天津市师中师教育集团2023-2024高一上学期第三次月考数学试题（含答案）

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天津市师中师教育集团2023-2024学年高一上学期第三次月考
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共9小题，共45分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.“”是“方程表示圆的方程”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.某校举办歌唱比赛，将200名参赛选手的成绩整理后画出频率分布直方图如图，根据频率分布直方图，第40百分位数估计为（ ）
A.64 B.65 C.66 D.67
4.函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
6.已知某地市场上供应的洗衣机中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%.甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一台合格洗衣机的概率是（ ）
A.0.16 B.0.72 C.0.76 D.0.88
7.中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，则有下列结论：
①的最小正周期为
②f的图像关于点对称
③在单调递增
④把的图像上的所有点向右平移个单位长度，再向上平移个单位，可得到的图像，其中所有正确结论的编号是（ ）
A.①④ B.②④ C.①③ D.①③④
9.已知函数，若函数有5个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共30分）
10.是虚数单位，则复数__________.
11.在的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为，则二项展开式中的常数项为__________.
12.设函数，则的值为__________.
13.2023年深秋，鼻病毒、肺炎支原体、呼吸道合胞病毒、腺病毒肆虐天津各个高中.目前病毒减员情况已经得到缓解，为了挽回数学课程，市教委决定派遣具有丰富教学经验的四支不同的教师队伍A、B、C、D，前往四所高中E、F、G、H进行教学指导，每支教师队伍到一所高中，那么总共有_________（请用数字作答）种的不同的派遣方法.如果已知A教师队伍被派遣到H高中，那么此时B教师队伍被派遣到E高中的概率是________.
14.已知，，两圆和只有一条公切线，则的最小值为__________.
15.如图，在四边形中，，，，，，则___________；设，则___________.
三、解答题（本大题共5小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（本小题14分）
已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，且.
（Ⅰ）求.
（Ⅱ）若，，求的面积.
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求的值.
17.（本小题15分）
如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，E、F分别是、的中点.若，.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
18.（本小题15分）
已知为数列的前项和，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，设数列的前项和为，若，求的最小值.
19.（本小题15分）
已知数列满足，，数列是公比为正数的等比数列，，且，，8成等差数列，
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和；
（3）若数列满足，求证：.
20.（本小题16分）
已知函数.
（1）若，恒成立，求的取值范围；
（2）证明：对任意，；
（3）讨论函数零点的个数.
天津市师中师教育集团2023-2024学年高一上学期第三次月考
答案
【答案】
1.C 2.A 3.C 4.B 5.D 6.D 7.C 8.A 9.C
10. 11.240 12.6 13.24； 14.9 15.0；6
16.解：（Ⅰ）因为，
所以，
所以，
由正弦定理可得，；
（Ⅱ）由余弦定理可得，，
整理可得，，
解可得，，
因为，所以.
（Ⅲ）由于，
.
所以.
17.（1）证明：设为的中点，连接，，
∵F，G分别是，的中点，四边形是矩形，
∴，，
又∵为的中点，∴，
∴四边形为平行四边形，∴，
∵平面，平面，
∴平面；
（2）解：因为平面，则F到平面的距离等于点A到平面的距离，
设点A到平面的距离为h，
∵平面，平面，平面，
∴，，
∵，，点E为中点，
则，，，
则，
，
因为，即，解得，
∴F点到平面的距离为；
（3）解：∵平面，平面，∴平面平面，
又，平面平面，平面，
∴平面，又平面，∴，
又，是的中点，∴，
∵，平面，平面，∴平面.
由，∴平面，
∵平面，则平面平面，
在平面内，过作于H，又平面平面，平面，
则平面，∴是与平面所成的角
∵在中，，，∴，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
18.解：（1）当时，，解得，
，
所以，即，
又因为，所以，
所以，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）可得，
所以
，
因为，即，
所以，因为，所以，
所以的最小值为10.
19.解：（1）数列满足，，
所以（常数），故数列是首项为1，公差为1的等差数列，
故.
数列是公比为的正数的等比数列，，且，，8成等差数列.
所以，解得.
所以数列是首项为2，公比为2的正数的等比数列.
所以.
故：，.
（2）数列满足，由（1）得，，
所以
，
∴；
（3）证明：数列满足，
所以
，
故.
20.解：（1），
（ⅰ）当时，，，
函数在单调递减，所以恒成立；
（ⅱ）当时，，，
函数在单调递减，所以恒成立；
（ⅲ）当时，有两根，且.
不妨设，则函数在单调增，
这与矛盾，所以不成立，
综上可得.
（2）由（1）可知，，
令，，则.
令得
，
对以上各式累加可得：
即对任意，.
（3）由（1）知，当时，在单调递减，且，所以只有一个零点，
当时，在单调递减，在单调递增，
又因为，所以.
因为，
，，
令，则，
，
当时，，
，，
又，所以，，
此时有3个零点.
综上，当时，只有一个零点，
当时，有3个零点.