陕西省商洛市2021-2022高三上学期期末文科数学试题（含解析）

商洛市2021~2022学年度第一学期期末教学质量检测
高三数学（文科）
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
2.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. .B. C. D.
2.（ ）
A. B. C. D.
3.已知，则（ ）
A.3 B. C. D.
4.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
5.青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一.已知某青花瓷花瓶的外形上下对称，可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶口直径是8，瓶身最小的直径是4，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知某班英语兴趣小组有3名男生和2名女生，现从中任选2人参加该校组织的英语演讲比赛，则恰有1名女生被选到的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，且，则（ ）
A. B. C. D.
8.随着互联网的飞速发展，网上购物已成为了流行的消费方式.某网店第三季度的服装产品的销售总额和其中某款服装的销售额占当月服装产品销售总额的百分比如图所示：
下列结论正确的是（ ）
A.该款服装这3个月的销售额逐月递减
B.该款服装这3个月的销售总额为23.69万元
C.该款服装8月份和9月份的销售额相同
D.该款服装8月份和9月份的销售总额大于7月份的销售额
9.在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.的最小正周期是 B.的图象关于点对称
C.在上单调递增 D.是奇函数
11.已知函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
12.已知定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13.已知向量，，且，则________.
14.若，满足约束条件，则的最大值是________.
15.如图，一辆汽车在一条笔直的马路上从东往西以的速度匀速行驶，在处测得马路右侧的一座高塔的仰角为，行驶5分钟后，到达处，测得高塔的仰角为，，其中为高塔的底部，且，，在同一水平面上，则高塔的高度是________.（塔底大小、汽车的高度及大小忽略不计）
16.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.已知暂堵中，，.若暂堵外接球的表面积是，则暂堵体积的最大值是________.
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
等差数列的前项和为，，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18.（12分）
某部门为了解某企业在生产过程中的用电情况，对其每天的用电量做了记录，得到了大量该企业的日用电量（单位：度）的统计数据，从这些数据中随机抽取15天的数据作为样本，得到如图所示的统计表.若日用电量不低于200度，则称这一天的用电量超标.
分组
频数 3 6 3 3
（1）估计该企业日用电量的平均值；（各组数据以该组数据的中点值作代表）
（2）用分层抽样的方法从日用电量在和内的数据中抽取6天的日用电量数据，再从这6个数据中随机抽取2天的日用电量数据，求这2天中至少有1天的日用电量超标的概率.
19.（12分）
在四棱雉中，底面是直角梯形，，，，分别是棱，的中点.
（1）证明：平面.
（2）若，且四棱雉的体积是6，求三棱雉的体积.
20.（12分）
已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.
21.（12分）
已知椭圆的离心率是，其左、右顶点分别是，，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，是椭圆上异于，的不同两点，设点是以为直径的圆和以为直径的圆的另一个交点，记线段的中点为，若，求动点的轨迹方程.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）已知点，若直线与曲线交于，两点，求的值.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若，，且，其中是的最小值，求的最小值.
商洛市2021~2022学年度第一学期期末教学质量检测
高三数学参考答案（文科）
1.D 由题意可得，则.
2.A .
3.B 由题意可得，则，故.
4.A 因为，，，所以.
5.B 由题意可知该双曲线的焦点在轴上，实轴长为4，点在该双曲线上.设该双曲线的方程为，则解得，，故该双曲线的方程是.
6.B 记这3名男生分别为，，，这2名女生分别为，，则从这5名学生中任选2人的情况有，，，，，，，，，，共10种，其中恰有1名女生被选到的情况有，，，，，，共6种，则所求概率.
7.B 由题意可得.设，则解得由抛物线的对称性，不妨设点在第一象限，即，则直线的方程为.联立整理得，解得或，则，故.
8.C 由题意可知该款服装7月份、8月份、9月份的销售额分别是12万元，6万元，6万元，则这3个月的销售总额为24万元，故A，B，D错误，C正确.
9.D 如图，连接，记，则是的中点.取的中点，连接，.易证，则是异面直线与所成的角或其补角.设，则，，.由余弦定理可得.
10.D .因为，所以A错误；因为，所以的图象不关于点对称，所以B错误；令，解得，当时，，因为，所以在上不单调，则C错误；因为，所以是奇函数，则D正确.
11.D 当时，，所以不是的零点；当时，由，即，得，则的零点个数等价于直线与函数图象的交点个数.作出函数的大致图象（如图所示），由图可知.
12.C 设，则.因为，，所以，所以，即在上单调递增.不等式可转化为，即，所以，解得.
13. 由题意可得.因为，所以，即，解得.
14.3 画出可行域（图略），当直线过点时，取得最大值，且最大值为3.
15. 如图，由题意可知，，.设，则，.在中，由余弦定理可得，即，解得.
16. 设，则.由题意易知暂堵外接球的球心是矩形的中心，则斩堵外接球的半径满足，从而，解得，即.设，，则，故，当且仅当时，等号成立，故暂堵的体积.
17.解：（1）设数列的公差为，
则…………………………………………………………………………2分
解得，.…………………………………………………………………………4分
故.………………………………………………………………6分
（2）由等差数列前项和公式可得，………………………………8分
则.…………………………………………………………10分
故.…………………………12分
18.解：（1）估计该企业日用电量的平均值（度）.………4分
（2）由题意可知应从日用电量在内的数据中抽取个，记为，，，……5分
从日用电量在内的数据中抽取个，记为，.……………………………6分
从这6个数据中随机抽取2天的日用电量数据的情况有，，，，，，，，，，，，，，共15种；………………………………8分
其中符合条件的情况有，，，，，，，，，共9种.……………………10分
故所求概率.……………………………………………………………………12分
19.（1）证明：如图，取的中点，连接，.
因为，分别是棱，的中点，所以，所以平面.……………………2分
因为，且，分别是棱，的中点，所以，所以平面.……4分
因为平面，且，所以平面平面.…………5分
因为平面，所以平面.………………………………………………6分
（2）解：过点作，垂足为，连接，，
则四边形是正方形，从而.……………………………………7分
因为，所以，则，……………………………………8分
从而直角梯形的面积.…………………………………………9分
设点到平面的距离为，
则四棱雉的体积，解得.…………………………10分
因为三棱雉的体积与三棱雉的体积相等，
所以三棱雉的体积.……………………………………11分
因为平面，所以三棱雉的体积与三棱雉的体积相等，
所以三棱雉的体积为2.…………………………………………………………12分
20.解：（1）当时，，则.…………1分
从而，…………………………………………………………2分
因为，………………………………………………3分
所以所求切线方程为，即（或.……5分
（2）设，
则.………………………………………6分
当时，因为，所以，即，
所以在上单调递减，则，符合题意.………………………………8分
当时，设，，，
所以存在唯一的，使得，
即存在，使得.………………………………………………………………9分
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
故，不符合题意.………………………………………………………………11分
综上，的取值范围为.……………………………………………………………………12分
21.解：（1）由题意可得…………………………………………………………1分
解得，.………………………………………………………………………………3分
故椭圆的标准方程为.…………………………………………………………4分
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，.
联立整理得，
则，，.…………5分
因为，所以，
因为，
所以，解得或（舍去）.………………7分
则直线的方程为，所以直线过定点.…………8分
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，经验证符合题意，
故直线过定点.………………………………………………………………9分
因为为的中点，为的中点，所以过定点.……………………10分
因为两圆相交，则连心线垂直平分公共弦，所以点在以为直径的圆上运动，
该圆的半径，圆心坐标为，
故动点的轨迹方程为.………………………………12分
22.解：（1）由（为参数），得，
即曲线的普通方程为.……………………………………2分
由，得，
即直线的直角坐标方程为.…………………………………………4分
（2）将直线的方程转化为参数方程（为参数）.……………………5分
将直线的参数方程代入曲线的普通方程得.……………………7分
设，对应的参数分别是，，则，，………………………………8分
故.……………………………………………………10分
23.解：（1）因为…………………………2分
所以等价于或或……………………3分
解得，即不等式的解集为.………………………………5分
（2）由（1）可知，即，则.………………………………6分
，………………………………………………8分
因为，，所以，当且仅当，时，等号成立，……………………9分
则，故的最小值为.…………………………………………………………10分