新高考四大基础题（三角+数列+立体几何+概率）一天两题–专练2

新高考四大基础题（三角+数列+立体几何+概率）一天两题--专练2
一、作业1
1．（2022高三下·广东月考）设
，
，
分别为
内角
，
，
的对边，已知
.
（1）若
，求
；
（2）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中.
问题：若_________，求
面积的最大值.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
2．（2021高一下·抚顺期末）如图，四棱锥 的底面是正方形， 底面 ， 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求三棱锥 的体积.
二、作业2
3．（2022高三下·广东月考）已知数列的前n项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
4．（2022高三下·广东月考）某夜市街上有“十元套圈”小游戏，游戏规则为每个顾客支付十元便可获得3个套圈，顾客使用套圈所套得的奖品，即归顾客所有．奖品分别摆放在1，2，3三个相互间隔的区域中，且1，2，3三个区域的奖品价值分别为5元，15元，20元，每个套圈只能使用一次，每次至多能套中一个．小张付十元参与这个游戏，假设他每次在1，2，3三个区域套中奖品的概率分别为0.6，0.2，0.1，且每次的结果互不影响．
（1）求小张分别在1，2，3三个区域各套一次后，所获奖品不超过1件的概率．
（2）若分别在1，2，3三个区域各套一次为方案甲，所获奖品的总价值为X元；在2区域连套三次为方案乙，所获奖品的总价值为Y元．以三次所套奖品总价值的数学期望为依据，小张应该选择方案甲还是方案乙？
三、作业3
5．（2022高三下·广东月考）如图，平面，平面，，，且均在平面的同侧．
（1）证明：平面平面．
（2）若四边形为梯形，，且异面直线与所成角的余弦值为，求四棱锥的体积．
6．（2022高三下·张掖月考）在中，角、、所对的边分别为、、，．
（1）若，求角；
（2）若，当角最大时，求的面积．
四、作业4
7．（2023高三下·扬州开学考）已知数列的前n项和为
（1）求数列的通项公式；
（2）令①；②；③从上面三个条件中任选一个，求数列的前项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
8．（2022高三下·张掖月考）某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查.得到的数据如表：
男性 女性 总计
参与该项老年运动 16
不参与该项老年运动 44
总计 60 40 100
从统计数据中分析得参与该项老年运动的被调查者中，女性的概率是.
参考公式及数据：，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）求列联表中，，，的值；
（2）是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？
（3）若将参与该项老年运动的老人称为“健康达人”，现从参与调查的“健康达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行健康状况跟踪调查，那么被跟踪调查的2人中都是男性的概率是多少？
五、作业5
9．（2023高三下·扬州开学考）已知的内角的对边分别为，，，，的内切圆的面积为.
（1）求的值；
（2）若点在上，且三点共线，求的值.
10．（2023高三下·扬州开学考）在三棱柱中，侧面是菱形，，，.
（1）求证：；
（2）已知，，求直线与平面所成角的正弦值.
六、作业6
11．（2021高三下·湖南月考）某同学在复习数列时，发现曾经做过的一道题目因纸张被破坏，导致一个条件看不清（即下题中“已知”后面的内容看不清），但在（1）的后面保留了一个“答案： 成等差数列”的记录，具体如下：
记等比数列 的前n项和为 ，已知___________________．
①判断 的关系；（答案： 成等差数列）
②若 ，记 ，求证： ．
（1）请在本题条件的“已知”后面补充等比数列 的首项 的值或公比q的值（只补充其中一个值），并说明你的理由；
（2）利用（1）补充的条件，完成②的证明过程．
12．（2023高三下·扬州开学考）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书（2022年）》可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：
年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年
年份代码x 1 2 3 4 5
云计算市场规模y/亿元 692 962 1334 2091 3229
经计算得：=36.33，=112.85.
（1）根据以上数据，建立y关于x的回归方程（为自然对数的底数）.
（2）云计算为企业降低生产成本 提升产品质量提供了强大助推力.某企业未引入云计算前，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差，其中m为单件产品的成本（单位：元），且=0.6827；引入云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差.若保持单件产品的成本不变，则将会变成多少？若保持产品质量不变（即误差的概率分布不变），则单件产品的成本将会下降多少？
附：对于一组数据其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，.
若，则，，
答案解析部分
1．【答案】（1）解：因为 ， ，所以由正弦定理，得 ，
则 ，又 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 为锐角.
故
（2）解：选①
因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
则 的面积 ，
故 面积的最大值为1.
选②
由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，
故 面积的最大值为
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；正弦定理
【解析】【分析】(1)根据题意由正弦定理整理化简已知条件由此计算出sinA的取值，结合已知条件计算出sinB的取值，再由同角三角函数的基本关系式计算出cosB的取值。
(2) 选① ，由已知条件结合基本不等式即可求出bc的最大值，然后由三角形的面积公式即可求出三角形面积的最大值； 选② 由余弦定理代入数值整理化简计算出
，然后由基本不等式即可求出bc的最大值，由此即可求出三角形面积的最大值。
2．【答案】（1）解：连接 交 于点 ，连接 ，
因为四边形 是正方形， 为 的中点.
又 已知 为 的中点， .
平面 ， 平面 ，
平面 .
（2） ， .
又 底面 ，
.
是 的中点，
.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】 (1)连接BD交AC于点O，连接OE，由已知可得OE//PD，再由直线与平面平行的判定可得PD//平面AEC；
(2)由E为PB的中点，结合已知利用等体积法求三棱锥E-PAD的体积.
3．【答案】（1）解：因为的前n项和为，又的前n项和为，
所以的前n项和，
当时，又也满足，
所以
（2）解：由（1）知：，，
两式相减，得，
所以
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】(1)根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等差数列，从而求出数列的通项公式即可。
(2)利用错位相减法以及等比数列的前n项和公式，代入数值计算出结果即可。
4．【答案】（1）解：记该顾客分别在1，2，3三个区域套一次便能套中奖品为事件A，B，C，
则，，，，，．
因为每次的结果互不影响，所以该顾客分别在1，2，3三个区域各套一次后，所获奖品不超过1件的概率
（2）解：选择方案甲：X可能的取值为0，5，15，20，25，35，40，
，
，
，
，
，
，
，
．
若小张选择方案乙，设他所获奖品的总件数为Z，则，
，，，
因为，所以小张应该选择方案乙．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件求出各个事件的概率，然后由概率的乘法和加法公式计算出结果即可。
(2)由已知条件即可得出X的可能取值，然后把各个数值代入到概率公式计算出结果，并把结果代入到期望公式计算出结果即可。
5．【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，所以平面，
因为，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：因为平面，所以，
以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，．
设，则，，，
设异面直线与所成的角为，
则，
整理得，
解得或1，
又，所以，故
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据题意由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，然后由面面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出异面直线所成角的余弦值，结合题意整理化简即可得出关于t的方程求解出t的取值，并代入到体积公式计算出结果即可。
6．【答案】（1）解：因为，所以得．
得：，，，
（2）解：在中，，，
所以，当且仅当，即时取等号．
又因为在上单调递减，所以此时角取得最大值，
又，由正弦定理得，所以，，
所以．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）因为
，利用正弦定理得
，根据正弦定理得
即可得B的值；
（2）在三角形中利用余弦定理
，
，得到
，利用基本不等式即可求得角B的最大值，再根据正弦定理求得
，最后计算面积即可.
7．【答案】（1）解：，
两式相减得，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
；
（2）解：由（1）可知，
若选①：，
.
两式相减得：，
所以.
若选②：
.
若选③：
当为偶数时，
当为奇数时，.
综上得：.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据题意得到 ，两式相减得，结合等比数列的定义，得到数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即可求得 数列的通项公式；
（2） 由（1）得到，若选①得到，结合乘公比错位相减法，即可求解；若选②求得，结合裂项相消法，即可求解；若选③求得，分为偶数和为奇数，结合并项求和，即可求解.
8．【答案】（1）解：由题意得，
解得，所以，
所以，
（2）解：由列联表中的数据可得的观测值
，
所以没有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关
（3）解：由（1）得“健康达人”共有24人，其中男性16人，女性8人，
所以抽样比，
因此按性别分层抽样抽取的6人中有男性人，记为，，，，
女性人，记为，，
从这6人中抽取2人的所有方式为，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，
其中符合题目要求的是6种情况，
所以抽取的全是男性的概率为.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）由 女性的概率是.，结合列联表即可求解；
（2）由列联表中的数据，计算 的值，对照临界表中的数据，比较即可得到结论；
（3）利用分层抽样和列举法求得基本事件数，计算概率即可.
9．【答案】（1）解：在中，由余弦定理得：
，即
设内切圆的半径为，则
（2）解：在中，由（1）结合余弦定理得，
平分点到的距离相等，故，
而
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）在 中 ，由余弦定理列出方程，求得，设内切圆的半径为，结合 ，即可求解；
（2） 在中，由（1）结合余弦定理求得，根据平分得到，再由，得到，求得，结合数量积的运算公式，即可求解.
10．【答案】（1）证明：取中点为，连接，
在三棱柱中，侧面是菱形，，
则为正三角形，取中点为，则，
又平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为是中点，所以.
（2）解：在边长为2的正中，，
在中，，则，又，
所以，所以，
所以两两垂直.
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系.
则，
，
设平面的法向量为，则
，令，则
设直线与平面所成角为，
则，
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取中点为，连接，根据为正三角形，取中点为，得到，再由，根据线面垂直的判定定理证得平面，进而得到，根据是中点，即可得到；
（2） 以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得向量和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解.
11．【答案】（1）解：条件的“已知”后面补充“公比 ”，理由如下：
由 成等差数列，得 ，
即 ．
因为 ，
故上式可化简为 ，
因为 ，
解得 ．
（2）解：因为 ，所以 ，
解得 ，所以 ．
由 ，得 ．
记 ，
则 ， ①
则 ， ②
由①—②，得 ，
，
，
所以 ，
所以 ．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比关系的确定；数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】(1)由等差数列的项的性质结合等比数列的通项公式，整理即可求出q的值即可。
(2)由已知条件即可得出数列和的通项公式，然后由错位相减法结合等比数列的前n项和公式，代入数值整理即可得出，由不等式的性质即可得出答案。
12．【答案】（1）解：因为，所以，
所以，
所以，
所以.
（2）解：未引入云算力辅助前，，所以，
又，所以，所以.
引入云算力辅助后，，所以，
若保持产品成本不变，则，
所以
若产品质量不变，则，所以，
所以单件产品成本可以下降元.
【知识点】可线性化的回归分析；样本相关系数r及其数字特征；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1） 由，得出，利用公式求得的值，进而求得的值，即可求得回归方程；
（2） 未引入云算力辅助前，根据题意得到，结合，求得，引入云算力辅助后得到，根据保持产品成本不变得，求得，由产品质量不变，求得，即可求得单件产品成本下降.
新高考四大基础题（三角+数列+立体几何+概率）一天两题--专练2
一、作业1
1．（2022高三下·广东月考）设
，
，
分别为
内角
，
，
的对边，已知
.
（1）若
，求
；
（2）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中.
问题：若_________，求
面积的最大值.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）解：因为 ， ，所以由正弦定理，得 ，
则 ，又 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 为锐角.
故
（2）解：选①
因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
则 的面积 ，
故 面积的最大值为1.
选②
由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，
故 面积的最大值为
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；正弦定理
【解析】【分析】(1)根据题意由正弦定理整理化简已知条件由此计算出sinA的取值，结合已知条件计算出sinB的取值，再由同角三角函数的基本关系式计算出cosB的取值。
(2) 选① ，由已知条件结合基本不等式即可求出bc的最大值，然后由三角形的面积公式即可求出三角形面积的最大值； 选② 由余弦定理代入数值整理化简计算出
，然后由基本不等式即可求出bc的最大值，由此即可求出三角形面积的最大值。
2．（2021高一下·抚顺期末）如图，四棱锥 的底面是正方形， 底面 ， 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求三棱锥 的体积.
【答案】（1）解：连接 交 于点 ，连接 ，
因为四边形 是正方形， 为 的中点.
又 已知 为 的中点， .
平面 ， 平面 ，
平面 .
（2） ， .
又 底面 ，
.
是 的中点，
.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】 (1)连接BD交AC于点O，连接OE，由已知可得OE//PD，再由直线与平面平行的判定可得PD//平面AEC；
(2)由E为PB的中点，结合已知利用等体积法求三棱锥E-PAD的体积.
二、作业2
3．（2022高三下·广东月考）已知数列的前n项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）解：因为的前n项和为，又的前n项和为，
所以的前n项和，
当时，又也满足，
所以
（2）解：由（1）知：，，
两式相减，得，
所以
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】(1)根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等差数列，从而求出数列的通项公式即可。
(2)利用错位相减法以及等比数列的前n项和公式，代入数值计算出结果即可。
4．（2022高三下·广东月考）某夜市街上有“十元套圈”小游戏，游戏规则为每个顾客支付十元便可获得3个套圈，顾客使用套圈所套得的奖品，即归顾客所有．奖品分别摆放在1，2，3三个相互间隔的区域中，且1，2，3三个区域的奖品价值分别为5元，15元，20元，每个套圈只能使用一次，每次至多能套中一个．小张付十元参与这个游戏，假设他每次在1，2，3三个区域套中奖品的概率分别为0.6，0.2，0.1，且每次的结果互不影响．
（1）求小张分别在1，2，3三个区域各套一次后，所获奖品不超过1件的概率．
（2）若分别在1，2，3三个区域各套一次为方案甲，所获奖品的总价值为X元；在2区域连套三次为方案乙，所获奖品的总价值为Y元．以三次所套奖品总价值的数学期望为依据，小张应该选择方案甲还是方案乙？
【答案】（1）解：记该顾客分别在1，2，3三个区域套一次便能套中奖品为事件A，B，C，
则，，，，，．
因为每次的结果互不影响，所以该顾客分别在1，2，3三个区域各套一次后，所获奖品不超过1件的概率
（2）解：选择方案甲：X可能的取值为0，5，15，20，25，35，40，
，
，
，
，
，
，
，
．
若小张选择方案乙，设他所获奖品的总件数为Z，则，
，，，
因为，所以小张应该选择方案乙．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件求出各个事件的概率，然后由概率的乘法和加法公式计算出结果即可。
(2)由已知条件即可得出X的可能取值，然后把各个数值代入到概率公式计算出结果，并把结果代入到期望公式计算出结果即可。
三、作业3
5．（2022高三下·广东月考）如图，平面，平面，，，且均在平面的同侧．
（1）证明：平面平面．
（2）若四边形为梯形，，且异面直线与所成角的余弦值为，求四棱锥的体积．
【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，所以平面，
因为，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：因为平面，所以，
以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，．
设，则，，，
设异面直线与所成的角为，
则，
整理得，
解得或1，
又，所以，故
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据题意由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，然后由面面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出异面直线所成角的余弦值，结合题意整理化简即可得出关于t的方程求解出t的取值，并代入到体积公式计算出结果即可。
6．（2022高三下·张掖月考）在中，角、、所对的边分别为、、，．
（1）若，求角；
（2）若，当角最大时，求的面积．
【答案】（1）解：因为，所以得．
得：，，，
（2）解：在中，，，
所以，当且仅当，即时取等号．
又因为在上单调递减，所以此时角取得最大值，
又，由正弦定理得，所以，，
所以．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）因为
，利用正弦定理得
，根据正弦定理得
即可得B的值；
（2）在三角形中利用余弦定理
，
，得到
，利用基本不等式即可求得角B的最大值，再根据正弦定理求得
，最后计算面积即可.
四、作业4
7．（2023高三下·扬州开学考）已知数列的前n项和为
（1）求数列的通项公式；
（2）令①；②；③从上面三个条件中任选一个，求数列的前项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）解：，
两式相减得，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
；
（2）解：由（1）可知，
若选①：，
.
两式相减得：，
所以.
若选②：
.
若选③：
当为偶数时，
当为奇数时，.
综上得：.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据题意得到 ，两式相减得，结合等比数列的定义，得到数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即可求得 数列的通项公式；
（2） 由（1）得到，若选①得到，结合乘公比错位相减法，即可求解；若选②求得，结合裂项相消法，即可求解；若选③求得，分为偶数和为奇数，结合并项求和，即可求解.
8．（2022高三下·张掖月考）某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查.得到的数据如表：
男性 女性 总计
参与该项老年运动 16
不参与该项老年运动 44
总计 60 40 100
从统计数据中分析得参与该项老年运动的被调查者中，女性的概率是.
参考公式及数据：，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）求列联表中，，，的值；
（2）是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？
（3）若将参与该项老年运动的老人称为“健康达人”，现从参与调查的“健康达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行健康状况跟踪调查，那么被跟踪调查的2人中都是男性的概率是多少？
【答案】（1）解：由题意得，
解得，所以，
所以，
（2）解：由列联表中的数据可得的观测值
，
所以没有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关
（3）解：由（1）得“健康达人”共有24人，其中男性16人，女性8人，
所以抽样比，
因此按性别分层抽样抽取的6人中有男性人，记为，，，，
女性人，记为，，
从这6人中抽取2人的所有方式为，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，
其中符合题目要求的是6种情况，
所以抽取的全是男性的概率为.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）由 女性的概率是.，结合列联表即可求解；
（2）由列联表中的数据，计算 的值，对照临界表中的数据，比较即可得到结论；
（3）利用分层抽样和列举法求得基本事件数，计算概率即可.
五、作业5
9．（2023高三下·扬州开学考）已知的内角的对边分别为，，，，的内切圆的面积为.
（1）求的值；
（2）若点在上，且三点共线，求的值.
【答案】（1）解：在中，由余弦定理得：
，即
设内切圆的半径为，则
（2）解：在中，由（1）结合余弦定理得，
平分点到的距离相等，故，
而
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）在 中 ，由余弦定理列出方程，求得，设内切圆的半径为，结合 ，即可求解；
（2） 在中，由（1）结合余弦定理求得，根据平分得到，再由，得到，求得，结合数量积的运算公式，即可求解.
10．（2023高三下·扬州开学考）在三棱柱中，侧面是菱形，，，.
（1）求证：；
（2）已知，，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：取中点为，连接，
在三棱柱中，侧面是菱形，，
则为正三角形，取中点为，则，
又平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为是中点，所以.
（2）解：在边长为2的正中，，
在中，，则，又，
所以，所以，
所以两两垂直.
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系.
则，
，
设平面的法向量为，则
，令，则
设直线与平面所成角为，
则，
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取中点为，连接，根据为正三角形，取中点为，得到，再由，根据线面垂直的判定定理证得平面，进而得到，根据是中点，即可得到；
（2） 以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得向量和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解.
六、作业6
11．（2021高三下·湖南月考）某同学在复习数列时，发现曾经做过的一道题目因纸张被破坏，导致一个条件看不清（即下题中“已知”后面的内容看不清），但在（1）的后面保留了一个“答案： 成等差数列”的记录，具体如下：
记等比数列 的前n项和为 ，已知___________________．
①判断 的关系；（答案： 成等差数列）
②若 ，记 ，求证： ．
（1）请在本题条件的“已知”后面补充等比数列 的首项 的值或公比q的值（只补充其中一个值），并说明你的理由；
（2）利用（1）补充的条件，完成②的证明过程．
【答案】（1）解：条件的“已知”后面补充“公比 ”，理由如下：
由 成等差数列，得 ，
即 ．
因为 ，
故上式可化简为 ，
因为 ，
解得 ．
（2）解：因为 ，所以 ，
解得 ，所以 ．
由 ，得 ．
记 ，
则 ， ①
则 ， ②
由①—②，得 ，
，
，
所以 ，
所以 ．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比关系的确定；数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】(1)由等差数列的项的性质结合等比数列的通项公式，整理即可求出q的值即可。
(2)由已知条件即可得出数列和的通项公式，然后由错位相减法结合等比数列的前n项和公式，代入数值整理即可得出，由不等式的性质即可得出答案。
12．（2023高三下·扬州开学考）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书（2022年）》可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：
年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年
年份代码x 1 2 3 4 5
云计算市场规模y/亿元 692 962 1334 2091 3229
经计算得：=36.33，=112.85.
（1）根据以上数据，建立y关于x的回归方程（为自然对数的底数）.
（2）云计算为企业降低生产成本 提升产品质量提供了强大助推力.某企业未引入云计算前，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差，其中m为单件产品的成本（单位：元），且=0.6827；引入云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差.若保持单件产品的成本不变，则将会变成多少？若保持产品质量不变（即误差的概率分布不变），则单件产品的成本将会下降多少？
附：对于一组数据其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，.
若，则，，
【答案】（1）解：因为，所以，
所以，
所以，
所以.
（2）解：未引入云算力辅助前，，所以，
又，所以，所以.
引入云算力辅助后，，所以，
若保持产品成本不变，则，
所以
若产品质量不变，则，所以，
所以单件产品成本可以下降元.
【知识点】可线性化的回归分析；样本相关系数r及其数字特征；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1） 由，得出，利用公式求得的值，进而求得的值，即可求得回归方程；
（2） 未引入云算力辅助前，根据题意得到，结合，求得，引入云算力辅助后得到，根据保持产品成本不变得，求得，由产品质量不变，求得，即可求得单件产品成本下降.