新疆乌鲁木齐实验学校2022-2023八年级上学期期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年新疆乌鲁木齐实验学校八年级（上）期中数学试卷
一、（选择题，10小题共30分）
1．（3分）下列各式运算正确的是（　　）
A．a2+2a3＝3a5 B．a2 a3＝a6
C．（﹣a2）4＝﹣a8 D．a8÷a2＝a6
2．（3分）下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是（　　）
A．m2﹣2n2＝（m+2n）（m﹣2n）
B．（m+1）（m﹣1）＝m2﹣1
C．m2﹣3m﹣4＝m（m﹣3）﹣4
D．m2﹣4m﹣5＝（m﹣5）（m+1）
3．（3分）下列各式中分式方程有（　　）个．
（1）x2﹣x+；（2）﹣3＝a+4；（3）；（4）＝1．
A．1 B．2
C．3 D．以上都不对
4．（3分）若把分式（a、b均不为0且a+b≠0）中的a、b都扩大为原来的3倍，则分式的值（　　）
A．缩小为原来的 B．扩大为原来的3倍
C．扩大为原来的9倍 D．不变
5．（3分）下列约分计算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（　　）
A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
7．（3分）一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为m千米/时，下山速度为n千米/时．则货车上、下山的平均速度为（　　）千米/时．
A． B． C．（m+n） D．
8．（3分）某城市在旧城改造过程中，需要整修一段全长3000m的道路．为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前10天完成任务，若设原计划每天整修道路x米，根据题意可得方程（　　）
A．
B．
C．
D．
9．（3分）已知a2+b2＝6ab且a＞b＞0，则的值为（　　）
A． B．± C．2 D．±2
10．（3分）若关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程的解为非负数，则满足条件的整数a的值的和为（　　）
A．﹣10 B．﹣7 C．﹣9 D．﹣8
二.（填空题，24分）
11．（3分）因式分解：3a2﹣27＝　 　．
12．（3分）小明同学在百度搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，引擎搜索耗时0.00175秒，将这个数用科学记数法表示为　 　．
13．（3分）若分式的值为0，则x的值为 　 　．
14．（3分）若am＝2，an＝8，则a2m+n＝　 　．
15．（3分）若4x2+mx+9是关于x的完全平方式，则m＝　 　．
16．（3分）关于x的分式方程﹣2m＝无解，则m＝　 　．
17．（3分）已知，则＝　 　．
18．（3分）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝18，ab＝12，则阴影部分的面积为　 　．
二.（填空题，24分）
19．（4分）计算：．
20．（6分）解方程：
（1）；
（2）．
21．（8分）（1）计算：（a+2b）2﹣（2a3b+8ab3）÷2ab；
（2）化简求值：÷[（）﹣1+]，其中a＝﹣1，b＝2．
22．（7分）先化简：，然后从﹣1，0，1，2中选一个你认为合适的a值，代入求值．
23．（9分）数学活动课上，老师用图 ①中的1张边长为a的正方形A、1张边长为b的正方形B和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，排成了如图 ②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．
（1）由图 ①和图 ②可以得到的等式为 　 　（用含a，b的代数式表示）；
（2）小芳想用图 ①的三种纸片拼出一个面积为（a+b）（a+2b）的大长方形，则需要A纸片 　 　张，B纸片 　 　张，C纸片 　 　张（空格处填写数字）
（3）如图 ③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的两侧作正方形ACED和正方形BCFG，面积分别记作S1、S2，若AB＝6，图中阴影部分△ACF的面积为4，利用（1）中得到的结论求S1+S2的值．
24．（12分）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
2022-2023学年新疆乌鲁木齐实验学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、（选择题，10小题共30分）
1．（3分）下列各式运算正确的是（　　）
A．a2+2a3＝3a5 B．a2 a3＝a6
C．（﹣a2）4＝﹣a8 D．a8÷a2＝a6
【分析】根据同类项，同底数幂乘法，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、a2 a3＝a2+3＝a5，故本选项不符合题意；
C、应为（﹣a2）4＝（﹣1）4a8＝a8，故本选项不符合题意；
D、a8÷a2＝a8﹣2＝a6，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查积的乘方的性质，同底数幂乘法，同底数幂的除法以及合并同类项，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的一定不要合并．
2．（3分）下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是（　　）
A．m2﹣2n2＝（m+2n）（m﹣2n）
B．（m+1）（m﹣1）＝m2﹣1
C．m2﹣3m﹣4＝m（m﹣3）﹣4
D．m2﹣4m﹣5＝（m﹣5）（m+1）
【分析】根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式，利用排除法求解．
【解答】解：A．m2﹣2n2≠（m+2n）（m﹣2n），故本选项不合题意；
B．是多项式乘法，故本选项不合题意；
C．结果不是积的形式，因而不是因式分解，故本选项不合题意；
D．属于因式分解，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的定义的应用，能理解因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式．
3．（3分）下列各式中分式方程有（　　）个．
（1）x2﹣x+；（2）﹣3＝a+4；（3）；（4）＝1．
A．1 B．2
C．3 D．以上都不对
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断．
【解答】解：（1）x2﹣x+不是等式，故不是分式方程；
（2）﹣3＝a+4是分式方程；
（3）是无理方程，不是分式方程；
（4）＝1是分式方程．
故选：B．
【点评】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数，本题（3）虽然分母含有未知数，但是是根式，不是整式，故不是分式方程．
4．（3分）若把分式（a、b均不为0且a+b≠0）中的a、b都扩大为原来的3倍，则分式的值（　　）
A．缩小为原来的 B．扩大为原来的3倍
C．扩大为原来的9倍 D．不变
【分析】根据题意将新的分式表示并进行变形．
【解答】解：若把分式中的a、b都扩大为原来的3倍，则新的分式为．
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质对分式进行变形是解决本题的关键．
5．（3分）下列约分计算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用分式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：A、该分式是最简分式，无法约分，故本选项不符合题意．
B、该分式是最简分式，无法约分，故本选项不符合题意．
C、原式＝﹣＝﹣1，故本选项符合题意．
D、原式＝a6﹣2＝a4，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了约分，由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
6．（3分）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（　　）
A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【分析】边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积＝a2﹣b2，新的图形面积等于（a+b）（a﹣b），由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论．
【解答】解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2﹣b2；
剩余部分通过割补拼成的平行四边形的面积为（a+b）（a﹣b），
∵前后两个图形中阴影部分的面积相等，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：B．
【点评】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．
7．（3分）一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为m千米/时，下山速度为n千米/时．则货车上、下山的平均速度为（　　）千米/时．
A． B． C．（m+n） D．
【分析】平均速度＝总路程÷总时间，设单程的路程为s，表示出上山下山的总时间，把相关数值代入化简即可．
【解答】解：设上山的路程为s千米，
则上山的时间小时，下山的时间为小时，
则上、下山的平均速度＝（千米/时）．
故选：A．
【点评】本题考查了列代数式（分式），得到平均速度的等量关系是解决本题的关键，得到总时间的代数式是解决本题的突破点．
8．（3分）某城市在旧城改造过程中，需要整修一段全长3000m的道路．为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前10天完成任务，若设原计划每天整修道路x米，根据题意可得方程（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】关系式为：原计划用的时间﹣实际用的时间＝10，把相关数值代入即可．
【解答】解：根据题意可列方程为：，
故选：D．
【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程；得到关于工作时间的关系式是解决本题的关键．
9．（3分）已知a2+b2＝6ab且a＞b＞0，则的值为（　　）
A． B．± C．2 D．±2
【分析】把已知条件a2+b2＝6ab，利用完全平方公式得出（a+b）2＝8ab，（a﹣b）2＝4ab，再求出式子的平方，由a＞b＞0，即可求出的值为正数．
【解答】解：∵a2+b2＝6ab，
∴（a+b）2＝8ab，（a﹣b）2＝4ab，
∴（）2＝＝2，
又∵a＞b＞0，
∴＝．
故选：A．
【点评】本题考查了完全平方公式，关键是利用完全平方公式出a、b和的平方与差的平方，需要注意受条件的限制答案只有一个．
10．（3分）若关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程的解为非负数，则满足条件的整数a的值的和为（　　）
A．﹣10 B．﹣7 C．﹣9 D．﹣8
【分析】不等式组整理后，由题意确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，检验即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
由不等式组有解，得到﹣5≤x＜a，
解得：a＞﹣5，
，
分式方程去分母得：ax﹣x+2＝﹣3x，
解得：x＝，
∵关于x的分式方程的解为非负数，
∴≥0，解得a≤1，
当a＝﹣1时，x＝1（不合题意舍去）
∴﹣5＜a≤1，
∵a为整数，
∴a＝﹣4，﹣3，﹣2，0，1，
则满足题意的整数a的值的和是﹣2﹣3﹣4+0+1＝﹣8．
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二.（填空题，24分）
11．（3分）因式分解：3a2﹣27＝　3（a+3）（a﹣3）　．
【分析】直接提取公因式3，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：3a2﹣27＝3（a2﹣9）
＝3（a+3）（a﹣3）．
故答案为：3（a+3）（a﹣3）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确掌握公式法分解因式是解题关键．
12．（3分）小明同学在百度搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，引擎搜索耗时0.00175秒，将这个数用科学记数法表示为　1.75×10﹣3　．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00175秒，将这个数用科学记数法表示为 1.75×10﹣3，
故答案为：1.75×10﹣3．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13．（3分）若分式的值为0，则x的值为 　﹣1　．
【分析】根据分式值为0的条件得到|x|﹣1＝0且（x﹣1）2≠0，然后求解即可．
【解答】解：根据题意，得|x|﹣1＝0且x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≠0，
解得x＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．
14．（3分）若am＝2，an＝8，则a2m+n＝　32　．
【分析】根据幂的乘方，可得同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法，可得答案．
【解答】解：a2m+n＝（am）2 an＝4×8＝32，
故答案为：32．
【点评】本题考查了幂的乘方，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
15．（3分）若4x2+mx+9是关于x的完全平方式，则m＝　±12　．
【分析】完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，这里首末两项是2x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和3的积的2倍．
【解答】解：∵4x2+mx+9是一个完全平方式，
∴mx＝±2 2x×3＝±12x，
∴m＝±12，
故答案为±12．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．本题易错点在于：是加上或减去两数乘积的2倍，在此有正负两种情况，要全面分析，避免漏解．
16．（3分）关于x的分式方程﹣2m＝无解，则m＝　﹣或﹣3　．
【分析】首先去掉分母，然后讨论整式方程无解条件，接着讨论整式方程有解但是分式方程无解条件，由此求出m的值．
【解答】解：去分母得：﹣x﹣2m（x﹣3）＝m，
解得x＝，
当2m+1＝0时，即m＝﹣时，无解．
当2m+1≠0时，即m≠﹣时，
把x＝3代入x＝，得：m＝﹣3，也无解．
故答案为：﹣或﹣3．
【点评】本题主要考查了分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；整式方程有解但是分式方程产生增根．
17．（3分）已知，则＝　4　．
【分析】设＝k，利用等比性质和等式的性质化简，可得x+y+z＝12k，2x﹣y＝3k，再代入要求得式子计算即可．
【解答】解：设＝k（k≠0）
则＝k
∴x+y+z＝12k，2x﹣y＝3k
∴＝＝4
故答案为：4．
【点评】本题考查了利用等比性质和等式的性质化简求分式的值，明确等比性质和等式的性质是解题的关键．
18．（3分）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝18，ab＝12，则阴影部分的面积为　144　．
【分析】将阴影部分的面积表示为两个正方形的面积之和减去△ABD和△BFG的面积，再利用配方法将多项式变形后，整体代入即可求解．
【解答】解：阴影部分的面积为：
S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABD﹣S△BFG
＝
＝
＝
＝
＝．
∵a+b＝18，ab＝12，
∴阴影部分的面积为：＝144．
∴阴影部分的面积为 144．
故答案为：144．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，正方形，等腰直角三角形，三角形的面积，利用配方法将多项式变形，利用整体代入的思想求值是解题的关键．
二.（填空题，24分）
19．（4分）计算：．
【分析】直接根据有关幂的运算法则进行计算，从而得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣1+（﹣8）+32
＝﹣8+9
＝1．
【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的除法等，熟记“一个非零数的零次幂等于1，一个非零数的负整数指数幂等于它正整数指数幂的倒数”是解题的关键．
20．（6分）解方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）按照解分式方程的步骤进行计算即可；
（2）按照解分式方程的步骤进行计算即可．
【解答】解：（1），
3+x＝﹣2（x﹣2），
解得：x＝，
检验：当x＝时，x﹣2≠0，
∴x＝是原方程的根；
（2），
x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝0，
∴x＝1是原方程的增根，
∴原方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
21．（8分）（1）计算：（a+2b）2﹣（2a3b+8ab3）÷2ab；
（2）化简求值：÷[（）﹣1+]，其中a＝﹣1，b＝2．
【分析】（1）先根据完全平方公式和多项式除以单项式进行计算，再合并同类项即可；
（2）’先根据负整数指数幂进行计算，再根据分式的加法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（1）（a+2b）2﹣（2a3b+8ab3）÷2ab
＝a2+4ab+4b2﹣a2﹣4b2
＝4ab；
（2）÷[（）﹣1+]
＝÷（a+）
＝÷
＝
＝，
当a＝﹣1，b＝2时，原式＝＝1．
【点评】本题考查了负整数指数幂，整式的化简和分式的化简与求值等知识点，能正确根据整式的运算法则和分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
22．（7分）先化简：，然后从﹣1，0，1，2中选一个你认为合适的a值，代入求值．
【分析】首先对括号内的分式通分相减，把除法转化为乘法，然后进行约分即可化简，然后代入求值．
【解答】解：原式＝÷
＝
＝1﹣a，
当a＝2时，原式＝1﹣a＝1﹣2＝﹣1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，注意取喜爱的数代入求值时，要特注意原式及化简过程中的每一步都有意义．如果取x＝0，则原式没有意义，因此，尽管0是大家的所喜爱的数，但在本题中却是不允许的．
23．（9分）数学活动课上，老师用图 ①中的1张边长为a的正方形A、1张边长为b的正方形B和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，排成了如图 ②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．
（1）由图 ①和图 ②可以得到的等式为 　（a+b）2＝a2+2ab+b2　（用含a，b的代数式表示）；
（2）小芳想用图 ①的三种纸片拼出一个面积为（a+b）（a+2b）的大长方形，则需要A纸片 　1　张，B纸片 　2　张，C纸片 　3　张（空格处填写数字）
（3）如图 ③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的两侧作正方形ACED和正方形BCFG，面积分别记作S1、S2，若AB＝6，图中阴影部分△ACF的面积为4，利用（1）中得到的结论求S1+S2的值．
【分析】（1）根据大正方形的面积等于各部分图形的面积和即可解决；
（2）根据多项式乘以多项式的乘法法则，把（a+b）（a+2b）的结果计算出来即可判断；
（3）根据题意可知AC+BC＝6，AC BC＝8，然后利用（1）的结论即可解决．
【解答】解：（1）由题意得：
（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）（a+b）（a+2b）
＝a2+3ab+2b2，
故答案为：1，2，3；
（3）设AC＝m，BC＝n，
由题意得：m+n＝6，mn＝4，
∴S1+S2
＝m2+n2
＝（m+n）2﹣2mn
＝62﹣2×8
＝20．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
24．（12分）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
【分析】（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x﹣2）元，根据题意建立方程求出其解就可以了．
（2）本题中“根据进两种商品的总数量不超过95个”可得出不等式；
（3）根据“使销售两种商品的总利润（利润＝售价﹣进价）超过380元”可以得出关于利润的不等式，组成不等式组后得出未知数的取值范围，然后根据取值的不同情况，列出不同的方案．
【解答】解：（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x﹣2）元，
根据题意，得＝，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的根，
每件甲种商品的进价为：10﹣2＝8．
答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元．
（2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y﹣5）个．
由题意得：3y﹣5+y≤95．
解得y≤25．
答：商场最多购进乙商品25个；
（3）由（2）知，（12﹣8）（3y﹣5）+（15﹣10）y＞380，
解得：y＞23．
∵y为整数，y≤25，
∴y＝24或25．
∴共有2种方案．
方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；
方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个．
【点评】本题考查了列分式方程解应用题与列不等式组解实际问题的运用，重点在于准确地找出相等关系与不等关系．