江西省上饶市广丰中学2023-2024学年高二上学期12月考试数学试卷
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的）
1．一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．若圆上有两个动点A，B，满足，点M在直线上动，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知是坐标原点，，是椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限上的点，且，是的角平分线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
4．抛物线的焦点为F，且抛物线C与椭圆在第一象限的交点为A，若轴，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥是阳马，平面ABCD，且，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．若的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则的展开式中的常数项为（ ）
A．6 B．8 C．28 D．56
8．某罐中装有大小和质地相同的个红球和个绿球，每次不放回地随机摸出个球．记“第一次摸球时换到红球”，“第一次摸球时摸到绿球”，“第二次摸球时摸到红球”，“第二次摸球时摸到绿球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中 ，有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）
9．在平面直角坐标系中，已知双曲线：，则（ ）
A．的实轴长为2
B．的离心率为2
C．的渐近线方程为
D．的右焦点到渐近线的距离为
10．已知空间中三点则下列说法正确的有（ ）
B．
C． D．在上投影向量的长度为
11．若的二项展开式的第一项为，最后一项为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．展开式的第四项的二项式系数等于
C．展开式中不含常数项 D．展开式中所有项的系数之和等于32
12．已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．若与互斥，则
B．若与相互独立，则
C．若，则事件与相互独立
D．若，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知平面内的动点到两定点的距离分别为和，且，则点到直线的距离的最大值为 .
14．已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过F的直线l交椭圆于A，B两点，且，则直线l的斜率为 .
15．将2个男生和4个女生排成一排，要求2个男生都不与女生甲相邻的排法有 种.
16．某地区调研考试数学成绩服从正态分布，且，则成绩在的概率为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知圆过点，且与直线相切于点．
(1)求圆C的方程；
(2)若、在圆上，直线，的斜率之积为，证明：直线过定点．
18．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，P为C上一点，的面积的最大值为.
(1)求C的方程；
(2)若直线与圆相切，与椭圆C交于M，N两点，且，求直线的方程.
19．（12分）如图，已知四边形与均为直角梯形，平面平面EFAD，，，为的中点，.
(1)证明：，，，四点共面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
20．（12分）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段AC，的中点，在平面ABC内的射影为D．
(1)求证：平面BDE；
(2)若点F为棱的中点，求点F到平面BDE的距离；
(3)若点F为线段上的动点（不包括端点），求平面FBD与平面BDE夹角的余弦值的取值范围．
21．（12分）电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战役胜利做出重要贡献的故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
22．（12分）零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高.某企业为了提高零件产品质量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计整理，得到数据如下表：
零件直径（单位：厘米）
零件个数 10 25 30 25 10
已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）.
参考数据：；若随机变量，则，，.
(1)分别求，的值；
(2)试估计这批零件直径在的概率；
(3)随机抽查2000个零件，估计在这2000个零件中，零件的直径在的个数.
数学参考答案
1．B
【详解】设关于的对称点为，
则有，
解得：，即，
反射光线所在直线为，
整理得：
故选：B．
2．B
【详解】
如图，设中点为，，
因为，设圆心到弦距离为，
则，解得，
所以，此时点的轨迹方程为，即是以为圆心，半径为圆上一点，
此时圆心到的距离为，、
又因为点M在直线上动，
所以
又因为，
所以，
故选：B.
3．A
【详解】由椭圆定义得，，
由余弦定理可，解得，，所以轴，即，
设的角平分线与轴相交于，由三角形角平分线定理得，所以，
从而的角平分线的方程为，
原点关于的角平分线对称的点设为，经计算可，
则.
（或：关于的角平分线的对称点在的延长线上，记为，
且，，所以，,，解得，，即，
或由勾股定理知轴，得，
所以.
故选：A
4．C
【详解】由题设，且在第一象限，轴，则，
又在椭圆上，故，而，故.
故选：C
5．D
【详解】，，
故选：D
6．C
【详解】直线l的方向向量为，且l过点，
又点，则，则，
又∵，
∴则点，到l的距离为，
故选：C．
7．C
【详解】由的展开式中所有项的二项式系数之和为16，得，所以，
则二项式的展开式的通项公式为（且），
令，解得，
所以，故的展开式中的常数项为28，
故选：C．
8．C
【详解】对于A项：由题意知，故A错误．
对于B项：因为，，不相互独立，所以，故B错误．
对于C项：因为，所以，故C正确．
对于D项：，，
则，故D错误．
故选：C.
9．BD
【详解】由双曲线：可得：，
所以，
故实轴长为，故A 错误，
离心率为，故B正确，
渐近线方程为，故C错误，
右焦点为，到渐近线的距离为，故D正确，
故选：BD
10．ACD
【详解】对于A，由，则，故A正确；
对于B，由，，因为，所以两向量显然不平行，故B错误；
对于C，由，，则，故C正确；
对于D，在上投影向量的长度为，故D正确.
故选：ACD.
11．AC
【详解】选项A：依题意有，解得，所以A正确；
选项B：展开式的第四项的二项式系数应为，故B错误；
选项C：的展开式的通项，
由于，所以，因此展开式中不含常数项，故C正确；
选项D：令，可得展开式中所有项的系数之和等于，故D错误．
故选：AC.
12．ABC
【详解】对于A选项，若与互斥，则，A对；
对于B选项，若与相互独立，则，
所以，，B对；
对于C选项，若，且，
所以，事件与相互独立，C对；
对于D选项，若，则，所以，，D错.
故选：ABC.
13．
【详解】设动点为，
由题意可得，
整理得，即，
故动点的轨迹是半径为，圆心为的圆，
因为圆心到直线的距离，
所以点到此直线的最大距离为．
故答案为：.
14．或
【详解】设，，因为，
又A，F，B三点共线，所以，
所以，所以，.
又，在椭圆上，
所以，所以，
即，
所以，所以，
所以，又，所以，所以，
由，解得，
当时，直线l的斜率；
当时，直线l的斜率，所以直线l的斜率为或.
15．288
【详解】先将除甲外其它3个女生排一排有种，共有4个空，
若2个男生与女生甲排一起有种，再将他们插入上述4个空中的一个有种，
此时，共有种；
若2个男生中的一个与女生甲排一起有种，再将他们和另一个男生插入上述4个空中的两个有种，
此时，共有种；
又6个人做全排列有种，故2个男生都不与女生甲相邻的排法有种.
故答案为：
16．/
【详解】由正态分布知，均值，且，所以，
则数学成绩在的概率为，
故答案为：.
17．【详解】（1）
设，
直线：即，
由圆与直线相切于，
则，即，可得
又圆过点，所以，即，
解得，
所以圆心，半径，
所以圆的方程为；
（2）当直线斜率存在时，设，，，
联立直线与圆，得，
则，即，
，，，，
又，，
所以，
即，
则，
解得或，都满足
所以方程为或，
即或，
当直线方程为时，恒过点，不成立，
当直线方程为时，恒过；
当直线斜率不存在时，设直线，则，，
则，，
所以，
解得：（舍）或，
即方程为，仍过，
综上所述，直线恒过定点.
18．【详解】（1）由题意知，当面积最大时，,
又，所以，
故的方程为.
（2）
因为直线与圆相切，则直线方程也为，
所以，，
设，
联立方程，消去，得，
则，即，显然成立，
此时，
因为，
所以，即，
整理得，
又，所以，
解得（负值舍去），则，
所以直线的方程或.
19．【详解】（1）取的中点，连接，.
因为为的中点，为的中点，且，，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，
所以且.
又因为，且，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，.
所以，，
所以，，，四点共面.
（2）因为平面平面，平面平面，
且，所以平面.
如图，以B为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，.
设平面的一个法向量为，因为，，
所以，令，得，所以.
设平面的一个法向量为，因为，，
所以，令，得，，所以.
设平面与平面夹角为，
所以.
20．【详解】（1）连结，因为为等边三角形，D为AC中点，所以，
又平面ABC，平面ABC，所以，
又，AC，平面，
所以平面，又平面，所以
由题设知四边形为菱形，所以，
因为D，E分别为AC，中点，所以，即，
又，BD，平面BDE，
所以平面BDE.
（2）由平面ABC，BD，平面ABC，则有，，
又为等边三角形，D为AC中点，则有，
则以D为坐标原点，，，所在直线为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，，
由（1）可知即为平面BDE的一个法向量，
点F为棱的中点，则，可知，
所以点到F到平面BDE的距离．
（3）因为，，，
设，则，
设平面FBD的法向量，则，
令，则，，则
，
令，则，
∴；
∵，∴，∴，
即平面FBD与平面BDE夹角的余弦值的取值范围为．
21．【详解】（1）根据题意，先将3个女生排在一起，有种排法，
将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理，共有种排法；
（2）根据题意，先将4个男生排好，有种排法，
再在这4个男生之间及两头的5个空位中插入3个女生有种方法，
故符合条件的排法共有种；
（3）根据题意，先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法，
由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，
最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法，故符合条件的排法共有种．
22．【详解】（1）由平均数与方差的计算公式分别得：
故，.
（2）设表示零件直径，则，即.
，
由对称性得， ，即.
同理，，
，即.
.
故这批零件直径在的概率为0.8186.
（3）由（2）知，，
所以在这2000个零件中，零件的直径在的有个.
