2023-2024年人教版七年级上册数学期末与角相关的计算专题训练
1．如图，O是直线上一点，以O为顶点作，且，位于直线两侧，平分．
(1)当时，求的度数；
(2)请你猜想和的数量关系，并说明理由．
2．如图，是的平分线，是的平分线．
(1)如果，，那么是多少度？
(2)若，你能求出是多少度吗？
3．如图，是的平分线，是的平分线．
(1)如果，，那么是多少度？
(2)若，你能求出是多少度吗？
4．如图所示，A、O、E三点在同一条直线上，平分，平分．
(1)求的度数．
(2)如果A、O、E三点不在同一条直线上，其他条件不变，试问和之间有什么数量关系，简要说明理由．
5．如图，射线平分，是直角．
(1)如图1，在图中画出的补角，若该补角为，求的度数；
(2)如图2，若，求的度数．
6．如图，在直线上，射线平分，射线在内．
(1)若，求证：射线是的平分线；
(2)若，，求的度数．
7．如图，已知点是直线上一点，射线分别是、的平分线．
(1)若，求的度数．
(2)如果把“”条件去掉，那么的度数有变化吗？请说明理由．
8．如图，O是直线上一点，为任一条射线，平分，平分．
(1)写出图中的补角，的补角；
(2)与互余吗？为什么？
9．如图，为直线上一点，，平分，．
(1)填空：___________；
(2)求的度数；
(3)试判断是否平分，并说明理由．
10．如图，是直线上一点，是的余角，射线平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，请在图中画出符合题意的射线，探究与的数量关系，并说明理由．
11．如图，直线，，相交于点，，平分．
(1)写出的所有余角：
(2)马出的邻补角：
(3)若，求的度数．
12．如图，点O在直线上，，是的平分线．
(1)若，求的度数；
(2)若是的平分线，求的度数．
13．已知：，，平分．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，作的平分线，求的度数．
14．如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线．
(1)如图1，平分，，，求的大小；
(2)如图2，平分，平分，，，求的大小．
15．如图，直线与相交于点O，．
(1)若，求的度数；
(2)若平分，当为锐角时，试猜想与的关系，并说明理由．
16．如图，将一幅直角三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点 ．
(1)若 ，求的度数；
(2)请问与 是否相等，并说明理由；
(3)请求出与的和．
17．如图，是的角分线，为的角分线．
(1)若，，求的度数；
(2)若与互为补角，求的度数；
(3)在（2）的条件下，过点O引一条射线OG，使，且，平分，求的度数？
18．如图，点是直线上一点，平分，平分．
(1)写出图中互补的角
(2)你能求出的度数吗？你能得出什么结论？
(3)如果，求的度数．
19．如图，已知，射线为内的一条射线，分别平分．
(1)填空：的度数为 ；
(2)当射线在内绕点转动，其它条件都不变时，的大小会发生变化吗？说明理由．
20．已知，在内部，．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，若平分，请说明：；
(3)如图3，若在的外部分别作，的余角，，求的度数．
()
()
参考答案：
1．(1)
(2)，理由见详解
【分析】本题考查了角度之间的和差关系，和角平分线有关的计算．
（1）先求出，再根据平分，得出，即可求解；
（2）易得，根据角平分线的定义得出，最后根据，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
整理得：．
2．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了垂线及角平分线，熟练掌握垂线及角平分线的定义进行求解是解决本题的关键.
（1）由垂直的定义可得根据角平分线的定义可得的度数，已知可得的度数，根据代入计算即可得出答案；
（2）根据角平分线定义可得，，由已知，可得，根据等量代换即可得出答案.
【详解】（1）因为与互相垂直，
所以，
因为是的平分线，
所以，
因为是的平分线，，
所以，
所以；
（2）因为是的平分线， 是的平分线，
所以 ，
因为，
所以，
所以，
即.
3．(1)
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义，分别得出，，即可求出的度数；
（2）根据角平分线的定义，得出，，即可求出的度数．
【详解】（1）解：因为，，是的平分线，
所以，，
因为，，是的平分线，
所以，，
所以，；
（2）解：因为，是的平分线，是的平分线，
所以，，，
因为，，
所以，，
所以，，
即．
【点睛】本题考查了角度的和差，角平分线的定义，根据题意找出角度之间的数量关系是解题关键．
4．(1)；
(2)．理由见解析
【分析】（1）根据角平分线定义，得到，，再结合，即可得到；
（2）由（1）过程可知：．
【详解】（1）解：∵平分，平分，
∴，，
∵，，三点在同一条直线上，
∴，
∴
，
∴；
（2），理由如下：
当A、O、E不在同一条直线上，
∵平分，平分，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查利用角平分线定义求角度，涉及角平分线定义等知识，熟练掌握相关定义，数形结合准确表示各个角度之间的和差倍分是解决问题的关键．
5．(1)
(2)
【分析】（1）先求得，再根据角平分线的性质得出，根据余角的性质得出的度数；
（2）根据角平分线的定义得到，根据，得出，然后根据是直角可求出，即可得到结论．
【详解】（1）解：如图：作的反向延长线，则为的补角，
，
，
平分，
，
是直角，
，
；
（2）解：，
，
平分，
，
是直角，
，
，
．
【点睛】本题主要考查角的和差关系、角平分线的定义以及直角的定义，熟练掌握角的和差关系、角平分线的定义以及直角的定义是解决本题的关键．
6．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，平分，即可证明；
（2）设，则，根据列方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵．
∴，
∵，
∴．
∵射线平分，
∴，
∴，
∴，
∴射线是的平分线；
（2）解：∵，
∴设，则，
∵，
∴，
∵射线平分，
∴．
∵，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，角的和差倍分计算，熟练掌握角平分线的定义，角的和差倍分运算，运用方程思想求解，是解题的关键．
7．(1)；
(2)不会有变化，理由见解析．
【分析】（1）利用角平分线的定义得，根据邻补角的定义求得，再根据角平分线的定义求出，然后根据即可求解；
（2）由角平分线的定义得，再根据角的和差得，代入整理可得结论．
【详解】（1）射线分别是的平分线，
，
，
射线分别是的平分线，
，
；
（2）不会有变化，理由如下：
∵射线分别是的平分线，
∴，
∵，
，
，
，
的度数没有变化．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，邻补角的定义，此题关键是充分利用角平分线的定义．
8．(1)的补角为，的补角为
(2)互余，理由见解析
【分析】（1）由角平分线的定义可得，，再根据和为180度的两个角互为补角进行求解即可；
（2）由角平分线的定义可得，，在根据和为90度的两个角互为余角进行证明即可．
【详解】（1）∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，，
∴的补角为，的补角为；
（2）互余，理由如下：
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义和余角、补角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
9．(1)70
(2)
(3)平分，理由见解析
【分析】（1）利用角平分线定义计算；
（2）首先求出，再利用平角的定义求出；
（3）根据与的度数，判断是否相等．
【详解】（1）解：，平分，
，
故答案为：70；
（2），由（1）得，
，
；
（3）平分，理由如下：
，
平分．
【点睛】本题考查了角的计算和角平分线，解题的关键是掌握角的和差，角平分线的定义．
10．(1)
(2)或，理由见解析
【分析】（1）根据互为余角的两个角的和是90度，平角的定义，角平分线的定义解答；
（2）分情况画图分析，设，利用互为余角的两个角的和是90度，平角的定义，角平分线的定义，把和的度数分别用含有的式子表示，即可表示出两个角的关系．
【详解】（1）解：是的余角，，
，
，
平分，
；
（2）解：或，理由如下：
设，
是的余角，
，，
，
平分，
，
，
．
当射线在内部时，如图：
，
，
；
当射线在内部时，如图：
，
，
，
综上可知，或．
【点睛】本题考查余角、补角、角平分线、角的和差关系等知识点，解第一问的关键是掌握互为余角的两个角的和是90度，解第二问的关键是注意分情况讨论，避免漏解．
11．(1)，
(2)，
(3)30°
【分析】（1）根据余角的定义即可判断；
（2）根据邻补角的定义即可判断；
（3）由角平分线对的定义求出，即可求出答案；
【详解】（1）的余角有：，；
（2）的邻补角有：，；
（3），．
．
，．
平分，．．
【点睛】本题考查垂线，余角，角平分线定义，邻补角的概念，关键是掌握垂线，余角，邻补角的定义，角平分线的定义．
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据，，得到，根据是的平分线，得到；
（2）根据为的平分线，得到， ，根据是的平分线，得到，然后求得即可．
【详解】（1）∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴．
（2）解：∵为的平分线，
∴，，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线，余角．熟练掌握角平分线定义，余角定义，是解答本题的关键．
13．(1)
(2)
【分析】（1）先由得出，从而得出，最后由角平分线的性质即可得到；
（2）由题意可得，令，则，分别表示出，，由角平分线的性质可得，，最后进行角度的计算即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，
，
，
，
即，
，
又，
，
平分，
；
（2）解：如图，
，
，，
，
令，则，
，，
又，分别平分，，
，，
．
【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的角度的计算，几何图形中角度的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
14．(1)
(2)
【分析】（1）根据角平分线的性质，得到，由于，即可求出的大小；
（2）根据题意求出，运用角平分线的性质，得出，则得，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵平分，，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
又∵，
∴.
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.
15．(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据平角的定义直接进行计算即可；
（2）设，则，求出，然后可得答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：；
理由：设，则，
∵，平分，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角的和差计算，角平分线定义，正确识别各角之间的关系是解题的关键．
16．(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）结合图形求解即可；
（2）结合图形，找准各角之间的关系求解即可；
（3）设 ，得出，，然后求和即可．
【详解】（1），
∴；
（2）．
理由： ，
，
．
（3）设 ，
，，
．
【点睛】题目主要考查角度的计算，结合图形，找准各角之间的关系是解题关键．
17．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据角平分线的性质和角的和差运算即可求解．
（2）由是的角分线，为的角分线推出，再结合与互为补角求解即可．
（3）分两种情况进行讨论：①当在外时；②当在内时．通过题给条件和（2）的解代入计算即可．
【详解】（1）解：∵为的角分线，
∴，
∴．
（2）解：∵是的角分线，为的角分线．
∴；．
∴．
∵与互为补角，
∴，
∴，
∴．
（3）解：分情况讨论：
①如图，当在外时，
∵，
∴，
∵为的角分线，
∴，
∵，
∴①，
由（2）的解，知②．
联立①②解得：
．
∴
．
②如图，当在内时，
∵，
∴，
∵为的角分线，
∴，
∵，
∴①，
由（2）的解，知②．
联立①②解得：
．
∴
．
【点睛】此题考查了角平分线的性质，互为补角的两个角的性质以及角的和差计算，解题的关键是熟练掌握上述知识代入计算，注意分情况讨论．
18．(1)见解析
(2)能，一对邻补角的角平分线所成的角是直角
(3)
【分析】（1）根据补角的定义即可求解；
（2）根据角平分线的定义，可得与的关系，与的关系，根据角的和差，可得答案；
（3）根据角的和差，可得答案．
【详解】（1）解：∵平分，平分，
∴，，
∴互补的角有：与；与；与；与；与；
（2）和是角平分线，
，，
，
，
，
，
，
；
∴可得结论：一对邻补角的角平分线所成的角是直角；
（3）．
【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，补角的性质，利用角的和差是解题关键．
19．(1)
(2)的大小不会发生变化等于，理由见解析
【分析】（1）由分别平分得，从而得到，代入数值即可得到答案；
（2）由分别平分得，结合，即可求得，得到答案．
【详解】（1）分别平分和，
，
，
故答案为：；
（2）解：分别平分和，
， ，
的度数不变，
的大小不会发生变化等于．
【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义等，解题的关键是熟练运用半角的和差关系．
20．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由，，得到，而，即可求出的度数；
（2）由角平分线定义，得到，而，即可证明；
（3）由余角的定义，得到，而，，即可求出的度数，从而得出结论．
【详解】（1）解：，，
，
，
；
（2）平分，
，
，，
，
，，
，
；
（3），
，
，
，
，
，，
．
【点睛】本题考查余角和补角，角平分线定义，关键是应用角平分线定义，角的和差表示出有关的角．
()
()
