广东省江门市第一中学2023-2024高二上学期12月第二次学段考试数学试题（含答案）

江门市第一中学2023-2024学年高二上学期12月第二次学段考试
数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确选项.）
1.抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
2.已知四棱锥，底面为平行四边形，，分别为棱，上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（ ）
A. B. C. D.
3.两条平行直线和间的距离为，则，分别为（ ）
A.， B.， C.， D.，
4.已知圆上一点到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A.2 B.1 C. D.
5.若平面的一个法向量为，，，，，则点到平面的距离为（ ）
A.1 B. C. D.
6.若双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则等于（ ）
A.26或6 B.26 C.6 D.28
7.已知椭圆上关于原点对称的两点为，，点为椭圆上异于，的一点，直线和直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.过圆内一点作直线交圆于，两点，过，分别作圆的切线交于点，则点的轨迹方程是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共4小题，共20分.每小题至少有两个正确选项，全对得5分，漏选得2分，错选得0分.）
9.已知双曲线，下列对双曲线判断正确的是（ ）
A.实轴长是虚轴长的2倍 B.焦距为4
C.离心率为 D.渐近线方程为
10.已知平面过点，其法向量，则下列点不在内的是（ ）
A. B. C. D.
11.圆，直线，点在圆上，点在直线上，则下列结论正确的是（ ）
A.直线与圆相交
B.的最小值是1
C.从点向圆引切线，切线长的最小值是3
D.直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是
12.已知直线与椭圆交于，两点，点为椭圆的右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A.当时，存在使得
B.当时，的最小值为2
C.当时，存在使得
D.当时，的最小值为2
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.直线与垂直，则的值为______.
14.如图所示，长方体中，，，点是线段的中点，点是正方形的中心，则直线与直线所成角的余弦值为______.
15.已知椭圆的左、右两焦点，，为椭圆上一点，，，则______.
16.设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在平面直角坐标系中，设直线.
（1）直线恒过一定点，求定点的坐标；
（2）当原点到直线的距离最大时，求直线的方程.
18.已知圆，圆上存在关于对称的两点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程.
19.如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值.
20.已知椭圆的右焦点为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线交椭圆于，两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程.
21.如图，四棱锥中，底面为矩形，，.二面角的大小是60°，平面与平面的交线上存在一点满足二面角大小也是60°.
（1）求四面体的体积；
（2）若为直线上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
22.已知双曲线与直线有唯一的公共点.
（1）点在直线上，求直线的方程；
（2）设点，分别为双曲线的左右焦点，为右顶点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点（其中点在第一象限），设，分别为，的内心.
①点的横坐标是否为定值？若是，求出横坐标的值；若不是，请说明理由；
②求的取值范围.
江门市第一中学2023-2024学年高二上学期12月第二次学段考试
评分标准
一、单选题1-8 ACBD DBCA 二、多选题9.BD 10.BCD 11.BCD 12.ABC
三、填空题13.0或 14. 15.3 16.4
17.解：（1）∵方程∴，……2分
由解得……4分∴直线恒过定点. ……5分
（2）由题意可得，当时，原点到直线的距离最大……6分
∵∴……8分∴直线的方程为即……10分
18.解：（1）∵圆的方程是∴圆心坐标……1分
∵圆上存在关于对称的两点∴点在直线上……3分
∴可得……4分∴圆方程为
∴圆的标准方程是……6分
（2）设点到直线距离为，∵直线被截得的弦长为8
∴由圆的弦长公式得，解得……7分
①当斜率不存在时，直线方程为，满足题意……8分
②当斜率存在时，设直线方程为则，解得……10分
∴直线的方程为，……11分
综上，直线方程为或. ……12分
19.（1）证明：在长方体中，平面，平面，∴，……2分
∵，，，平面，∴平面.……4分
（2）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵，则，，，，，……5分
∵平面，平面，∴，
∵，且，，平面，∴平面，
∴平面的法向量为，……7分
设平面的法向量，由，……8分
得，取，得，，∴，……10分
∴，……11分∴二面角的正弦值为. ……12分
注意：7分点学生可能用10分点的做法，评分一致就行，强调8分点必须出现，出现在7分点或10分点都行，没有8分点要扣1分
20.解：（1）由题意可得……1分
解得，……3分∴椭圆的方程为……4分
（2）由题意可知过点的直线斜率不为0，设直线的方程为，
联立可得，……5分
∴，……6分
设，，∴，……7分
∴的面积……9分
∵（为坐标原点）的面积为∴，解得……11分
∴直线的方程为或……12分
21.（1）解：∵，∴由余弦定理得
∵∴……1分
∵底面为矩形，，，，平面∴平面
∵∴平面……2分
∵二面角的大小是60°∴……3分
∴……5分
（2）解：过作，由（1）得面
∵面∴面面
∵，面面，面∴面……6分
建系如图所示坐标系
，，，，……7分
设，
设面的一个法向量为则得……8分
又∵∴……9分
令则……11分
当，即时，……12分
22.解：（1）联立方程得：
∴∴……1分
∵∴即……2分
（2）①为的内切圆与轴的切点，由定义知：
……3分
∴∴与重合∴∴点的横坐标是定值1……4分
②解法1：设，
∴……7分
法1：由渐近线与相交弦的关系知，∴……9分
∴. ……12分
法2：直线斜率不存在时，满足
斜率存在时，设为∴即
由（1）知
∴
∴∴或，∴，……9分
∴. ……12分
解法2：设直线；
∴，联立∴……6分
同理（等面积）
∴；……9分
∴……11分
∴……12分