浙教版2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟卷（3）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列图形一定是相似图形（ ）
A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个直角三角形 D．两个等边三角形
2．将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正五边形 内接于 ，点 是劣弧 上一点（点 不与点 重合），则 （ ）
A． B． C． D．
（第3题） （第4题） （第5题） （第7题） （第9题）
4．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点P在的边AC上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同．经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中的黄球个数最有可能是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
7．如图，AB是的弦，半径于点D，，点P在圆周上，则等于（ ）
A．27° B．30° C．32° D．36°
8．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（ ）
A．当时，，
B．当时，，
C．当时，，
D．当时，，
9．如图，△ABC中有一正方形DEFG，其中点D在AC上，点E，F在AB上，直线AG分别交DE，BC于点M，N．若∠B=90°，AB=4，BC=3，EF=1，则BN的长是（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，在中，以为直径的分别与交于点F，D，点F是的中点，连接交于点E．若．连接，则弦的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
（第10题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知，则的值＝ ．
12．如图， 、 、 、 为一个正多边形的顶点， 为正多边形的中心，若 ，则这个正多边形的边数为 .
（第12题） （第14题） （第15题） （第16题）
13．某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦 青春梦”演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是 ．
14．如图，在矩形中， ，以点A为圆心，长为半径画弧交于点E，连接，，则阴影部分的面积为 ．
15．如图，ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是 mm．
16．如图，中，，，点E为AC中点．点D在AC右侧，，且，射线BE交AD于点F，若为等腰三角形，则线段EF的长为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算：（1）； （2）．
18．如图，在平行四边形中，过点A作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长．
19．在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为32cm．
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）
（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.9，tan18°≈0.3， ≈1.4， ≈1.7）
20．如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分的面积．
21． 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．
（1）写出的最高点坐标，并求a，c的值；
（2）若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．
22．综合与探究
如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点是x轴上的一个动点，过点P作直线轴，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N．
（1）求这个抛物线的函数表达式．
（2）①若点P在线段OB上运动，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴的正半轴上运动，在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
23．
（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．
（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
24．如图，内接于，，的外角的平分线交于点D，连接，，交于点F.
（1）求证：是等腰三角形.
（2）若.
①求证：.
②若的半径为5，，求的值.
()
浙教版2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟卷（3）
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列图形一定是相似图形（ ）
A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个直角三角形 D．两个等边三角形
【答案】D
【解析】A、任意两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
B、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
C、两个等腰三角形，无法确定形状是否相等，故不符合题意；
D、两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意；
故答案为：D．
2．将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得抛物线解析式为，
即，
故答案为：C．
3．如图，正五边形 内接于 ，点 是劣弧 上一点（点 不与点 重合），则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接 ， ，
是正五边形，
，
，
故答案为：B.
4．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】过B点作BD⊥AC，如图，
由勾股定理得，
AB==，
AD==2
cosA===，
故选：D．
5．如图，点P在的边AC上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、∵∠ABP=∠C，∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故A不符合题意；
B、∵∠APB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故B不符合题意；
C、∵∠A=∠A， ，∴△ABP∽△ACB，故C不符合题意；
D、∵∠A=∠A， ，∴△ABP和△ACB不相似，故D符合题意；
故答案为：D
6．一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同．经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中的黄球个数最有可能是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【解析】设袋子中的黄球个数最有可能是x个，根据题意得
，
解之：x=4.
故答案为：C
7．如图，AB是的弦，半径于点D，，点P在圆周上，则等于（ ）
A．27° B．30° C．32° D．36°
【答案】A
【解析】半径于点，
，
，
∴是直角三角形，
，
．
故答案为：A．
8．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（ ）
A．当时，，
B．当时，，
C．当时，，
D．当时，，
【答案】A
【解析】由题易知 ，和 ，是抛物线上两对对称点，
故a+b=c+d;
当m>0时，抛物线开口向上，将抛物线向上平移可知，抛物线与x轴两交点间距离变小，所以b-a>d-c,
故A正确，B、C、D错误，
故答案为：A.
9．如图，△ABC中有一正方形DEFG，其中点D在AC上，点E，F在AB上，直线AG分别交DE，BC于点M，N．若∠B=90°，AB=4，BC=3，EF=1，则BN的长是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵四边形DEFG是正方形，EF=1，∴ED=EF=GF=1，DE⊥AB，GF⊥AB，
∵∠B=90°，∴DE∥GF∥BC，
∴△ADE∽△ACB，△AGF∽△ANB，∴，，
∵AB=4，BC=3，∴，，
解得AE=，
而AF=AE+EF=+1=，
∴BN=.
故答案为：D.
10．如图，在中，以为直径的分别与交于点F，D，点F是的中点，连接交于点E．若．连接，则弦的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】A
【解析】如图，连接，
为的直径，
，
点是的中点，
，，
，（等腰三角形三线合一），
，
，
，
又，
，
解得或（舍去），
，
故答案为：A．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知，则的值＝ ．
【答案】2
【解析】∵，
∴设m=x，n=3x，
∴.
故答案为：2
12．如图， 、 、 、 为一个正多边形的顶点， 为正多边形的中心，若 ，则这个正多边形的边数为 .
【答案】10
【解析】如图，连接AO，BO，
∴∠AOB=2∠ADB=36°
∴这个正多边形的边数为 =10
故答案为：10.
13．某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦 青春梦”演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是 ．
【答案】
【解析】画树状图为：
共20种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12，
∴恰好选中一男一女的概率是 ，
故答案为： ．
14．如图，在矩形中， ，以点A为圆心，长为半径画弧交于点E，连接，，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，
∴阴影部分的面积
故答案为：．
15．如图，ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是 mm．
【答案】48
【解析】设该正方形的边长是a，则正确得式子=
16．如图，中，，，点E为AC中点．点D在AC右侧，，且，射线BE交AD于点F，若为等腰三角形，则线段EF的长为 ．
【答案】 或
【解析】延长AD，BC交于点G，
在△ACB和△ACG中
∴△ACB≌△ACG（ASA），
∴AG=AB=12，2BC=2CG=BG，
∵点E为AC的中点，DE⊥AC，∴DE∥CG，DG=AD=AG=6，
∴DE是△ACG的中位线，∴DE=CG，
∴BG=4DE，∴△DEF∽△GBF，∴，
∴DG=3DF=6，∴DF=2，
△DEF是等腰三角形，
当EF=DF=2时，EF是Rt△AED斜边上的中线，
∴EF=AD=3，
∴EF≠DF；
当EF=ED时，过点E作EH⊥AD于点H，
∴DH=FH=DF=1，
∵△EHD∽△ADE，
∴
∴ED2=1×6
解之：；
当DF=DE=2时，
，
∵AF=AD-DF=6-2=4，AD=DG，
∴，
∴，
∵DE∥CB，
∴
∵CG=BC=2DE=4，
∴，
∴.
故答案为： 或
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
=
=
．
（2）解：
=
=
．
18．如图，在平行四边形中，过点A作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC
∴∠ADF=∠DEC，∠ADF=∠DEC
∵
∵∠AFD+∠AFE=180°，
∴∠AFD=∠C
在△ADF与△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC，
∴△ADF∽△DEC
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，
∴
在Rt△ADE中，由勾股定理得：，
所以AE的长为6．
19．在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为32cm．
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）
（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.9，tan18°≈0.3， ≈1.4， ≈1.7）
【答案】（1）解：由已知得 ，
在Rt△APE中，
∵ ，
∴ ，
答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为53km；
（2）解：如图，过点B作BF⊥AC于点F，
∵∠EAB+∠BAF＝90°，∠EAB+∠AEP＝90°，
∴∠BAF＝∠AEP＝18°，
在Rt△ABF中，
AF＝AB cos∠BAF＝32×cos18°≈32×0.9≈28.8，
BF＝AB sin∠BAF＝32×sin18°≈32×0.3≈9.6，
∵BF∥CD，
∴∠CBF＝∠BCD＝30°，
∴ ，
∴AC＝AF+CF＝28.8+5.44≈34（cm）．
答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为34cm．
20．如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，则，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，
∵O为正方形中心，
∴，，而，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，而，
∴，
∴，
∴，，
而正方形的边长，
∴，
解得：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
而，
∴．
21． 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．
（1）写出的最高点坐标，并求a，c的值；
（2）若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．
【答案】（1）解：∵抛物线，
∴的最高点坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为，令，则；
（2）解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，
∴点A的坐标范围为，
当经过时，，
解得；
当经过时，，
解得；
∴
∴符合条件的n的整数值为4和5．
22．综合与探究
如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点是x轴上的一个动点，过点P作直线轴，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N．
（1）求这个抛物线的函数表达式．
（2）①若点P在线段OB上运动，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴的正半轴上运动，在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把代入中，得
解得
∴．
（2）解：①设直线的表达式为，把，代入．
得，解这个方程组，得
∴．
∵点是x轴上的一动点，且轴．
∴．
∴．
∵P在上运动，
∴当时，有最大值；
②存在这样的Q点，Q点的坐标为 或或
【解析】（2）②第一种情况，对角线，因为的斜率为1，，而菱形的对角线平分角，可得到，所以菱形为正方形；
则此时点N的纵坐标为，有
解得或(舍去)，
则，
，
∴Q
第二种情况：当作为菱形的一条边时，有
，，
所以
解得或0(舍去)，
∴
∴此时Q点坐标为．
第三种情况：当P在B点右侧时，如下图，有，
，，
∴，解得或0(舍去)，
∴
∴
此时Q点的坐标为：
综上所述，点Q的坐标为或或．
23．
（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．
（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
；
（3）解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
；
②由①得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC．
24．如图，内接于，，的外角的平分线交于点D，连接，，交于点F.
（1）求证：是等腰三角形.
（2）若.
①求证：.
②若的半径为5，，求的值.
【答案】（1）证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②连接交于G，
∵，
∴D、O都在中垂线上，即D、O、G共线，
∴且，
∵，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴.
()
