广西北海市2022-2023高二下学期期末质量检测卷数学试题

广西北海市2022-2023学年高二下学期期末质量检测卷数学试题
一、单选题
1．用列举法可将集合表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．命题“”的否定是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知是等差数列的前项和，且，则（　　）
A．30 B．60 C．90 D．180
4．已知实数满足，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．2
5．设，则（　　）
A． B． C． D．
6．函数的部分图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
7．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知偶函数在上单调递减，若，则满足的的值可能为（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．2
10．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在处取得极大值
D．在处取得极大值
11．下列说法中，正确的有（　　）
A．已知，则数列是递减数列
B．数列的通项，若为单调递增数列，则
C．已知正项等比数列，则有
D．已知等差数列的前项和为，则
12．已知且，函数，则（　　）
A．若，则有且仅有1个零点
B．若，则在区间上单调递减
C．若有两个零点，则
D．若，则存在，使得当时，有
三、填空题
13．设等比数列的公比为，其前和为，且，则　 　，　 　.
14．是以2为周期的函数，若时，，则　 　.
15．已知函数在上存在极值点，则实数的取值范围是　 　.
16．设，若，则的最大值为　 　.
四、解答题
17．已知函数，满足条件.
（1）求的解析式；
（2）用单调性的定义证明在上单调递增，并求在上的最值.
18．设等比数列的前项和为，公比，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和为.
19．中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦.2023年5月30日9时31分，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心成功点火发射，实现了神舟十六号航天员乘组与神舟十五号航天员乘组太空在轨轮换．已知火箭起飞质量（单位：）是箭体质量（单位：）和燃料质量（单位：）之和．在发射阶段，不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和的函数关系是，其中为常数，且当燃料质量为时，火箭的最大速度为．已知某火箭的箭体质量为，当燃料质量为时，该火箭最大速度为.
（1）求该火箭的最大速度与起飞质量之间的函数关系式；
（2）“第一宇宙速度”是指物体在环绕地球做匀速圆周运动所需达到的速度，也称为“航天器最小发射速度”．请问当燃料质量至少是箭体质量的多少倍时，该火箭最大速度可达到（第一宇宙速度）？
20．已知函数.
（1）若在上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若，使得，求实数a的取值范围.
21．已知函数的首项，且满足.
（1）求证：为等比数列，并求；
（2）对于实数，表示不超过的最大整数，求的值.
22．已知函数.
（1）若在处取得极值，求的极值；
（2）讨论的单调性.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】集合的含义；元素与集合的关系；集合的表示方法
【解析】【解答】由题意， ，可得集合元素为， ， ， ，所以集合用列举法可表示为 .
故答案为： D .
【分析】根据元素与集合的关系以及列举法的概念即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】∵命题“”为特称命题，
∴其否定为全称命题“ ”；
故答案为： B.
【分析】由特称命题的否定是全称命题即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差中项
【解析】【解答】∵为等差数列，
∴，
∴，即 ，
∴；
故答案为： C.
【分析】由为等差数列，根据等差中项可得，再利用等差数列与 的关系可得即可求解.
4．【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】由 可得 ，则 ；
当时等号成立，
故答案为： B.
【分析】利用 可得，代入 消去b，将其转化为关于a的二次函数即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】由题意，
∵ ， ，，
∴，，，
∴；
故答案为： A.
【分析】利用为增函数，为减函数，为增函数，进而利用中间量0、1，来判断a、b、c的大小顺序.
6．【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】由题意，，
∵ 函数，
∴
∴，
∴为奇函数；可排除A、C答案；
又∵
∴可排除D答案，
故答案为：B.
【分析】本题利用排除法即可，先根据函数的表达式，判断其奇偶性，再根据特殊值作进一步排除.
7．【答案】B
【知识点】函数的图象；函数恒成立问题；函数的值；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】 当时，，根据二次函数的性质可知，，
令，解得，；
则在如下图
又∵，
∴当时，
同理可得当，，
当时，，
同理可得当，，
故而对任意，都有成立， 则必须满足 ，
故答案为：B.
【分析】根据定义画出在上的图像，再根据画出在R上的图像，数形结合即可得出a的范围.
8．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】 对分析可知 ，，则由二次函数的性质，在有且只有一个零点；
故函数 在 上有两个零点；
可设，则，
∵在 上有两个零点；
∴，
令，解得，
当，，在上单调递减；
当，，在上单调递增；
∴
又∵，且当时，，
∴，
即，
解得，
故答案为： C.
【分析】根据在有且只有一个零点，可知在 上有两个零点，利用导数以及数形结合即可求出a的范围.
9．【答案】C,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】由题意，
∵ 偶函数在上单调递减，且，
∴偶函数在上单调递增，且，
则由 可得 ，解得，
故答案为： CD.
【分析】结合偶函数的性质，且在上单调递减，， 则 可得 转化为，即可求解.
10．【答案】A,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】对于A，由图可知，当时，，所以 在区间上单调递减 ，A正确；
对于B，当时，，所以 在区间上单调递减；当时，，所以 在区间上单调递增 ；B错误；
对于C，当时，，所以 在区间上单调递增；当时，，；当时，，所以 在区间上单调递减 ；所以可知 在处取得极大值 ，C正确；
对于D，当时，，所以 在区间上单调递增；则 在无极大值 ，D错误；
故答案为：AC.
【分析】根据导函数的图像，即可得出极大值处、单调区间，即可判定选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列与一次函数的关系；数列与不等式的综合
【解析】【解答】对于A，由 可得 ， 所以数列是以公差为递减数列 ，A正确.
对于B，
∵，
∴
由②-①，可得，
又∵为单调递增数列，
∴，
即，
又∵
∴，B正确；
对于C，∵为正项等比数列，
∴，
欲证 ，只需证，即证即证，
解得或；
因为“或”为“”的充分不必要条件，所以C错误；
对于D，∵等差数列，∴，即 ，即 ，解得 ，D正确；
故答案为：ABD.
【分析】利用等差数列、等比数列和递增数列的性质判断即可.
12．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】对于A，当时，令 ，即 ，问题可化为只有一个解；
设，则，
∴当，，所以在上单调递增；
当，，所以在上单调递减；
∴，
∴在有且只有一个解，即当，则在有且仅有1个零点 ，A正确；
对于B，当时， ，
∴，
∴，
∴
∴在单调递增；
又∵
∴由零点存在性定理，可知在 内有且只有唯一零点，且
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
又∵，，
∴在上恒成立，
∴ 则在区间上单调递减，B正确；
对于C，令 ，即 ，即，所以问题可以转化为与在有两个交点；
设，则，
∴当，，所以在上单调递增；
当，，所以在上单调递减；
∴，
且当，；
又∵与在有两个交点；
∴，C错误；
对于D，由上述可知，对于 ，
当，存在 ， 使得当 时，不等式成立，
即 成立，
即 ，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对于AC选项，构造函数，结合单调性和最值判断，把问题转化为解的个数；对于B选项，结合零点存在性定理皓和隐零点判断函数单调性即可的出答案；对于D选项，由对分析可知，存在 ，使得当 时，不等式恒成立，即成立， 即可判断.
13．【答案】16；31
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题意， 是 等比数列 ，公比为， ，
∴
∴，
∴， ；
故答案为：16，31；
【分析】利用等比数列的性质，以及 可求出，根据的比数列的通项公式和前n项和即可求出 ，.
14．【答案】3
【知识点】函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】∵是以2为周期的函数 ，
∴，
又∵时，；
∴，
∴；
故答案为：3；
【分析】利用函数的周期性，可得，再根据 时， ，可求出，即可得出答案.
15．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】由 可得 ，
令，解得，
∵在 上存在极值点，
∴根据二次函数的图象和极值点的定义，可知；
故答案为： .
【分析】根据题意先得，再根据二次函数和极值点的定义，数形结合可知.
16．【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，当2a=b=8时取等号，
即，
即，
即
故答案为： .
【分析】先利用通过指对转化得到，，再通过对数的倒数公式得到，再通过均值不等式得到，即可得到答案.
17．【答案】（1）解：因为，且，
所以解得
所以；
（2）证明：由，
设任意的且，
则
因为且，所以，
所以，则在上单调递增，
所以.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用 可得 即可求出a、b的值；
（2）根据定义法证明单调性的概念可得 ，再根据，判断的正负，即可证明，再利用单调递增的性质的出最值.
18．【答案】（1）解：，解得，
；
（2）解：
.
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）根据等比数列的性质以及公比， 可得 ，联立解得和，即可得到的通项公式；
（2）利用分组求和即可求出 .
19．【答案】（1）解：因为火箭的最大速度（单位：）和的函数关系是，
又时，时，，
所以解得，
所以；
（2）解：设且，则，又，
所以时，可得，
即，解得，
故燃料质量至少是箭体质量的倍时，该火箭最大速度可达到.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；对数的性质与运算法则；“对数增长”模型
【解析】【分析】（1）由题意 、、以及 ，可根据当时， ， 当时，，求出解得 ，即可得出最大速度与起飞质量之间的函数关系式；
（2）可设，则有 ， 即可求出k.
20．【答案】（1）解：因为，所以，
因为在上单调递增，所以在上恒成立，即恒成立，
所以，易知在上单调递减，故，
所以.
（2）解：因为，使得，所以能成立，
则能成立，又，故能成立，
令，则，，
令，则恒成立，
所以在上单调递减，注意到，
所以当时，，则在单调递增；
当时，，则在单调递减；
所以，
故，即实数a的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；函数的值；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）先求出 的导函数 ， 再利用在上单调递增，可转化为 在恒成立，进而通过分离参数得到 ，即可求出a的范围.
（2）根据，使得，可分离参数后转化为，再求出 在 上的最大值，即可得出答案.
21．【答案】（1）证明：因为，
所以，
又因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，整理得到，
所以.
（2）解：因为，
所以
.
设，所以，
所以
所以，
所以.
因为，所以，
所以.
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比关系的确定；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）利用 可得递推关系，即可根据等比数列的定义得出结论，进而求出 ；
（2）先求出数列的通项公式 ， 再通过分组求和分别求出的前n项和，其中利用等差数列求和公式求出， 利用错位相减法求出前n项和，再根据定义求出 的值.
22．【答案】（1）解：因为，
所以，解得，
若，则，
所以，
令，解得；令，解得或；
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
此时在处取得极值，所以符合题意，
且，所以的极小值为，极大值为.
（2）解：由（1）可知：，
当时，，
令，解得；令，解得；
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，则有：
①若，即时，可知在上恒成立，所以在上单调递增；
②若，即时，
令，解得或；
令，解得；
所以在，上单调递增，在上单调递减；
（ⅲ）当时，则有：
①若，即时，则在上恒成立，所以在上单调递减；
②若，即时，
令，解得；
令，解得或；
所以在，上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减；
当时，在，上单调递减，在上单调递增.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】（1）利用 在处取得极值， 可得，即可求出 的值，再代入求出极值；
（2） 根据，可将对 单调性的讨论，转化为对的正负的讨论，分为与讨论即可.
广西北海市2022-2023学年高二下学期期末质量检测卷数学试题
一、单选题
1．用列举法可将集合表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】集合的含义；元素与集合的关系；集合的表示方法
【解析】【解答】由题意， ，可得集合元素为， ， ， ，所以集合用列举法可表示为 .
故答案为： D .
【分析】根据元素与集合的关系以及列举法的概念即可得出答案.
2．命题“”的否定是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】∵命题“”为特称命题，
∴其否定为全称命题“ ”；
故答案为： B.
【分析】由特称命题的否定是全称命题即可得出答案.
3．已知是等差数列的前项和，且，则（　　）
A．30 B．60 C．90 D．180
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差中项
【解析】【解答】∵为等差数列，
∴，
∴，即 ，
∴；
故答案为： C.
【分析】由为等差数列，根据等差中项可得，再利用等差数列与 的关系可得即可求解.
4．已知实数满足，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】由 可得 ，则 ；
当时等号成立，
故答案为： B.
【分析】利用 可得，代入 消去b，将其转化为关于a的二次函数即可求出答案.
5．设，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】由题意，
∵ ， ，，
∴，，，
∴；
故答案为： A.
【分析】利用为增函数，为减函数，为增函数，进而利用中间量0、1，来判断a、b、c的大小顺序.
6．函数的部分图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】由题意，，
∵ 函数，
∴
∴，
∴为奇函数；可排除A、C答案；
又∵
∴可排除D答案，
故答案为：B.
【分析】本题利用排除法即可，先根据函数的表达式，判断其奇偶性，再根据特殊值作进一步排除.
7．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象；函数恒成立问题；函数的值；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】 当时，，根据二次函数的性质可知，，
令，解得，；
则在如下图
又∵，
∴当时，
同理可得当，，
当时，，
同理可得当，，
故而对任意，都有成立， 则必须满足 ，
故答案为：B.
【分析】根据定义画出在上的图像，再根据画出在R上的图像，数形结合即可得出a的范围.
8．已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】 对分析可知 ，，则由二次函数的性质，在有且只有一个零点；
故函数 在 上有两个零点；
可设，则，
∵在 上有两个零点；
∴，
令，解得，
当，，在上单调递减；
当，，在上单调递增；
∴
又∵，且当时，，
∴，
即，
解得，
故答案为： C.
【分析】根据在有且只有一个零点，可知在 上有两个零点，利用导数以及数形结合即可求出a的范围.
二、多选题
9．已知偶函数在上单调递减，若，则满足的的值可能为（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】由题意，
∵ 偶函数在上单调递减，且，
∴偶函数在上单调递增，且，
则由 可得 ，解得，
故答案为： CD.
【分析】结合偶函数的性质，且在上单调递减，， 则 可得 转化为，即可求解.
10．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在处取得极大值
D．在处取得极大值
【答案】A,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】对于A，由图可知，当时，，所以 在区间上单调递减 ，A正确；
对于B，当时，，所以 在区间上单调递减；当时，，所以 在区间上单调递增 ；B错误；
对于C，当时，，所以 在区间上单调递增；当时，，；当时，，所以 在区间上单调递减 ；所以可知 在处取得极大值 ，C正确；
对于D，当时，，所以 在区间上单调递增；则 在无极大值 ，D错误；
故答案为：AC.
【分析】根据导函数的图像，即可得出极大值处、单调区间，即可判定选项.
11．下列说法中，正确的有（　　）
A．已知，则数列是递减数列
B．数列的通项，若为单调递增数列，则
C．已知正项等比数列，则有
D．已知等差数列的前项和为，则
【答案】A,B,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列与一次函数的关系；数列与不等式的综合
【解析】【解答】对于A，由 可得 ， 所以数列是以公差为递减数列 ，A正确.
对于B，
∵，
∴
由②-①，可得，
又∵为单调递增数列，
∴，
即，
又∵
∴，B正确；
对于C，∵为正项等比数列，
∴，
欲证 ，只需证，即证即证，
解得或；
因为“或”为“”的充分不必要条件，所以C错误；
对于D，∵等差数列，∴，即 ，即 ，解得 ，D正确；
故答案为：ABD.
【分析】利用等差数列、等比数列和递增数列的性质判断即可.
12．已知且，函数，则（　　）
A．若，则有且仅有1个零点
B．若，则在区间上单调递减
C．若有两个零点，则
D．若，则存在，使得当时，有
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】对于A，当时，令 ，即 ，问题可化为只有一个解；
设，则，
∴当，，所以在上单调递增；
当，，所以在上单调递减；
∴，
∴在有且只有一个解，即当，则在有且仅有1个零点 ，A正确；
对于B，当时， ，
∴，
∴，
∴
∴在单调递增；
又∵
∴由零点存在性定理，可知在 内有且只有唯一零点，且
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
又∵，，
∴在上恒成立，
∴ 则在区间上单调递减，B正确；
对于C，令 ，即 ，即，所以问题可以转化为与在有两个交点；
设，则，
∴当，，所以在上单调递增；
当，，所以在上单调递减；
∴，
且当，；
又∵与在有两个交点；
∴，C错误；
对于D，由上述可知，对于 ，
当，存在 ， 使得当 时，不等式成立，
即 成立，
即 ，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对于AC选项，构造函数，结合单调性和最值判断，把问题转化为解的个数；对于B选项，结合零点存在性定理皓和隐零点判断函数单调性即可的出答案；对于D选项，由对分析可知，存在 ，使得当 时，不等式恒成立，即成立， 即可判断.
三、填空题
13．设等比数列的公比为，其前和为，且，则　 　，　 　.
【答案】16；31
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题意， 是 等比数列 ，公比为， ，
∴
∴，
∴， ；
故答案为：16，31；
【分析】利用等比数列的性质，以及 可求出，根据的比数列的通项公式和前n项和即可求出 ，.
14．是以2为周期的函数，若时，，则　 　.
【答案】3
【知识点】函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】∵是以2为周期的函数 ，
∴，
又∵时，；
∴，
∴；
故答案为：3；
【分析】利用函数的周期性，可得，再根据 时， ，可求出，即可得出答案.
15．已知函数在上存在极值点，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】由 可得 ，
令，解得，
∵在 上存在极值点，
∴根据二次函数的图象和极值点的定义，可知；
故答案为： .
【分析】根据题意先得，再根据二次函数和极值点的定义，数形结合可知.
16．设，若，则的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，当2a=b=8时取等号，
即，
即，
即
故答案为： .
【分析】先利用通过指对转化得到，，再通过对数的倒数公式得到，再通过均值不等式得到，即可得到答案.
四、解答题
17．已知函数，满足条件.
（1）求的解析式；
（2）用单调性的定义证明在上单调递增，并求在上的最值.
【答案】（1）解：因为，且，
所以解得
所以；
（2）证明：由，
设任意的且，
则
因为且，所以，
所以，则在上单调递增，
所以.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用 可得 即可求出a、b的值；
（2）根据定义法证明单调性的概念可得 ，再根据，判断的正负，即可证明，再利用单调递增的性质的出最值.
18．设等比数列的前项和为，公比，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和为.
【答案】（1）解：，解得，
；
（2）解：
.
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）根据等比数列的性质以及公比， 可得 ，联立解得和，即可得到的通项公式；
（2）利用分组求和即可求出 .
19．中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦.2023年5月30日9时31分，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心成功点火发射，实现了神舟十六号航天员乘组与神舟十五号航天员乘组太空在轨轮换．已知火箭起飞质量（单位：）是箭体质量（单位：）和燃料质量（单位：）之和．在发射阶段，不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和的函数关系是，其中为常数，且当燃料质量为时，火箭的最大速度为．已知某火箭的箭体质量为，当燃料质量为时，该火箭最大速度为.
（1）求该火箭的最大速度与起飞质量之间的函数关系式；
（2）“第一宇宙速度”是指物体在环绕地球做匀速圆周运动所需达到的速度，也称为“航天器最小发射速度”．请问当燃料质量至少是箭体质量的多少倍时，该火箭最大速度可达到（第一宇宙速度）？
【答案】（1）解：因为火箭的最大速度（单位：）和的函数关系是，
又时，时，，
所以解得，
所以；
（2）解：设且，则，又，
所以时，可得，
即，解得，
故燃料质量至少是箭体质量的倍时，该火箭最大速度可达到.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；对数的性质与运算法则；“对数增长”模型
【解析】【分析】（1）由题意 、、以及 ，可根据当时， ， 当时，，求出解得 ，即可得出最大速度与起飞质量之间的函数关系式；
（2）可设，则有 ， 即可求出k.
20．已知函数.
（1）若在上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若，使得，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：因为，所以，
因为在上单调递增，所以在上恒成立，即恒成立，
所以，易知在上单调递减，故，
所以.
（2）解：因为，使得，所以能成立，
则能成立，又，故能成立，
令，则，，
令，则恒成立，
所以在上单调递减，注意到，
所以当时，，则在单调递增；
当时，，则在单调递减；
所以，
故，即实数a的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；函数的值；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）先求出 的导函数 ， 再利用在上单调递增，可转化为 在恒成立，进而通过分离参数得到 ，即可求出a的范围.
（2）根据，使得，可分离参数后转化为，再求出 在 上的最大值，即可得出答案.
21．已知函数的首项，且满足.
（1）求证：为等比数列，并求；
（2）对于实数，表示不超过的最大整数，求的值.
【答案】（1）证明：因为，
所以，
又因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，整理得到，
所以.
（2）解：因为，
所以
.
设，所以，
所以
所以，
所以.
因为，所以，
所以.
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比关系的确定；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）利用 可得递推关系，即可根据等比数列的定义得出结论，进而求出 ；
（2）先求出数列的通项公式 ， 再通过分组求和分别求出的前n项和，其中利用等差数列求和公式求出， 利用错位相减法求出前n项和，再根据定义求出 的值.
22．已知函数.
（1）若在处取得极值，求的极值；
（2）讨论的单调性.
【答案】（1）解：因为，
所以，解得，
若，则，
所以，
令，解得；令，解得或；
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
此时在处取得极值，所以符合题意，
且，所以的极小值为，极大值为.
（2）解：由（1）可知：，
当时，，
令，解得；令，解得；
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，则有：
①若，即时，可知在上恒成立，所以在上单调递增；
②若，即时，
令，解得或；
令，解得；
所以在，上单调递增，在上单调递减；
（ⅲ）当时，则有：
①若，即时，则在上恒成立，所以在上单调递减；
②若，即时，
令，解得；
令，解得或；
所以在，上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减；
当时，在，上单调递减，在上单调递增.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】（1）利用 在处取得极值， 可得，即可求出 的值，再代入求出极值；
（2） 根据，可将对 单调性的讨论，转化为对的正负的讨论，分为与讨论即可.