衡阳市八中 2024届高三上学期数学
第 I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的.
A x x 1 B x y x1. 设集合 ，集合 ，则 A B （ ）
A. 1,1 B. 0,1 C. 0,1 D. 1,
【答案】C
【解析】
【分析】求解绝对值不等式和函数定义域解得集合 A,B，再求交集即可.
【详解】根据题意，可得 A x 1 x 1 ,B x x 0 ，
故 A B {x 0 x 1} [0,1) .
故选：C .
2. 已知复数 z满足 iz 1 2i，则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的除法运算法则、结合共轭复数的定义、复数在复平面内对应点的特征进行求解即可.
1 2i ( 1 2i) i
【详解】 iz 1 2i z 2 2 ii i z 2 i
，
所以复数 z 在复平面内对应的点位于第四象限，
故选：D
3. 函数 y cos 2x sin
x 的最小值为（ ）
2
9 5
A. -2 B. C. D. 0
8 8
【答案】B
【解析】
【分析】化简 y cos 2x sin
x 2cos
2 x cos x 1 2(cos x 1 9 )2 ，对称轴处取最小值即可.
2 4 8
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y cos 2x sin 【详解】 x
2cos
2 x cos x 1 2(cos x 1 9 )2
2 4 8
cos x 1 9当 时，取得最小值为
4 8
故选：B
4. 已知等差数列 an 的前 5项和 S5 35，且满足 a5 13a1，则等差数列{an}的公差为（ ）
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得到 S5 5a1 10d 35， a5 a1 4d 13a1，解得答案.
【详解】 S5 5a1 10d 35； a5 a1 4d 13a1，解得 d 3， a1 1 .
故选：D
5. 龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一
个圆台．现有一龙洗盆高 15cm，盆口直径 40cm，盆底直径 20cm．现往盆内倒入水，当水深 6cm时，盆内
水的体积近似为（ ）
A. 1824cm3 B. 2739cm3 C. 3618cm3 D. 4512cm3
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴截面和相似关系，以及圆台体积即可求解.
【详解】如图所示，画出圆台的立体图形和轴截面平面图形，并延长 EC与 FD于点G .
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根据题意， AB 20cm，CD 10cm， AC 15cm， EC 6cm，
设CG xcm， EF ycm
10 x y x 6
所以 ，
20 x 15 10 x
解得 x 15， y 14，
V 1所以 π 142 π 102 π 14 10 6 872π 27393 cm
3 ，
故选：B.
1 5
6. 已知 my 2x y 的展开式中 x2 y4的系数为 80，则 m的值为（ ）
x
A. 2 B. 2 C. 1 D. 1
【答案】A
【解析】
1 5 1 5
【分析】根据题意可得 my (2x y) (2x y) my(2x y)
5
，利用二项式展开式的通项公式
x x
T Cran rbrr 1 n 求出 x2 y4的项的系数，进而得出结果.
1
【详解】 my (2x
1
y)5 (2x y)5 my(2x y)5 ，
x x
1
在 (2x y)5 1 r 5 r r r 5 r r 4 r r的展开式中，由 x C
x 5
(2x) ( y) ( 1) 2 C5 x y ，
4 r 2 1
令 ，得 r无解，即 (2x y)5的展开式没有 x2 y4的项；
r 4 x
在my(2x y)5 r 5 r r的展开式中，由myC5 (2x) ( y) ( 1)
r 25 rmC rx5 r y r 15 ，
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5 r 2
令 ，解得 r=3，
r 1 4
my(2x y)5 x2 y4 ( 1)3 25 3mC3即 的展开式中 的项的系数为 5 40m，
又 (2x my)(x y)5的展开式中 x2 y4的系数为 80，
所以 40m 80，解得m 2 .
故选：A.
x2 y27. 在平面直角坐标系 xOy中，双曲线C : 1(a 0,b 0）的左、右焦点分别为 F1,F2 ，点 M是双a2 b2
曲线右支上一点，且△OMF2 为等边三角形，则双曲线 C的离心率为（ ）
A. 3 3 1 B. 1 C. 2( 3 1) D. 3 1
2 2
【答案】A
【解析】
【分析】连结MF1 .判断出V F2MF1为直角三角形，且 F1F2M 60 ，由双曲线的定义得到 3c c 2a，求出
离心率.
【详解】如图示，连结MF1 .
因为△OMF2 为等边三角形，所以 OM MF2 OF2 OF1 c .
所以 MOF2 OF2M 60 .
因为 OM OF1 ，所以 OMF1 OF1M .
又 OMF1 OF1M MOF2 60 ，所以 OMF1 OF1M 30 ，所以 F2MF1 90 .
在 V F2MF1中， F1F2M 60 ，所以 MF1 tan60 MF2 3c .
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由双曲线的定义可得： MF1 MF2 2a，即 3c c 2a，
c 2
所以离心率 e 3 1.
a 3 1
故选：A.
a 38. 设 ，b ln1.03， c e0.03 1，则下列关系正确的是（ ）
103
A. a b c B. b a c
C. c b a D. c a b
【答案】C
【解析】
x
【分析】构造函数 f x e 1 x, x 0 .利用导数判断单调性，证明出 e0.03 1 0.03 .构造函数
g x ln 1 x x, x 0 .利用导数判断单调性，证明出 ln1.03 0.03，得到 c b；构造函数
h x ln 1 x x 3 , x 0 .利用导数判断单调性，证明出 ln1.03 ，即为b a .即可得到答案.
1 x 103
【详解】记 f x ex 1 x, x 0 .
x
因为 f x e 1，所以当 x 0时， f x 0，所以 f x 在 0, 上单调递增函数，所以当 x 0时，
f x f 0 0，即 ex 1 x，所以 e0.03 1 0.03 .
记 g x ln 1 x x, x 0 .
因为 g x 1 1 x 0，所以 g x 在 0, 上单调递增函数，所以当 x 0时，
1 x 1 x
g x g 0 0，即 ln 1 x x，所以 ln1.03 0.03 .
所以 c b .
x
记 h x ln 1 x , x 0 .
1 x
1 1 x
因为 h x 1 x 1 x 2 1 x 2 ，所以当 x 0时， h x 0，所以 h x 在 0, 上单调递增函
x 0.03 3
数，所以当 x 0时， h x h 0 0，即 ln 1 x ，所以 ln1.03 .
1 x 1 0.03 103
所以b a .
综上所述： c b a .
故选：C
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二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分，在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目的要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0
分.
9. 立德中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的 1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[50，
60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]分成 5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中
信息，下列说法正确的是（ ）
A. 图中的 x值为 0.020 B. 这组数据的极差为 50
C. 得分在 80分及以上的人数为 400 D. 这组数据的平均数的估计值为 77
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据频率分布直方图中所有长方形的面积和为 1，以及极值、频数以及平均数的计算，对每个选项
进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】由 (0.005 x 0.035 0.030 0.010) 10 1，可解得 x 0.020，故选项 A正确；
频率分布直方图无法看出这组数据的最大值和最小值，故选项 B不正确；
得分在 80分及以上的人数的频率为 (0.030 0.010) 10 0.4，
故人数为1000 0.4 400，故选项 C正确；
这组数据的平均数的估计值为：55 0.05 65 0.2 75 0.35 85 0.3 95 0.1 77
故选项 D正确.
故选：ACD.
10. 已知函数 f (x) sin x 0,
3
的部分图象如图所示，则（ ）
2
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26
A. 2 B. 7
7
C. D.
6 6
【答案】AD
【解析】
1 7
【分析】由 f (0) , f (0) 0 f 0 T 7 3T 可求出 ，由 结合 可求 .
2 12 2 12 4
1 3
【详解】由图可知 f (0) sin 且 ，
2 2
f x cos x ，由图可知 f 0 cos 0， cos 0，
， ，
2 6
f 7 sin 7 0 7 12k 2又 ，则 k ,k Z ，即 ,k Z，
12 12 6 12 6 7
T 7 3T 7 T 7 7 2 7 12 18又由图 ，则 ，即 ，则 ， 2 .
2 12 4 9 6 9 6 7 7
故选：AD.
11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反
之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线C : y2 2x ，O为坐
标原点，一束平行于 x轴的光线 l1从点 P m, 2 射入，经过C上的点 A x1, y1 反射后，再经过C上另一点
B x2 , y2 反射后，沿直线 l2射出，经过点Q，则（）
1
A. x1x2 4
1
B. 延长 AO交直线 x 于点D，则D， B，Q三点共线
2
C. AB 13
4
9
D. 若 PB平分 ABQ，则m
4
【答案】AB
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【解析】
1
【分析】根据题设和抛物线的性质得到点 F ,0 ，A x1, 2 ，将点A x1, 2 代入抛物线C的方
2
程得到x ，从而求出直线
1 AB的方程，联立直线 AB和抛物线C得到点 B的坐标，即可判断选项 A和 C，
1
又结合直线OA和直线 x 得到点D，即可判断 B选项，若 PB平分 ABQ，得到 ABQ 2 PBQ，
2
转化为直线 PB斜率 k0 和直线 AB的斜率的关系式即可求出m .
1
【详解】由题意知，点 F ,0 ， A x1, 2 ，如图：
2
A x , 2 y2 2x A 2,2 k
2 0 4
将 1 代入 ，得 x1 2，所以 ，则直线 AB的斜率 2 1
3 ，
2
4 1 4
则直线 AB的方程为 y 0 x ，即 y x
2
，
3 2 3 3
y2 2x
1
联立 4 2 ，得8x2 17x 2 0，解得 x1 2， x2 = ，
y x 8 3 3
x 1 y 1 B
1 1
又 2 = 时， ，则 , 8 2 2 8 2
1 1
所以 x1x2 2 ，所以 A选项正确；8 4
AB x x 1 2 1 1 25又 1 2 ，所以 C选项错误；8 8
1 1 1
又知直线 BQ∥x轴，且 B , 8 2
，则直线 BQ的方程为 y ，
2
又 A 2,2 ，所以直线 AO的方程为 y x，
x 1 y 1
1 1
令
，解得 ，即D , ，D在直线 BQ上，2 2 2 2
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所以D， B，Q三点共线，所以 B选项正确；
π
设直线 PB的倾斜角为 （ 0, ），斜率为 k0 ，直线 AB的倾斜角为 ，
2
若 PB平分 ABQ，即 ABQ 2 PBQ，即 2 ，
tan tan 2 2 tan
4 2k
0所以 2 ，则 k 0 k
1
1 tan 3 1 k 2
，且 0 ，解得 0
，
0 2
2 1
k 2
1 41又 0 ，解得：m ，所以 D选项错误；
m 1 2 8
8
故选：AB.
12. 如图，棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E，F，G分别是棱 AD,DD1,CD的中点，则（ ）
A. 直线 A1G,C
1
1E 为异面直线 B. VD1 BEF 3
C. 直线 AG 21 与平面 ADD1A1所成角的正切值为 D. 过点 B，E，F的平面截正方体的截面面积为 9
4
【答案】BC
【解析】
【分析】作出图形，利用中位线定理和平行的传递性即可判断选项 A；利用等体积法计算即可判断选项 B；
根据线面角的概念即可判断选项 C；利用平面的性质即可判断选项 D.
【详解】对于 A，连接 EG, AC, A1C1，
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由题意可知 EG / /AC ，因为 AC / /A1C1，所以 EG / /A1C1，所以 A1G,C1E 共面，
故选项 A错误；
对于 B，连接D1E,FB,EB,EF ,D1B，
由题意可知D1F 1，ED 1，
1
所以VD BEF V B D EF S D EF AB
1 1 1
1 1 2 ，故选项 B正确；
1 1 3 1 3 2 3
对于 C，连接 A1D，
由正方体的性质可知DG 平面 ADD1A1，所以 GA1D即为直线 A1G与平面 ADD1A1所成的角，则
tan GAD DG 1 2 1 ，故选项 C正确；A1D 2 2 4
对于 D，连接 EF ,FC1,EB,BC1，
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1
根据正方体的性质可得 EF / /BC1，且 EF BC ，2 1
所以平面 EFC1B即为过点 B，E，F的平面截正方体的截面，该四边形为梯形，其上底 2，下底为 2 2，
3 2 1 3 2 9
高为 ，所以截面面积为 S 2 2 2 ，故选项 D 错误；2 2 2 2
故选：BC
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
13. 已知平面向量 a 1,2 ，b m, 3 ，若 a 2b与 a共线，则m ______ .
3
【答案】 ##1.5
2
【解析】
【分析】确定 a 2b 1 2m, 4 ，根据平行得到 4m 3 1 2m ，解得答案.
【详解】 a 1,2 ，b m, 3 ，则 a 2b 1 2m, 4 ，
a 2b ∥a，故 4 2 1 2m 3，解得m 2
3
故答案为：
2
14. 六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则共有________
种排法．
【答案】90
【解析】
【分析】根据有限制的排列问题求解即可.
【详解】由于六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则排法
A6
有 6
A2 2 2
90种．
2A2A2
故答案为：90 .
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15. 已知函数 y a x 1(a 0且 a 1)的图象过定点A，且点A在直线mx 2ny 8 m 0,n 0 上，
8 3
则 的最小值是______.
mn 2m
9
【答案】
16
【解析】
8 3 16 3
【分析】求出函数所过的定点 A 1,1 ，则有m 2n 8，则 2n 8 m，则 mn 2m m 8 m 2m ，
化简整理，分离常数再结合基本不等式求解即可.
【详解】函数 y a x 1(a 0且 a 1)的图象过定点 A 1,1 ，
则m 2n 8，所以2n 8 m，
m 0
由 ，得0 m 8，
2n 8 m 0
8 3 16 3 32 3 8 m 3m 8
则
mn 2m m 8 m 2m 2m 8 m 2m2 16m
t 8
令 t 3m 8, t 8,32 ，则m ，
3
8 3 t 9t
则 mn 2m 2 t 8
2
16 t 8 2t 2 80t 512
3 3
9 9 9
80 512 2t
16，
80 2 2t
512
t t
m 8
2t 512
当且仅当 ，即 t 16 3，即 时，取等号，t n 8
3
8 3 9
所以 的最小值是 .
mn 2m 16
9
故答案为： .
16
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2
16. 如图，已知抛物线 C： y2 2x，圆 E： x 2 y2 4，直线 OA，OB分别交抛物线于 A，
B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积等于 2，则直线AB被圆E所截的弦长最小值为________
【答案】 2 3
【解析】
【分析】先由两直线斜率之积构造齐次化方程，得出直线 AB过定点 1,0 ，再利用直线与圆的位置关系计
算弦长确定最值即可.
【详解】设 A x1, y1 ， B x , y l 2 22 2 ，设 AB：mx ny 1，又 y 2x，∴ y 2x mx ny ，
y 2
∴ y2 2nxy 2mx2 0 y，∴ 2n 2m 0．
x x
y1 y2
∴ k k 2m 2x1 x
OA OB ，∴m 1，
2
∴直线 AB恒过点Q 1,0 ，
由图结合圆的弦长公式可知，当圆心 E到动直线 AB的距离最大时，即
当直线 AB QE 2时，弦长最短，此时弦 JI 最小为2 4 2 1 2 3．
故答案为： 2 3
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四、解答题：本题共 6小题，共 70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验
算步骤.
17. 在① cos A 2c a ，②bcosC 2a c cosB中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作
2b
答．
问题：在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知______．
（1）求 B；
（2）若 1ABC的外接圆半径为 2，且 cos AcosC ，求 ac．
8
注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．
π
【答案】（1） B
3
（2） ac 6
【解析】
【分析】（1）选①利用余弦定理即可求出；选②根据正弦定理进行边换角即可得到答案；
（2）首先求出 sin AsinC 3 ，再利用正弦定理整体求出即可.
8
【小问 1详解】
选择条件①：
2c a b2 2 2cos A ABC c a 2c a因为 ，在 中，由余弦定理可得 ，
2b 2bc 2b
a2 c2 b2 ac 1
即 a2 c2 b2 ac，则 cos B ，
2ac 2ac 2
因为 B (0, π)，所以 B
π
.
3
选择条件②：
因为bcosC (2a c) cosB，在 ABC中，由正弦定理可得 sin BcosC sinC cosB 2sin AcosB，
即 sin(B C) 2sin AcosB，则 sin A 2sin AcosB，
因为 A (0, π)，所以 sin A 0，则 cosB
1
，
2
π
因为 B (0, π)，所以 B .
3
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【小问 2详解】
π A C 2π cos(A C) 1因为 B ，所以 ，则 ，
3 3 2
即 cos AcosC sin AsinC 1 ，又 cos AcosC 1 ，
2 8
1 1 3
所以 sin AsinC .因为 ABC的外接圆半径 R 2，
2 8 8
a c 3
所以由正弦定理可得 sin AsinC ，所以 ac 6 .
4 4 8
18. 已知数列 an ， bn 满足 a1 9， an 1 10an 9，bn an 1 .
（1）证明： bn 是等比数列；
n
（2）求数列 1 lgbn 的前 n项和 Sn .
1 1 n n 1
【答案】（1）证明见解析；（2） Sn ( 1) .4 4 2
【解析】
【分析】（1）由等比数列的定义即可证明；
（2）由错位相减法可求.
bn 1 an 1 1 10an 9 1 10a1 n
10
【详解】（ ）依题意， 10bn a
.
n 1 an 1 an 1
又b1 a1 1 10 .
故 bn 为首项b1 10，公比 q 10的等比数列.
2 n 1 n（ ）由（1）可知bn b1q 10 .
所以 cn ( 1)
n lgbn ( 1)
n lg10n ( 1)n n .
Sn 1 ( 1) 2 ( 1)
2 (n 1) ( 1)n 1 n ( 1)n ①
( 1)S 2n 1 ( 1) 2 ( 1)
3 (n 1) ( 1)n n ( 1)n 1 ②
①-②得2Sn ( 1) ( 1)
2 ( 1)n n ( 1)n 1
( 1) 1 ( 1)
n ( 1) ( 1)
n 1 1 1
n ( 1)n 1 n ( 1)n 1 n ( 1)
n 1
，
1 ( 1) 2 2 2
S 1 1 n 故 n ( 1)
n 1 .
4 4 2
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19. 某市航空公司为了解每年航班正点率 x%对每年顾客投诉次数 y（单位：次）的影响，对近 8
年（2015年～2022年）每年航班正点率 x%和每年顾客投诉次数 y的数据作了初步处理，得到下
面的一些统计量的值.
8 8 8 8 2
xi yi xi yi xi x
i 1 i 1 i 1 i 1
600 592 43837.2 93.8
（1）求 y关于 x的经验回归方程；
（2）该市航空公司预计 2024年航班正点率为84%，利用（1）中的回归方程，估算 2024年顾客对该市航
空公司投诉的次数；
3 1（ ）根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为 2 ，现从该市所有顾客中随机抽取 4
人，记这 4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望.
附：经验回归直线 y b x a 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
n
xi yi nxy
b i 1n ,a y b x
x 2i x
i 1
【答案】（1） y 6x 524
（2） 20
（3）分布列见解析，E X 2
【解析】
【分析】（1）根据题中数据利用最小二乘法求出b ,a ，即可得解；
（2）将 x 84代入回归方程即可得解；
（3）先写出随机变量的所有可能取值，再求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可.
【小问 1详解】
x 600 75, y 592 74，
8 8
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n
xi yi nxy
b i 1 43837.2 8 75 74则 n 6，
x x 2 93.8i
i 1
所以 a y b x 74 6 75 524，
所以 y 6x 524；
【小问 2详解】
当 x 84时， y 20，
所以 2024年顾客对该市航空公司投诉的次数为 20次；
【小问 3详解】
X 可取0,1, 2,3, 4，
4 3
P x 0 C0 1 14 ，P x 1 C1
1 1 1 ，
2 16 4 2 2 4
2 2 3
P x 2 C2 1 1 3 1 1 14
3 2
，P x 3 C4 ，
2 8 2 2 4
4
P x 4 C4 1 14 ，
2 16
所以分布列为
X 0 1 2 3 4
1 1 3 1 1
P
16 4 8 4 16
所以 E X 0 1 1 1 2 3 1 3 4 1 2 .
16 4 8 8 16
20. 如图所示，在梯形 ABCD中，AB//CD， BCD 120 ，四边形 ACFE为矩形，且CF 平面 ABCD，
AD CD BC CF．
第 17 页 共 22 页
（1）求证：EF 平面 BCF；
（2）点 M在线段 EF上运动，当点 M在什么位置时，平面 MAB与平面 FCB所成的锐二面角为 ．
3
【答案】（1）证明见解析
（2）M与 E重合
【解析】
【分析】（1）可证 AC 平面 BCF，从而得到需求证的线面垂直.
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，设 FM 0 3 ，求出平面 MAB的一个法向量和平面 FCB
的一个法向量后可求二面角的余弦值，从而可求参数 的值，故可得M 的位置.
【小问 1详解】
证明：设 AD CD BC 1，在梯形 ABCD中，过D,C分别作 AB的垂线，垂足分别为 S ,T ，
1 1
∵ AB//CD， BCD 120 ，所以TB AS BC ，
2 2
∴ AB 2，∴ AC2 AB2 BC2 2AB BC cos60 3，
∴ AB2 AC 2 BC 2 ，则 BC AC．
∵CF 平面 ABCD， AC 平面 ABCD，∴ AC CF ，
而CF BC C ，CF，BC 平面 BCF，
∴ AC 平面 BCF．∵ EF //AC，∴ EF 平面 BCF．
【小问 2详解】
以 C为坐标原点，分别以直线 CA，CB，CF为 x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设
FM 0 3 ，
则C 0,0,0 ， A 3,0,0 ， B 0,1,0 ，M ,0,1 ，
uuur
∴ AB 3,1,0 ， BM , 1,1 ．
设 n x, y, z 为平面 MAB的法向量，
第 18 页 共 22 页
n AB 0 3x y 0
由 得 取 x 1，则 n 1, 3, 3
n BM 0 x y z 0
易知m 1,0,0 是平面 FCB的一个法向量，
n m 1 1 1 , 3
∴ cos n,m 2 2 ，n m 1 3 3 3 4 2
∵0 3，∴当 3时，
即M 与 E重合时，平面 MAB与平面 FCB所成的锐二面角为 ．3
2 2 3 2
21. x y已知椭圆C : 2 1(a b 0)经过点E 2,a b2
2
，左顶点为D，右焦点为 F ，已知点P(0, 2)，
且D， P， E三点共线．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知经过点 P的直线 l与椭圆C交于A， B两点，过点 B作直线 y 3 2的垂线，垂足为G，求证：
直线 AG过定点．
x2 y2
【答案】（1） = 1
8 6
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得 a2 ,b2的值，即可求得椭圆的方程；
（2）分别当 A( 2 2,0)和 A(0, 6)时，求得直线 AG的方程，联立方程组，求得交点坐标，设直线 l的方
程为 y kx 2，联立方程组求得 x1 x2 , x1x2 ，求得直线 AG的方程，令 x 0，结合 x1 x2 , x1x2 化简
得到 y 2 2 ，即可求解.
第 19 页 共 22 页
【小问 1详解】
9
E( 2, 3 2解：由题意，将点 )代入椭圆的方程，可得 2 2 ，
2 a2
b2
1
又由 P(0, 2)是 y轴上一点，且 P,D,E三点共线，
3 2
2 0 2可得所以 2 ，解得 a 2 2，
0 ( a) 2 0
9 2 2
代入 2 2 ，可得b2
x y
1 6 ，所以椭圆C的方程为 = 1 .8 6
a2 b2
【小问 2详解】
1
解：当 A( 2 2,0)时，此时直线 l的方程为 y x 2，
2
y
1
x 2
2 3 2
联立方程组 2 2 ，解得 x 2 2或 x 2 ，可得 B 2, ，
x y 2 1
8 6
此时G( 2,3 2)，直线 AG的方程为 y x 2 2 ，
当 A(0, 6)时，同理可得 B(0, 6)，此时G(0,3 2)，
可得直线 AG的方程为 x 0，
y x 2 2
由 ，解得 x 0, y 2 2，即两直线的交点为 (0, 2 2)，
x 0
下面证明直线 AG经过 y轴上定点 (0, 2 2)．
设直线 l的方程为 y kx 2，
y kx 2
2 2
联立方程组 x2 y2 ，整理得 4k 3 x 8 2kx 16 0，
1
8 6
设 A x1, y1 ,B x , y x x 8 2k 162 2 ，则 1 2 2 ,x1x2 ,G x ,3 2 ，4k 3 4k 2 3 2
y 3 2
所以直线 AG的方程： y 3 2 1 x x ．
x 21 x2
第 20 页 共 22 页
x 0 y x2 y1 3 2x令 ，可得 2 3 2 3 2x x y 1 2 1
x1 x2 x1 x2
3 2x1 x2 kx1 2 3 2x1 2x kx x 2 1 2 ．
x1 x2 x1 x2
kx x 16k因为 1 2 2 x x ，3 4k 2 1 2
3 2x
所以 y 1
2x2 2 x1 x2 2 2x 2 2x 1 2 2 2 ．
x1 x2 x1 x2
所以直线 AG过定点 (0, 2 2)．
22. 已知函数 f x ln x m e x 1（m R， e 2.718281 ）
（1）讨论函数 f x 的单调性；
2 x x（ ）若关于 的不等式 f x xe 2 0恒成立，求实数 m的取值范围．
【答案】（1）当m e时， f x 在 0, 上单调递增；
m e 1 1 当 时， f x 在 0, 上单调递增，在 , 上单调递减；
e m e m
（2） , e 1
【解析】
m e ex ln x 1【分析】（1）求定义域，求导，对 m进行分类讨论，求出单调性；（2）参变分离后，转化为
x x
在 0, x ln x 1上恒成立，对 h x e 求导，求解其最小值，最终求出 m的取值范围，过程用到了
x x
同构和隐零点的方法.
【小问 1详解】
因为 f x ln x m e x 1，其定义域为 0,
1 m e x
所以 f x 1 m e ．
x x
当m e 0，即m e时， f (x) > 0，所以 f x 在 0, 上单调递增；
1 1
当m e 0，即m e时，由 f (x) > 0得：0 x ，所以 f x 在e m
0, 上单调递增；
e m
第 21 页 共 22 页
f 1x 1 0 得： x ，所以 f x 在 ,
上单调递减；
e m e m
综上，当m e时， f x 在 0, 上单调递增；
当m e时， f x 0, 1 1在 上单调递增，在 ,
上单调递减；
e m e m
【小问 2详解】
因为 f x ln x m e x 1， f x xex 2 0，
所以 ln x m e x 1 xex 0 x ln x 1，所以m e e 在 0, 上恒成立．
x x
2 x
令 h x ex ln x 1 h x ex 1 ln x 1 x e ln x，则 ，
x x x2 x2 x2
t x x 2e x令 ln x，则 t x x2 1 2x e x 0，x
所以 t x 在 0, 上单调递增．
1
2
t 11 e 0 t 1 ee 1 0 t x ,1 又 ， ，所以 在 上有唯一零点 x0，使 t x0 0．
e e
ln x ln 1
x2ex即 00 ln x 0 x e
x0 0 x ex 100 ，即 0 x ，即 0 ln x
1 ln 10 ln
1 e x0 ，
0 x0 x0 x0 x0
当 x 0, x0 时， t x 0,h x 0，当 x x0 , 时， t x 0,h x 0，
x ln x 1
所以 h x e 在 x x0处取得极小值，也是最小值.x x
令 g x xe x x， g x x 1 e ，当 x 0时， g x x 1 ex 0恒成立，
1 1
所以函数 g x xe x在 0, x0上单调递增，所以 x0 ln x ，即 x0 ln x0 ，即 e x ．0 0
h x ex ln x0 1 1 x 1h x 0 0所以 的最小值 0 1x0 x0 x0 x x
，
0 0
所以m e 1，即m e 1，所以实数 m的取值范围是 , e 1 ．
第 22 页 共 22 页衡阳市八中 2024届高三上学期数学模拟试卷
第 I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的.
A x x 1 B x y x1 设集合 ，集合 ，则 A B . （ ）
A. 1,1 B. 0,1 C. 0,1 D. 1,
2. 已知复数 z满足 iz 1 2i，则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 函数 y cos 2x sin x 的最小值为（ ）
2
9 5
A. -2 B. C. D. 0
8 8
4. 已知等差数列 an 的前 5项和 S5 35，且满足 a5 13a1，则等差数列{an}的公差为（ ）
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
5. 龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一
个圆台．现有一龙洗盆高 15cm，盆口直径 40cm，盆底直径 20cm．现往盆内倒入水，当水深 6cm时，盆内
水的体积近似为（ ）
A 1824cm3. B. 2739cm
3 C. 3618cm3 D. 4512cm3
第 1 页 共 9 页
1 my 56. 已知 2 4 2x y 的展开式中 x y 的系数为 80，则 m的值为（ ）
x
A. 2 B. 2 C. 1 D. 1
2 2
7. x y在平面直角坐标系 xOy中，双曲线C : 的左、右焦点分别为 F ,F ，点 M是双
a2 b2
1(a 0,b 0） 1 2
曲线右支上一点，且△OMF2 为等边三角形，则双曲线 C的离心率为（ ）
A. 3 3 3 1 1 B. 1 C. 2( 3 1) D.
2 2
3
8. 设 a ，b ln1.03， c e0.03 1，则下列关系正确的是（ ）
103
A. a b c B. b a c
C. c b a D. c a b
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分，在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目的要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9. 立德中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的 1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[50，
60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]分成 5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中
信息，下列说法正确的是（ ）
A. 图中的 x值为 0.020 B. 这组数据的极差为 50
C. 得分在 80分及以上的人数为 400 D. 这组数据的平均数的估计值为 77
第 2 页 共 9 页
f (x) sin x 10. 已知函数 0,
3
的部分图象如图所示，则（ ）
2
26
A. 2 B.
7
7 C. D. 6 6
11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反
之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线C : y2 2x ，O为坐
标原点，一束平行于 x轴的光线 l1从点 P m, 2 射入，经过C上的点 A x1, y1 反射后，再经过C上另一点
B x2 , y2 反射后，沿直线 l2射出，经过点Q，则（）
x 1A. 1x2 4
1
B. 延长 AO交直线 x 于点D，则D， B，Q三点共线
2
13
C. AB
4
9
D. 若 PB平分 ABQ，则m
4
第 3 页 共 9 页
12. 如图，棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E，F，G分别是棱 AD,DD1,CD的中点，
则（ ）
A. 直线 A1G,C E V
1
1 为异面直线 B. D1 BEF 3
C. 2直线 A1G与平面 ADD1A1所成角的正切值为 D. 过点 B，E，F的平面截正方体的截面面积为 9
4
第 4 页 共 9 页
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
13. 已知平面向量 a 1,2 ，b m, 3 ，若 a 2b与 a共线，则m ______ .
14. 六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则共有________
种排法．
15. 已知函数 y a x 1(a 0 且 a 1)的图象过定点 A，且点 A 在直线mx 2ny 8 m 0,n 0 上，则
8 3
的最小值是______.
mn 2m
16. 如图，已知抛物线 C： y2 2x，圆 E： x 2 2 y2 4，直线 OA，OB分别交抛物线于 A，B两点，
且直线 OA与直线 OB的斜率之积等于 2，则直线 AB被圆 E所截的弦长最小值为________．
第 5 页 共 9 页
四、解答题：本题共 6小题，共 70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验
算步骤.
cos A 2c a17. 在① ，②bcosC 2a c cosB中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作
2b
答．
问题：在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知______．
（1）求 B；
1
（2）若 ABC的外接圆半径为 2，且 cos AcosC ，求 ac．
8
注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．
18. 已知数列 an ， bn 满足 a1 9， an 1 10an 9，bn an 1 .
（1）证明： bn 是等比数列；
n
（2）求数列 1 lgbn 的前 n项和 Sn .
第 6 页 共 9 页
19. 某市航空公司为了解每年航班正点率 x%对每年顾客投诉次数 y（单位：次）的影响，对近 8
年（2015年～2022年）每年航班正点率 x%和每年顾客投诉次数 y的数据作了初步处理，得到下
面的一些统计量的值.
8 8 8 8 2
xi yi xi yi xi x
i 1 i 1 i 1 i 1
600 592 43837.2 93.8
（1）求 y关于 x的经验回归方程；
（2）该市航空公司预计 2024年航班正点率为84%，利用（1）中的回归方程，估算 2024年顾客对该市航
空公司投诉的次数；
3 1（ ）根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为 2 ，现从该市所有顾客中随机抽取 4
人，记这 4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望.
附：经验回归直线 y b x a 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
n
xi yi nxy
b i 1n ,a y b x
xi x 2
i 1
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20. 如图所示，在梯形 ABCD中，AB//CD， BCD 120 ，四边形 ACFE为矩形，且CF 平
面 ABCD， AD CD BC CF．
（1）求证：EF 平面 BCF；
（2）点 M在线段 EF上运动，当点 M在什么位置时，平面 MAB与平面 FCB所成的锐二面角为 ．
3
2 2 3 2
21. x y已知椭圆C : 1(a b 0)经过点E2 2 2, ，左顶点为D，右焦点为 F ，已知点P(0, 2)，a b 2
且D， P， E三点共线．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知经过点 P的直线 l与椭圆C交于A， B两点，过点 B作直线 y 3 2的垂线，垂足为G，求证：
直线 AG过定点．
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22. 已知函数 f x ln x m e x 1（m R， e 2.718281 ）
（1）讨论函数 f x 的单调性；
（2）若关于 x x的不等式 f x xe 2 0恒成立，求实数 m的取值范围．
第 9 页 共 9 页
