重庆市部分学校（九校联盟）2023-2024高二上学期12月月考数学试题（含解析）

重庆市高二数学考试
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
密封线内不要答题
1.已知向量，，则（ ）
A. B.
C. D.
2.若直线：，：，且，则（ ）
A. B. C.10 D.-10
3.鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹.如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，其宽为8m，高为0.8m，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
4.已知直线的倾斜角比直线：的倾斜角小20°，则直线的倾斜角为（ ）
A.150° B.130° C.120° D.100°
5.虢仲盨，青铜器，西周文物.该文物的腹部横截面的形状是一个长轴长为30厘米，短轴长为20厘米的椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6.在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ）
A. B. C. D.
7.已知，分别是双曲线：的左、右焦点，过点的直线与的两条渐近线从左到右依次交于A，B两点，且，，则C的渐近线的顿斜角为（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
8.如图，在三棱锥中，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（ ）
A. B.1 C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.圆：与圆：的位置关系可能为（ ）
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
10.已知，，是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
11.已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，且，，则的值可能为（ ）
A. B.2 C. D.
12.已知为抛物线：的焦点，过的直线与C交于A，B两点，，C的准线与x轴的交点为，点A在准线上的投影为点，且四边形的面积为，则（ ）
A. B.
C.直线的斜率为 D.点A的横坐标为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知双曲线C的焦点在y轴上，且C的离心率大于2，请写出一个C的标准方程：___________.
14.在空间直角坐标系中，平行四边形的三个顶点分别为，，，则点D的坐标为___________.
15.已知A，B分别是椭圆M：的左、右顶点，P是M的上顶点，若，则的面积为___________.
16.已知直线：，：，一条光线从点射出，经反射后，射到上，再经反射后，回到P，则该光线经过的路程长度为_____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知的顶点，，，线段的中点为，且.
（1）求m的值；
（2）求边上的中线所在直线的方程.
18.（12分）
已知圆：.
（1）求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径；
（2）若直线与圆交于A，B两点，且，求C的值.
19.（12分）
已知点P到的距离与它到x轴的距离的差为4，P的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程；
（2）若直线与C交于A，B两点，且弦中点的横坐标为-4，求的斜率.
20.（12分）
已知椭圆：的焦距为4，且经过点.
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程.
21.（12分）
如图，在棱长为4的正方体中，点在棱上，且.
（1）求平面与平面夹角的余弦值；
（2）若点P在棱上，且P到平面的距离为，求点P到直线的距离.
22.（12分）
已知圆：，圆：，动圆C与这两个圆中的一个内切，另一个外切.
（1）求动圆圆心C的轨迹方程.
（2）若动圆圆心C的轨迹为曲线M，，斜率不为0的直线与曲线M交于不同于D的A，B两点，，垂足为点E，若以为直径的圆经过点D，试问是否存在定点F，使为定值 若存在，求出该定值及F的坐标；若不存在，请说明理由.
重庆市高二数学考试参考答案
1.D.
2.D由题意得，得.
3.C由题意得，设该抛物线的方程为，则，得，所以该抛物线的焦点为（0，5）.
4.D由题意得直线的倾斜角为120°，所以直线的倾斜角为100°.
5.C由题意得该椭圆的半长轴长为15厘米，半短轴长为10厘米，所以该椭圆的离心率为.
6.A设直线与平面所成的角为，则，所以.
7.C设O为坐标原点.由题意得C的渐近线方程为，得，，由得，则，所以.由，得，在中，，得，即，所以C的渐近线的倾斜角为或.
8.D设，由题意得，则.设，则.由得，得，所以.
9.BCD由题意得，圆M与圆O的半径之差为2-1=1，因为，所以圆O与圆M的位置关系可能为相交、外切、外离.
10.BC对于A，因为，所以，，三个向量共面，故不能构成空间的一个基底.对于D，因为，所以，，三个向量共面，故不能构成空间的一个基底，选项B，C中的向量都可以作为基底.
11.AC由，，得.
由，得，
在中，由余弦定理得，
得或24，即或6，所以或.
12.ABD如图，设点B在C的准线上的投影为点，取，的中点分别为E，，过F作，垂足为点.设，则，，，，所以四边形的面积为，解得，，A，B正确.
由，得，当A在第一象限，B在第四象限时，直线的斜率为，当A在第四象限，B在第一象限时，直线的斜率为，C错误.点A的横坐标为，D正确.
13. （本题答案不唯一，符合，即可）设：，由，得.
14. 设，由题意得，.因为，所以，得，即.
15. 设为坐标原点.由题意得，则，得，所以的面积为.
16. 如图，设关于的对称点为，
由得即.
设关于的对称点为，由得即.
易得该光线经过的路程长度为.
17.解：（1）因为，，所以的坐标为，
因为，所以，
解得.
（2）设线段的中点为，由（1）知，则，
所以。
所以直线的方程为，化简得，
即边上的中线所在直线的方程为.
18.解：（1）由，得，
则圆的标准方程为，
圆的圆心坐标为，半径为.
（2）由，得圆心到直线的距离为，
则圆心到直线的距离为，
得或-5.
19.解：（1）由题意可知点到的距离等于它到直线的距离，
则的轨迹是以为焦点的抛物线，
所以的方程为.
（2）设，，则.
由
得，
所以的斜率为.
20.解：（1）由题意得得
所以椭圆的标准方程为.
（2）设与平行的：，
由得，
由，得，
则：.
21.解：（1）以为原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，.
设平面的法向量为，则
取，则，，得.
因为平面，所以平面的法向量为，
则平面与平面的夹角的余弦值为.
（2）设，，则.
由（1）可知平面的法向量为，
则点到平面的距离为，解得或（舍去），
即，
因为，，
所以点到直线的距离为.
22.解：（1）设动圆的半径为.
因为动圆与圆，圆一个外切，另一个内切，所以或
得，所以圆心的轨迹是以，为焦点，实轴长为4的双曲线，
得动圆圆心的轨迹方程为.
（2）存在定点，使得为定值6.
直线的斜率不为0，设直线：，，，
则，.
由得，
由，得，
由韦达定理得
因为以为直径的圆经过点，所以，则.
因为
所以，
得.
因为直线不经过，所以，，满足.
直线：经过定点.
取，，当，不重合时，，则，
当，重合时，.
故存在定点，使得为定值6.
备注：第二问也可分的斜率不存在和斜率存在（设：）两种情况进行求解.