广安市重点中学校2023-2024学年高三上学期12月月考
数学（文科）试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则（ ）
A． B． C．1 D．
3. 如图所示，在中，，则（ ）
B.
D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将第一次得到的点数记为，第二次得到的点数记为，那么事件“”的概率为（ ）
A． B． C． D．
6. 为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村产业 人才 文化 生态 组织振兴”的目标，某银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例关于还款人的年收入（单位：万元）的Logistic模型：.已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为50%，若贷款人的年收入约为5万元，则实际还款比例约为（参考数据：）（ ）
A. 30% B. 40% C. 60% D. 70%
7.已知变量满足，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．0
8.函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．将函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则的可能值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
11. 已知正方体的棱长为1，是空间中任意一点，则下列说法中错误的是（ ）
A．该正方体外接球的体积为
B．若是棱中点，则异面直线AM与夹角的余弦值为
C．若点在线段上运动，则始终有
D．若点在线段上运动，则三棱锥体积为定值
12. 已知函数有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.函数（且）的图象恒过定点，则等于
14.已知向量与向量满足：，，且与的夹角为，则 ．
15.已知四棱锥中，底面四边形为正方形，侧面为正三角形，
且侧面垂直底面，若PD=2,则该四棱锥外接球的表面积为________.
16.已知函数是R上的奇函数，对任意，都有成立，当，且时，都有，有下列命题：
①； ②函数图象关于直线对称；
③函数在上有5个零点； ④函数在上为减函数．
则以上结论正确的是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.《中华人民共和国道路交通安全法》第条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，其中第条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣分，罚款元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：
(1)请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；
(2)预测该路口月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.
月份
违章驾驶员人数
参考公式：，
18．已知等差数列的前项和，且，.
(1)求，；
(2)设，设的前项和为，若恒成立，求的取值范围.
19.在中，内角所对的边分别为且.
(1)求角A的大小；
(2)若，求的面积S的最大值
20．如图，四边形ABCD为长方形，平面ABCD，，点E，F分别为AD，PC的中点．
(1)证明：∥平面PBE；
(2)求三棱锥的体积．
21. 已知，．
(1)若函数在上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)令，,求当实数a等于多少时，可以使函数取得最小值为3？
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程为：．
(1)求直线l普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)过点的直线l与C相交于A，B两点，求的值.
广安市重点中学校2023-2024学年高三上学期12月月考
文科数学答案
选择题：ACAA CBCC BADD.
填空题：13. 2；14. 2； 15. ; 16. (1)(3).
解答题：
17.（1）解：由表格中的数据可得，
，
所以，，
，
所以，，，
所以，违章人数与月份之间的回归直线方程为.
（2）解：当时，，
因此，预测该路口月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为人.
18.（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，解得，
所以，，.
（2）由（1）可知，
所以，
所以，
因为，所以，所以，即，
又恒成立，所以，
故的取值范围为.
19.（1）由已知及正弦定理得，
所以，
所以，
，又，
，
.
（2）根据余弦定理得，
由基本不等式得，
的面积，当且仅当时等号成立，
的面积S的最大值为．
20.（1）证明：取的中点，连接，
因为点分别为的中点，
所以且，
又因为四边形为长方形
所以且，
则且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）由平面，则点到平面的距离等于到平面的距离，
因为平面，
所以为三棱锥的高，
由，
所以三棱锥的体积为.
21.（1）函数在上是增函数，∴，在上恒成立，
即，在上恒成立，
令，当且仅当时，取等号，
∴，∴a的取值范围为．
（2），．
∴，
①当时，在上单调递减，，解得（舍去）；
②当且时，即，在上单调递减，在上单调递增，
∴，解得，满足条件；
③当，且时，即，在上单调递减，
，解得（舍去）；
综上，存在实数，使得当时，有最小值3．
22.（1）由于，消t得，即，
由得，∴曲线C的直角坐标方程是：
（2）将直线l: 化为标准形式（为参数），
代入，并化简得
，设A，B对应参数为，，，,
所以
