导公式可得,即,即可得到结果.
【详解】若为锐角三角形,则,即,
又,,则,所以,
则,所以；
若,则,即均为锐角,所以,即,所以,则,即,
所以为锐角三角形；
故“”是“为锐角三角形”的充要条件,
故选:C
【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定,考查诱导公式在三角形中的应用.
7. 设实数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把不等式进行同构变形：，引入函数，由导数确定单调性，不等式化为，分离参数为，再引诱函数，由导数求出其最大值后可得结论．
【详解】由题意，，，设，则不等式为，∵，∴在上是增函数，∴，即，令，则，当时，递增，时，递减，∴，∴，
故选：B．
【点睛】方法点睛：有些函数不等式是混合不等式，如不等式中既有自然对数，又有以为底的指数时，我们可以把不等式变形为形式，利用的单调性化简不等式为（或），这类方法称为同构，函数可称为母函数，如，，等等，注意掌握常见的指对同构关系：
，，．
8. 水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（）
A. 4 B. C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据题设要使半球形容器内壁的半径的最小，保证小球与球各面（含球面部分）都相切，进而求半径最小值.
【详解】要使半球形容器内壁的半径的最小，只需保证小球与球各面（含球面部分）都相切，
此时，如上图示，为半球的球心，为其中一个小球球心，则是棱长为2的正方体的体对角线，且该小球与半球球面上的切点与共线，
所以半球形容器内壁的半径的最小值为小球半径与长度之和，即,
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知事件A，B满足，，则（）
A. 若，则 B. 若A与B互斥，则
C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则A与B相互独立
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，由题意可得，从而即可判断；
对于B，由互斥事件的概率计算公式计算即可；
对于C，先求得，再根据独立事件的计算公式计算即可；
对于D，判断是否成立即可.
【详解】解：对于A，因为，，，
所以，故错误；
对于B，因为A与B互斥，所以，故正确；
对于C，因为，所以，所以，故错误；
对于D，因为，即，所以，
又因为，所以，
所以A与B相互独立，故正确.
故选：BD
10. 如图，在正方体中，E F G分别为的中点，则（）
A. B. 与所成角为
C. D. 平面
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用坐标法，根据向量运算结合条件逐项分析即得.
【详解】以点D为坐标原点，所在直线分别为x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则.
对于A选项，，所以，故A选项正确；
对于B选项，，
，
所以，向量与向量的夹角是，与所成角为，故B选项正确；
对于C选项，，则，故C选项错误；
对于D选项，设平面的法向量为，
由，可得，取，可得，
又，
∵，∴，∵平面，∴平面，故D选项正确.
故选：ABD.
11. 已知函数，则（）
A. 是奇函数 B. 的最大值大于
C. ， D. ，
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数的性质分别判断各选项.
【详解】定义域为，，故选项A错误；
，故选项B正确；
，故选项C正确；
，
，，当时，，，而在上单调递增，
，当时，，故选项D正确，
故选：BCD.
12. 已知函数及其导函数的定义域均为，记.若满足，的图象关于直线对称，且，则（）
A. B. 是奇函数
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A由，得，等式两边同时求导，即可得到的图象关于点对称；对于B由函数的性质可知应满足（为常数），当时，不是奇函数；对于C可知，，所以；对于D由对称性和周期性即可判断.
【详解】对于A：由，得，等式两边同时求导，得，即，故的图象关于点对称，故A正确；
对于B：由的图象关于直线对称，故的图象关于直线对称，
即为偶函数，则，所以应满足（为常数），当时，不是奇函数，故B错误；
对于C：由，，
则，得，令替换得，则
则，故C正确；
对于D：由的图象关于点对称，的图象关于直线对称，且，，令得，
，，
在一个周期内，，
所以，故D正确．
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】不等式恒成立，即为不大于xy的最小值，运用基本不等式，计算即可得到所求最小值，解不等式可得m的范围．
【详解】∵正实数x，y满足，
所以，即，
当且仅当时等号成立，
由恒成立，可得，
解得
故答案为：
14. 在锐角三角形，，且则边上的中线长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题设条件整理得，再利用正弦定理和余弦定理得到，进而利用向量的数量积运算求得，由此得解.
【详解】因为，所以，
整理得，即，
即，即，
由正弦定理，可得，
又由余弦定理得，
所以，即，则，
假设的中点为，则，所以，
则，
所以.
故答案为：.
15. 已知函数，过点可作曲线的3条切线，则实数a的取值范围为___.
【答案】
【解析】
【分析】构造新函数，利用导数求得其单调性和极值，作出函数图像，数形结合，进而求得实数的取值范围.
【详解】设点为曲线上一点，则
又，则，
则曲线在点处的切线方程为
，又切线过点，
则，即
令，则，
则时，单调递减；
时，单调递增；
时，单调递减，
则时取得极小值，时取得极大值，
又，
当时，恒成立，时，，
又由题意得方程有3个根，
则与图像有3个交点，则.
则曲线有三条过点的切线时实数的取值范围为.
故答案为：.
16. 已知是函数的一个零点，且，则的最小值为__________．
【答案】##.
【解析】
【分析】由题意得，设直线，则点是直线l上的一点，然后求出原点O到直线l的距离，构造函数，利用导数求出其最小值即可.
【详解】由已知可得．
不妨设直线，则点是直线l上的一点，
原点O到直线l的距离，
则，
设，
在上递减，在递增
可得，
所以的最小值为．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查函数与方程的应用，解题的关键是设直线，则点是直线l上的一点，然后将问题转化为则大于等于原点O到直线l的距离，再构造函数，求出其最小值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数．
（1）求的最小正周期和单调增区间；
（2）若，求的值．
【答案】（1），增区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）由诱导公式，二倍角的正弦和余弦公式和辅助角公式化简，由最小正周期公式求出的最小正周期；令，即可求出单调增区间；
（2）由题意可得，由，求出的范围，再由三角函数的平方关系求出，则，由两角和的正弦公式化简即可得出答案.
【小问1详解】
故周期为，
令，
，
所以的增区间为.
【小问2详解】
，
故
.
18. 已知函数.
（Ⅰ）若不等式在上有解，求k的取值范围；
（Ⅱ）若方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】（Ⅰ）将不等式化为，令，构造函数，求出，由题意不等式有解，则;
（Ⅱ）将方程化为，利用换元法得到，根据函数的图像以及题设条件，确定方程有两个根，且或，构造函数，列出不等式组，求解即可.
【详解】（Ⅰ）原式,
令，则,
令，
因为对称轴，所以二次函数在区间上单调递减，所以
∵有解，∴,
∴.
（Ⅱ）原式可化为,
令，原式可化为
因为方程有三个不同的实数根，所以由的图像知,
方程有两个根，且或
令
则或
∴.
【点睛】本题主要考查了函数不等式能成立问题以及根据函数零点的个数求参数的范围，属于中档题.
19. 如图，平面五边形中，△是边长为2的等边三角形，，，，将△沿翻折，使点翻折到点．
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）在平面图形中取中点，连接，，由等边三角形性质、三角形全等有、，再应用线面垂直的判定、性质证结论；
（2）首先证两两垂直，再构建空间直角坐标系并确定相关点坐标，求直线的方向向量、平面的法向量，进而求线面角的正弦值.
【小问1详解】
在平面图形中取中点，连接，，
∵△是边长为2的等边三角形，
∴，，故翻折后有，
又，则，，，
所以△△，即，则，
由，、平面，故平面，
∵，则，
∴平面，又平面，
∴．
【小问2详解】
在面内作，交于，由平面，平面，
所以，故两两垂直，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
由（1）得，四边形为矩形，
在△中，，由余弦定理得，故，
所以，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，则，令，则，
设直线与平面所成角为，则．
20. 在中，角所对的边分别为，且，边上有一动点.
（1）当为边中点时，若，求的长度；
（2）当为的平分线时，若，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边化角公式得出，再由向量的运算得出的长度；
（2）由余弦定理结合基本不等式得出，再由得出，最后由对勾函数的单调性得出的最大值.
【小问1详解】
解：因为，
所以，即.
由正弦定理，得.
因为，所以.
因为，所以.
又因为，所以，所以.
因为为边中点，所以，则.
又，
所以，即，即，
所以.
【小问2详解】
在中，由余弦定理，得.
又，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以，所以.
因为平分，
所以，
所以，
所以.
令，则.
因为在上单调递增，
所以当即时，取得最大值为，
所以的最大值为.
21. 为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值；
（2）为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）以样本的频率估计概率，从该市区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生．这20名学生中，周平均阅读时间在内的学生最可能有多少名？
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）最可能有6名或7名
【解析】
【分析】（1）根据小矩形面积之和为1，列出关系式，求解即可得出答案；
（2）根据频率分布直方图求出周平均阅读时间在，，三组的频率之比为，进而得出每组的人数.根据超几何分布分别求出X分别取0，1，2，3时的概率，列出分布列，即可求出期望；
（3）先求出周平均阅读时间在内的概率.进而求出，由解出的范围，即可得出答案.
【小问1详解】
由可得．
【小问2详解】
由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为，
∴10人中，周平均阅读时间在的人数为人，在的人数为人，在的人数为人.
则X所有可能的取值为0，1，2，3，
∴，，
，.
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
∴数学期望．
【小问3详解】
用频率估计概率，从该地区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生，周平均阅读时间在内的概率，
设周平均阅读时间在内的学生有名，则
，
所以．
令，解得，
所以当或，最大．
所以，周平均阅读时间在内的学生最可能有6名或7名．
22. 设，函数的图象与直线相切，其中是自然对数的底数．
（1）求实数的值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义列方程，再根据函数的单调性解方程；
（2）根据的最值情况可知时，不等式恒成立，再构造，可知当时，根据导数可知在上单调递增，所以，成立，当时，二次求导可得，根据导数可确定当时，，即，不成立.
【小问1详解】
由，得，
设切点为，
则，
消去得，
令，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且，
当时，，
所以若，则，
所以；
【小问2详解】
由（1）得，，
且，
所以函数在单调递增，
所以，
对于当时，恒成立，
当时，，所以恒成立；
若当时，恒成立，
则在恒成立，
，，
当时，，，
所以在上单调递增，所以，成立；
当时，设，，
在上恒成立，
所以在上单调递增，
因为，，
所以，使，
所以时，，单调递减，时，，单调递增，
所以当时，，即，与题设矛盾，
综上所述：
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
1江苏省前黄中学2024届高三第一学期期中适应性考试
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求.
1. 已知集合，，则=（）
A. B.
C. D.
2. 是虚数单位，设复数满足，则的共轭复数对应的点位于（）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
4. 设是两个单位向量，若在上的投影向量为，则（）
A. B. C. D.
5. 为进一步在全市掀起全民健身热潮，兴义市于9月10日在万峰林举办半程马拉松比赛.已知本次比赛设有4个服务点，现将6名志愿者分配到4个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排2名志愿者，有（）种分配方式
A. 540 B. 660 C. 980 D. 1200
6. 在中，“”是“为锐角三角形”的（）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 设实数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
8. 水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（）
A. 4 B. C. D. 6
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知事件A，B满足，，则（）
A. 若，则 B. 若A与B互斥，则
C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则A与B相互独立
10. 如图，在正方体中，E F G分别为的中点，则（）
A. B. 与所成角为
C. D. 平面
11. 已知函数，则（）
A. 是奇函数 B. 的最大值大于
C. ， D. ，
12. 已知函数及其导函数的定义域均为，记.若满足，的图象关于直线对称，且，则（）
A. B. 是奇函数
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是__________．
14. 在锐角三角形，，且则边上的中线长为__________．
15. 已知函数，过点可作曲线的3条切线，则实数a的取值范围为___.
16. 已知是函数的一个零点，且，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知函数．
（1）求的最小正周期和单调增区间；
（2）若，求的值．
18. 已知函数.
（Ⅰ）若不等式在上有解，求k的取值范围；
（Ⅱ）若方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围.
19. 如图，平面五边形中，△是边长为2的等边三角形，，，，将△沿翻折，使点翻折到点．
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
20. 在中，角所对边分别为，且，边上有一动点.
（1）当为边中点时，若，求的长度；
（2）当为的平分线时，若，求的最大值.
21. 为了解某市区高中学生阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值；
（2）为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）以样本的频率估计概率，从该市区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生．这20名学生中，周平均阅读时间在内的学生最可能有多少名？
22. 设，函数的图象与直线相切，其中是自然对数的底数．
（1）求实数的值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
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