上海市华二附中2023-2024高二上学期12月月考数学试卷（含解析）

上海市华二附中2023-2024学年高二上学期12月月考
数学试卷
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．抛物线的焦点坐标为 ．
2．若直线是圆的一条对称轴，则 ．
3．三个平面最多将空间分成 个部分．
4．点到双曲线的一条渐近线的距离为 ．
5．若直线与直线垂直，则实数 ．
6．设平面与平面相交于直线l，直线，直线，，则M l（用下列符号之一表示：、、、）．
7．已知，是双曲线C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则C的方程为 ．
8．若直线与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围为 ．
9．如图，在正方体中，E是BC的中点，则异面直线和所成角的大小为 ．
10．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C左支上一点，，当△APF周长最小时，该三角形的面积为 ．
11．已知M为抛物线C：上一点，过抛物线C的焦点F作直线的垂线，垂足为N，则的最小值为 ．
12．已知椭圆C：（），直线l过点，不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，延长线段OM与C交于点P，当四边形OAPB为平行四边形时，则直线l的斜率 ．
二、单选题（本大题共4题，满分20发）
13．如图，△O＇A＇B＇是水平放置的△OAB的直观图，，，，则原△AOB的面积为（ ）
A．6 B． C．12 D．24
14．已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．方程表示的曲线为（ ）
A．一个圆 B．两个半圆 C．一个椭圆 D．以上结论均不对
16．已知正方体，设直线平面ABCD，直线平面，记正方体12条棱所在直线构成的集合为．给出下列四个命题：
①中可能有4条直线与a异面；
②中可能有5条直线与a异面；
③中可能有8条直线与b异面；
④中可能有10条直线与b异面．
A．①②③ B．①④ C．①③④ D．①②④
三、解答题（本大题共有5题，满分76）
17．已知直线l经过点，分别求满足下列条件的直线l的方程：
（1）与直线垂直；
（2）与圆O：相切．
18．如图，在长方体中，E，F分别是和的中点．
（1）证明：E，F，D，B四点共面．
（2）证明：BE，DF，三线共点．
19．某高校的志愿者服务小组决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图，A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号秒（注：信号每秒传播米），在时刻时，测得机器鼠距离O点为4米．
（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时机器鼠所在位置的坐标；
（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”风险，如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？
20．如图，四边形ABCD是矩形，，，平面BCE，，．点F为线段BE的中点．
（1）求证：平面ABE；
（2）求证：平面ACF；
（3）求AC和平面ABE所成角的正弦值．
21．已知椭圆：（）的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过且与x轴垂直的直线交于A、B两点，交于C、D两点，且．
（1）求的离心率；
（2）设E是与的公共点，若，求与的标准方程；
（3）直线l：与交于M、N，与交于P、Q，且在直线l上按M、P、N、Q顺序排列，若，求．
参考答案及其解析
一、填空题
1．【答案】
【解析】地物线开口向上，其中，故抛物线的焦点坐标为．
2．【答案】
【解析】圆的圆心坐标为，因为直线是圆的一条对称轴，所以圆心在此直线上，所以，解得．
3．【答案】8
【解析】三个平面两两相交，且交线交于一点，
则这三个平面将空间分为8部分．
因此，空间三个平面最多将空间分成8个部分．
4．【答案】2
【解析】由已知可得，，，双曲线的渐近线方程为．
所以，点到，即的距离．
5．【答案】
【解析】因为直线与直线垂直，所以，解得．
6．【答案】
【解析】，故，，故；，故，，故，故．
7．【答案】
【解析】由题意，设双曲线（，），根据题意得，解得．
因此，所求的双曲线方程为．
8．【答案】}
【解析】由曲线，可得（），
表示以原点为圆心，半径为1的右半圆，
是倾斜角为的直线与曲线有且只有一个公共点有两种情况：
①直线与半圆相切，根据，所以，结合图象可得；
②直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知．
综上可知：或．
9．【答案】
【解析】如下图所示，连接、AE、DE，
设正方体的棱长为2，
因为且，则四边形为平行四边形，故，
所以，异面直线和所成角为或其补角，
因为，
同理可得，，
由勾股定理可得，
由余弦定理可得，
所以，，故异面直线和所成角的大小为45°．
10．【答案】
【解析】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，
∴△APF的周长为，
由于是定值，要使△APF的周长最小，则最小，即P、A、共线，
∵，，
∴直线的方程为，
即代入整理得，
解得或（舍），
所以P点的纵坐标为，
∴．
11．【答案】
【解析】由C：知，焦点，准线l的方程为，
由可得，
由解得，即直线恒过定点，
设PF中点为E，则，由题意知，
所以N的轨迹为以PF为直径的圆，
则圆的方程为，
过M作于D，则，
所以由图知，当M运动到M＇时，N运动到N＇，D＇，M＇，N＇，E共线时，
的最小值为圆上动点N到准线的距离的最小值，
即．
12．【答案】
【解析】设，，，直线不经过原点且不与坐标轴平行，
所以，，，，
直线l的斜率，直线OM的斜率，
A，B在椭圆上，，两式相减：
，两边同时除以
得，所以，
即
所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值，
四边形OAPB为平行四边形时，当且仅当AB与OP互相平分，
设，则，且在椭圆上，，即
由，，所以，
整理得：，又因为
所以，即，两边平方得：
，，
所以两边同时除以，，
，
所以，，
所以．
二、单选题
13．【答案】C
【解析】根据斜二测画法的知识画出原图如下图所示，
则原△AOB的面积为．
故选：C．
14．【答案】B
【解析】圆化为，所以圆心C坐标为，半径为3，
设，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，
此时，根据弦长公式得最小值为，故选：B．
15．【答案】B
【解析】由已知方程得及，分别表示以为圆心、1为半径的介于点与之间的上半圆周及以为圆心、1为半径的介于点与之间的下半圆周．
16．【答案】C
【解析】
当直线a取AB时，中只有四条直线（、、、）与直线a异面，故①正确；
当直线b取线段AD中点与线段的中点连线时，中除了AD和之外的10条棱均与直线b异面，故④正确；
当直线b取A点与线段的中点连线时，中除了AD、、AB和之外的8条棱均与直线b异面，故③正确；
综上，故选C．
三、解答题
17．【答案】（1）；（2）或．
【解析】
（1）因为直线l与直线垂直，可设直线l的方程为，
又因为直线l过点，代入可得，解得，
所以直线l的方程为．
（2）由题意知，直线l过点，
又由圆O：，可得圆心坐标为，半径，
当直线l的斜率不存在时，可得直线l的方程为，
此时满足圆心到直线的距离等于半径，所以直线与圆O相切；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，
因为直线与圆相切，可得，解得，即，
综上可得，所求直线l的方程为或．
18．【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）如图，连接EF，BD，．
∵EF是的中位线，
∴．
∵与平行且相等，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴E，F，D，B四点共面．
（2）∵，且，
∴直线BE和DF相交．
延长BE，DF，设它们相交于点P，
∵直线BE，直线B平面，
∴平面，
∴直线DF，直线平面，
∴平面，
∵平面平面，
∴，
∴BE，DF，三线共点．
19．【答案】（1）；（2）没有“被抓”风险
【解析】
（1）设机器鼠位置为点P，由题意可得，即，
可得P的轨迹为双曲线的左支，且，，即有，，，
则P的轨迹方程为（），
时刻时，，即，可得机器鼠所在位置的坐标为；
（2）设直线l的平行线的方程为，
联立双曲线方程（），可得，
即有，且，可得，
即：与双曲线的左支相切，切点即为双曲线左支上距离l最近的点，
此时l与的距离为，即机器鼠距离l最小的距离为，
则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．
20．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
（1）因为平面BCE，平面BCE，
所以，
又由，而，AB，平面ABE，
故平面ABE；
（2）连接BD交AC于M，连接FM，由点F为线段BE的中点，
可得，而平面ACF，平面ACF，
故平面ACF；
（3）由（1）知，平面ABE，∠CAE即为AC和平面ABE所成的角．
由已知，，，
在直角三角形ACE中，可得，
即AC和平面ABE所成角的正弦值为．
21．【答案】（1）；（2）：，：；（3）
【解析】
（1）设椭圆的焦距为2c，则，
将代入椭圆的方程得可得，所以，
设抛物线的标准方程为（），则，可得，
所以，抛物线的方程为，
将代入抛物线的方程可得，解得，所以，，
因为，即，所以，，即，
因为，解得，故椭圆的离心率为．
（2）设点，则，则，
则，
由抛物线的定义可得，
所以，解得，则，，
所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为．
（3）若，则直线l与抛物线只有一个交点，不合乎题意．
所以，，由题意可知，P为MN的中点，N为PQ的中点，
设点、，则、，
设（），则，，抛物线的方程为，
联立可得，，可得，
由韦达定理可得，，
椭圆的方程为，即，
因为点M、N均在椭圆上，则，
可得，即．
若，则，可得，
所以，则，
所以，，则点，
将点N的坐标代入椭圆的方程可得，
化简可得，
显然，所以，不成立．
所以，，则必有或，
此时直线l过原点，则直线l的方程为，则M、N关于原点对称，
所以，点P为坐标原点，故，
联立解得，即点，故点．
将点N的坐标代入椭圆的方程可得，
可得，解得，
所以，，
所以，．