2022-2023学年甘肃省酒泉市高一下学期期末数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.对于非零向量，，，下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则，的夹角为锐角
3.求值：( )
A. B. C. D.
4.关于数学建模的认识：数学建模活动是对现实问题进行抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程；数学建模过程主要包括：问题描述、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析与检验和推广应用；数学建模作为连接数学与实际问题的桥梁，建立既符合实际又能够利用现有方法求解的合理数学模型是解决实际问题的关键步骤之一；按照数学建模的流程，模型求解之后，还需要对模型解的正确性进行检验以上说法正确的是( )
A. B. C. D.
5.给出下列四个命题，其中正确的命题是
( )
平行于同一直线的两条直线平行；
平行于同一平面的两条直线平行；
平行于同一直线的两个平面平行；
平行于同一平面的两个平面平行．
A. B. C. D.
6.在中，若，则一定是
( )
A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰三角形
7.“哥德巴赫猜想”被誉为数学皇冠上的一颗明珠，是数学界尚未解决的三大难题之一．其内容是：“任意一一个大于的偶数都可以写成两个素数质数之和．”若我们将拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，在加数都大于的条件下，两个加数均为素数的概率是．( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是
( )
A.
B. 为锐角三角形
C. 若，则的面积是
D. 若外接圆半径是，内切圆半径为，则
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列各对事件中，为相互独立事件的是
( )
A. 掷一枚骰子一次，事件“出现偶数点”；事件“出现点或点”
B. 袋中有白、黑共个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到白球”
C. 袋中有白黑共个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到黑球”
D. 甲组名男生，名女生；乙组名男生，名女生，现从甲乙两组中各选名同学参加演讲比赛，事件“从甲组中选出名男生”，事件“从乙组中选出名女生”
10.若过作的垂线，垂足为，则称向量在上的投影向量为如图，已知四边形， 均为正方形，则下列结论正确的是
( )
A. 在上的投影向量为 B. 在上的投影向量为
C. 在上的投影向量为 D. 在上的投影向量为
11.下列选项中，与的值相等的是
( )
A. B.
C. D.
12.如图所示，在棱长为的正方体中， 、 分别为棱、的中点，则下列结论正确的是
( )
A. 直线 与是异面直线
B. 直线 与 是平行直线
C. 三棱柱的外接球的表面积为
D. 平面 截正方体所得的截面面积为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.设，则方程的解为 ．
14.若一个圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，则此圆锥的高为 ．
15.如图，正方体的一个顶点在平面内，其余顶点均在平面的同侧正方体上与顶点相邻的三个顶点，，到平面的距离分别为，，，则这个正方体其余顶点到平面的距离的最大值为 ．
16.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”以直角三角形的斜边为边得到的正方形类比“赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点为 的中点，点是内含边界一点，且，则的最大值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知向量，，，
若向量与垂直，求实数 的值
当 为何值时，向量与平行．
18.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角 的终边分别与单位圆交于，两点，且，两点的横坐标分别为，．
求的值；
求的值．
19.本小题分
在复平面内，正方形的两个顶点、对应的复数分别为、，求另外两个顶点 、 对应的复数．
20.本小题分
如图，已知点是正方形所在平面外一点，平面 ，， 、 、 分别是 、 、 的中点．
求证：平面 ；
求证：直线平面 ；
求直线 与平面 所成的角．
21.本小题分
为了促进学生的全面发展，某市教育局要求本市所有学校重视社团文化建设，年该市某中学的某新生想通过考核选拨进入该校的“电影社”和“心理社”，已知该同学过考核选拨进入这两个社团成功与否相互独立根据报名情况和他本人的才艺能力，该同学分别进入“电影社”的概率和“心理社”的概率和 ，假设至少进入一个社团的概率为．
求该同学进入心理社的概率 ；
学校根据这两个社团的活动安排情况，对进入“电影社”的同学增加个校本选修课学分，对进入“心理社”的同学增加个校本选修课学分，求该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于分的概率．
22.本小题分
已知函数．
若，求函数的值域；
设三角形 中，内角 、 、 所对边分别为 、 、 ，已知，且锐角 满足，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查复数的除法运算，属于基础题．
利用复数运算即可解答．
【解答】
解： ，
，
故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题．
选项A：向量垂直数量积为的性质即可判断；
选项B根据公式 可以进行判断；
选项C因为是非零向量，所以 ，可以依据这个进行判断；
选项D：根据数量积为正的定义即可判断．
【解答】
解：：若 ，当，，时也满足，故A错误；
：若 ，则 ，故B错误；
：非零向量 ，， ， ，故C正确；
：若 ，则，的夹角为锐角或，故D错误．
故选C．
3.【答案】
【解析】【分析】
利用辅助角公式计算即可．
本题考查三角函数的叠加及应用，属于基础题．
【解答】
解：
，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】根据数学建模的有关知识逐个分析判断即可
解：对于，数学建模活动是对现实问题进行抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程，正确，
对于，数学建模过程主要包括：问题描述、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析与检验和推广应用，正确，
对于，数学建模作为连接数学与实际问题的桥梁，建立既符合实际又能够利用现有方法求解的合理数学模型是解决实际问题的关键步骤之一，正确，
对于，按照数学建模的流程，模型求解之后，还需要对模型解的正确性进行检验，正确，
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查空间线线平行，面面平行的判断，属于基础题．
利用正方体模型可判断的正误，利用平行的传递性可判断的正误，利用面面平行的传递性可判断的正误．
【解答】
解：对于，由平行的传递性可知，平行于同一直线的两条直线平行，对；
对于，如下图所示：
在正方体 中， 平面 ， 平面 ，
但 与 相交，错，
平面 ， 平面 ，
但平面 与平面 相交，错；
对于，平行于同一平面的两个平面平行，对．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
由余弦定理化简计算即可．
本题考查余弦定理，属于基础题．
【解答】
解：由 及余弦定理得：
，即 ．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
求出两个加数都大于的情况，即两个加数都为素数的情况，即可得出概率．
本题主要考查古典概型的计算，注意例举法的应用，属于基础题．
【解答】
解：记“两个加数都大于”为事件，“两个加数都为素数”为事件，
在加数都大于的条件下则事件有 这种情况
事件有 这种情况，故 ．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
根据条件求出三角形三边的比值，利用正弦定理和余弦定理可以判断选项 A， 错误；对于， 求出三边长后，可利用三角形面积公式求解；对于， 利用正弦定理和等面积法可求出 外接圆半径，内切圆半径 ，可判断 正确．
本题考查解三角形问题，正弦定理与余弦定理的应用，属于中档题．
【解答】
解：设 ，则
对于， 故 A 错误；
对于， 角 为钝角，故 B 错误；
对于， 若 ，则
所以 的面积 故 C 错误；
对于， 由正弦定理
的周长
所以内切圆半径 故 D 正确．
故选： ．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查相互独立事件的判断，属于基础题．
利用相互独立事件的定义一一验证即可．
【解答】
解：在中，样本空间 ，事件 ，
事件 ，事件 ，
， ， ，
即 ，故事件与相互独立，A正确；
在中，事件是否发生对事件发生的概率没有影响，故与是相互独立事件，B正确
在中，由于第次摸到球不放回，因此会对第次摸到球的概率产生影响，
因此不是相互独立事件，C错误
在中，从甲组中选出名男生与从乙组中选出名女生这两个事件的发生没有影响，
所以它们是相互独立事件，D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
过 作 于 ，连接 ，设 ，由 可得 ，求出 可得 ，可得 在 上的投影向量；根据向量加法的平行四边形法则得 ，可得 在 上的投影向量．
本题主要考查平行向量数量级的运算，属于中档题．
【解答】
解：过 作 于 ，连接 ，
因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，
设 ，则 ， ，
由 可得 ，
所以 ，则 ，所以 在 上的投影向
量为 ，
根据向量加法的平行四边形法则，得 ，
所以 在 上的投影向量为 ．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
根据诱导公式和三角恒等变换一一计算即可．
本题主要考查二倍角正弦公式和诱导公式的运算，属于中档题．
【解答】
解：
，
对于， ，故A符合题意；
对于， ，故B符合题意；
对于，
，故C符合题意：
对于， ，
故D不符合题意．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查异面直线的概念和判定、空间几何体的截面问题的计算，属于较难题．
利用异面直线的定义可判断选项；利用反证法结合面面平行的性质可判断选项；求出 的外接球的表面积，可判断选项；分析出平面 截正方体所得截面图形为梯形 ，并计算出 梯形 的面积，可判断选项．
【解答】
解：对于选项，因为 平面 ，
平面 ， 平面 ，，
由异面直线的定义可知，直线 与 是异面直线，对；
对于选项，假设直线 与 是平行直线，则 、 、 、 四点共面，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，所以， ，
又因为 ，所以， ，这与 矛盾，
假设不成立，故 A 与 不平行，错；
对于选项，正方体 的外接球半径为 ，
即三棱柱 的外接球的半径为 ，该球的表面积为 ，错；
对于选项，连接 ，
在正方体 中， 且 ，
所以，四边形 为平行四边形，则 ，
因为 、 分别为 、 的中点，
所以， 且 ，
故 且 ，故 、 、 、 四点共面，
所以，平面 截正方体 所得截面图形为梯形 ，
由勾股定理可得 ，同理可得 ，
故梯形 为等腰梯形，
过点 、 分别在平面 内作 ， ，垂足分别为点 、 ，
在 和 中， ， ， ，
所以， ，所以， ，
在梯形 内，因为 ， ， ，
所以，四边形 为矩形，故 ，
所以， ，
故 ，
所以，梯形 的面积为
，
故平面 截正方体所得的截面面积为 ，对．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查求方程的解，熟记复数的运算法则，以及复数相等的充要条件即可，属于常考题型先设 为虚数单位，代入方程，得到 ，根据复数相等，列出方程组求解，即可得出结果．
【解答】
解：设 为虚数单位，
则 可化为 ，即 ，
则 ，解得： ，因此 ．
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】【分析】
设圆锥的高和底面圆的半径，利用体积和圆锥的母线与底面所成角的关系建立方程求解即可．
本题主要考查圆锥体积公式的运算，属于基础题．
【解答】
解：设圆锥的高为 ，底面圆的半径为 ，
因为圆锥的母线与底面所成的角为 ，体积为 ，
所以 ，解得 ．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
根据，， 到平面 的距离分别为，，，可求出任两个点连线中点到平面 的距离，通过中点距离转化，可求出相关顶点到平面 的距离，进一步判断大小即可．
本题主要考查空间距离的计算，属于中档题．
【解答】
解：因为，， 到平面 的距离分别为，，，
所以， 的中点到平面 的距离为，
所以 到平面 的距离为
的中点到平面 的距离为
所以 到平面 的距离为
的中点到平面 的距离为
所以 到平面 的距离为
的中点到平面 的距离为
则 到平面 的距离为
则这个正方体其余顶点到平面 的距离的最大值为．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查向量的加减与数乘混合运算，属于中档题．
由题设 ，易得 ，过作 的平行线交 于点，即可判断与重合时 的值最大，进而求最大值．
【解答】
解：由 得： ，
又为 的中点，所以 ，
所以 ，过作 的平行线交 于点，
当与重合时， 的值最大．
因为为 的中点，且 ，
所以为 的中点，此时 ，
所以 的最大值为．
故答案为：．
17.【答案】解：由已知可得 ，
因为向量 与 垂直，所以 ，
解得 ；
，因为 与 平行，
所以 ，解得 ，
所以当 时，向量 与 平行．
【解析】根据向量垂直的坐标公式可得．
根据向量平行的坐标公式可得．
本题主要考查平行向量与垂直向量的坐标形式的应用，属于基础题．
18.【答案】解：因锐角 和钝角 的终边分别与单位圆交于点，，且点，的横坐标分别为 ， ，
显然，点在第一象限，点在第二象限，则点，的纵坐标分别为 ， ，
由已知及三角函数定义得 ， ，而 ， ，
所以 ；
由得 ， ，
所以 的值是 ．
【解析】根据给定条件求出点，的纵坐标，再借助三角函数定义计算两个角的正弦与余弦，结合差角的余弦公式，代入计算作答．
利用求出 ，再利用二倍角公式化简计算作答．
本题考查三角函数的定义的应用，属于基础题．
19.【答案】解：由复数的几何意义可得点 ， ，
， ，
设点 对应的复数为 ，点 对应的复数为 ，
因为四边形 为正方形，
则 ， ，且 ，
易知， ， ，
则 ，
，
所以， ，解得 或 ，
又因为 ，即 ，
所以， ，可得 ，
当 时， ；
当 时， ．
所以顶点 对应的复数为 ，顶点 对应的复数为 ；
或顶点 对应的复数为 ，顶点 对应的复数为 ．
【解析】本题主要考查复数的几何意义，涉及向量的坐标运算，属于中档题．
设点 对应的复数为 ，点 对应的复数为 ，分析可得 ， ，求出点 的坐标，根据 求出点 的坐标，由此可得出顶点 、 对应的复数．
20.【答案】解：取 的中点 ，连接 、 ，如下图所示：
因为 、 分别为 、 的中点，则 且 ，
因为四边形 为正方形，则 且 ，
因为 为 的中点，则 且 ，
所以， 且 ，故四边形 为平行四边形，所以， ，
因为 平面 ， 平面平面 ，所以， 平面 ．
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为四边形 为正方形，则 ，
因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，则 ，
因为 ， 为 的中点，则 ，
因为 ， 、 平面 ，因此， 平面 ．
因为四边形 为正方形，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， ，
因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
所以， 与平面 所成角为 ，
因为 ， ，则 为等腰直角三角形，且 ，
因此，直线 与平面 所成的角为 ．
【解析】本题主要考查线面平行和线面垂直的判定定理以及直线与平面所成的角，属于中档题．
取 的中点 ，连接 、 ，证明出四边形 为平行四边形，可得出 ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
证明出 平面 ，可得出 ，利用等腰三角形三线合一的性质可得出 ，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立；
推导出 平面 ，可知 与平面 所成角为 ，分析 的形状，即可得出结果．
21.【答案】解：由题意可知， ，解得 ．
令该同学在社团方面获得校本选修课加分分数为 ，则
，
，
所以该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于分的概率为
．
【解析】利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式即可求解；
利用独立事件的概率乘法公式分别求得分数为和时的概率，再利用互斥事件概率计算公式即可求解．
本题主要考查了独立事件乘法公式和对立事件概率计算公式，属于基础题．
22.【答案】解：
，
当 时， ，
则 ，故 ，
当 时，函数 的值域为 ．
因为 ，可得 ，
因为 ，则 ，所以， ，解得 ，
因为 ，由余弦定理可得
，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
又因为 ，故 ，故 的取值范围是 ．
【解析】本题主要考查正弦型函数的值域或最值以及余弦定理的应用，属于较难题．
利用三角恒等变换化简函数解析式为 ，由 可求出 的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得函数 的值域；
由已知条件可得出 ，结合角 的取值范围可得出角 的值，利用余弦定理结合基本不等式可得出 的最大值，再结合三角形三边关系即可得出 的取值范围．
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