2023-2024学年第一学期高二期中考试数学试卷
一、单项选释悬：本思共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个
迹项符合恩目要求
1.已知集合4={红eZX2s16,B=-1≤x<4,则C(AnB)()
A.{4.-3,-2
B.4-3,-2,4}
c.01,23
D.{0≤x<S
2,直线x-√5y+2=0的倾斜角为()
A.30
B.45
C.60
D.1209
3.平行六面体ABCD-48CD中，化简AB+AD+B丽=()
A.AC
B.AC
C.丽
D.DB
4已阳指质议号只双线C号六6，
则m的取值范围为()
A.(0,+o
B.(0,6
c.(0,5U5,6)
D.(6+o)
5.三个数6,0.7产，1og,6的大小顺序是()
A.1og,6<07<67
B.0.7<6<1ogm6
C0.7<1og,6<6
D.1Dga,6<67<0.7
6,已知a=(2,-13),6=-1,4,-2)=03,,若ā，6，c共面，则实数元=()
A.2
B.1
C.-2
D.-1
7。已知双自战E三兰-1m>0)的离心率为2，右焦点为F,动点P在双曲线右支上，点A0,
m 3
则PF-PA的最大值为()
A.5
B.5-2
C.22
D.22-2
8。已如哪维的底面积为，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥外接球的表面积为(）
A.325
27
c.
D.16V3n
9
二、多项选择圆：本题共4小题，每小题5分，共20分。全部选对的得5分，部分速对的得2分，
有选错的得0分。
9.己知点P(-1,2)到直线1：4x-3y+C=0的距离为1，则C的值可以是()
A.5
B.10
C.-5
D.15
10.已知4(-2,0)、B(2,0),则下列命题中正确的是()
A.平面内满足P+PB=6的动点P的轨迹为椭圈
B。平面内满足PA-P8到=4的动点P的轨迹为双曲线的一支
C,平面内满足PA=P的动点P的轨迹为抛物线
D.平面内满足PA=2P的动点P的轨迹为圆
11.已知正三棱柱AB8C-4BG的所有校长均为2，则()
A.正三棱柱ABC-4BG的体积为2目
3
B.正三棱柱4BC-4B,C的侧面积为12+2、5
C.直线4G与平面ABC所成的角为45
D.直线AA到平面BCCB的距离为5
12.点P(x,人)是圆C:x2+y2-8x-6y+21=0上的动点，则下面正确的有()
A.圆的半径为3
日。名既设有摄大值，也没有级小恤
C.2x+y的范围是[1-25,11+25例
D.无++2x+3的最大值为72
三、填空：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.直线y=1-x被圆2+y2+2y-2=0酸得的弦长为
14.已知a=(cs(x+0),s如(x-0月，其中0e0,2m),则后=2023-2024 学年度高中数学期中考数学简略答案
1．B 2．A 3．B 4．C 5．A 6．B 7．B 8．B 9．AD 10．AD 11．CD 12．BC
13．2 14．1 15． 2 16．32 16π
17．【详解】（1） A 1,1 ，B 1, 3 ，C 3, 1 ，
直线 AB的斜率 kAB 2， 直线 AB的方程为2x y 1 0，
6 6
点 C到直线 AB的距离 d 5，
5 5 | AB | 1 1
2 1 3 2 2 5，
S 1 1 6 ABC AB d 5 2 5 6；2 2 5
（2）由题知，直线 AB的斜率 kAC 1， 直线 AC的方程为 x y 2 0，
设M x ,y N 2 x , y0 0 ，则 0 0 ，
∵点M，N分别在直线 AB，AC上，
1
2x y x0
0 0
1 0 3
2 x
，解得 ，
0 y0 2 0
y 10 3
0 1 1
直线 l的斜率 k 3l 1 ，
1
直线 l的方程为 y 0 x 1 ，即 x 2y 1 0．
1 2 2
3
1 1 3
18．【详解】（1）证明：因为 sinBsinC , tanBtanC ，所以 cosBcosC ，
4 3 4
则cos B C cosBcosC 1 sinBsinC ，
2
因为B C 0, π B π 2π，所以 C , A ，
3 3
又因为 cos B C cosBcosC sinBsinC 1，
π π π
因为0 B,C ，所以 B C ，
3 3 3
π
所以B C 0，所以B C ，所以 ABC是等腰三角形．
6
a b c ,a 4 3, A 2π π（2）因为 ,B C ，
sinA sinB sinC 3 6
所以b c 4，所以 ABC的周长为 4 4 4 3 8 4 3 ，
ABC S 1 bcsinA 1 3的面积 4 4 4 3．
2 2 2
答案第 1页，共 4页
{#{QQABJQCEgggoQABAABgCQQ0YCAGQkBCCCKoOhAAEIAIAARNABAA=}#}
19．【详解】（1）因为 AB是底面的一条直径，C是下底面圆周上异于 A,B的动点，
所以 AC BC，
又因为CD是圆柱的一条母线，所以CD 底面 ACB，
而 AC 底面 ACB，所以CD AC，
因为CD 平面BCDE，BC 平面BCDE，且CD BC C ，
所以 AC 平面BCDE，
又因为 AC ACD，所以平面 ACD 平面BCDE；
（2）如图所示，
过A作圆柱的母线 AM ，连接DM ， EM
因为底面 ABC //上底面DME，所以即求平面 ADE与平面DME所成锐二面角的大小，
因为M ,E在底面的射影为 A,B，且 AB为下底面的直径，所以EM 为上底面的直径，
因为 AM 是圆柱的母线，所以 AM 平面DME，
又因为 EM 为上底面的直径，所以MD DE，而平面 ADE DME DE，
所以 MDA为平面 ADE与平面DME所成的二面角的平面角，
又因为D在底面射影为C，所以DE BC 3，ME AB 6，
所以DM 62 32 3 3，又因为母线长为2 3，所以 AM 2 3，
又因为 AM 平面DME，DM 平面DME，所以 AM MD，
2 2 MD 3 3 3
所以 AD 2 3 3 3 39 ,所以 cos MDA 13AD ，39 13
3
即平面 ADE与平面 ABC所成的锐二面角的余弦值为 13 .
13
20．【详解】（1）由题意22 2p 2， p 1，
1
所以抛物线标准方程为 y2 2x，准线方程为 x ．
2
（2）由已知所作直线的斜率不为 0，因此设直线方程为 x my 2，设 A(x1, y1),B(x2 , y2 )，
y2 2x 1 2
由 得 y my 2 0，显然 m2 4 0，y1 y2 2m，y yx my 2 2 1 2
4，
2
则 x1x2 (my1 2)(my2 2) m y1y2 2m(y1 y2 ） 4 4m
2 2m ( 2) 4 4 ，
k k y1y2 4所以 1 2 1x1x2 4
．
答案第 2页，共 4页
{#{QQABJQCEgggoQABAABgCQQ0YCAGQkBCCCKoOhAAEIAIAARNABAA=}#}
21．【详解】（1）因为 AC BC，所以 ABC是等腰三角形，
由三线合一得： ABC的外心、重心、垂心均在边 AB的垂直平分线上，
设 ABC的欧拉线为 l，则 l过 AB的中点，且与直线 AB垂直，
2 0
由 A 1,0 B 1, 2 1 1 0 2 可得：AB的中点D ,2 2 ，即
D 0,1 ,k AB 1
1
k 1
1 ，所以 l ，
故 l的方程为 x y 1 0 .
6
（2）因为 l与圆M : (x 5)2 y2 r2相切，故 r 3 2，
1 1
圆 x2 ( y a)2 2的圆心坐标为 0,a ，半径 r1 2，
则要想圆M 与圆 x2 ( y a)2 2有公共点，
只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值，
故2 2 25 a2 4 2，所以 a 7, 7 .
（3）因为 x2 y2 2x 2y 2 (x 2)2 y2 (x 1)2 (y 1)2 (x 2)2 y2 ，
所以该式子是表示点 x, y 到点 1,1 、点 2,0 的距离之和，
又 x y 1 0，
所以上述式子表示直线 x y 1 0上的点 x, y 到点E 1,1 、点F 2,0 的距离之和的最
小值.
设点E 1,1 关于直线 x y 1 0的对称点为G s, t ，
t 1
1, s 1 s 0
则有 s 1 t 1 解得 t 0，即
G 0,0 .
1 0,
2 2
所以 FG 2，所以直线 x y 1 0上的点 x, y 到点E 1,1 、点F 2,0 的距离之和的最
小值为 FG 2 .
2 2
22 x y．【详解】（1）依题意，椭圆C : 2 2 1(a b 0)的另一焦点为 F2 (2 2,0)，a b
因此2a | AF1 | | AF2 | (3 2 2)
2 1 2 (3 2 2) 2 1 2 (2 3 6) (2 3 6) 4 3 ，
于是a 2 3,b (2 3) 2 (2 2) 2 2 ，
x2 y2
所以椭圆C的标准方程为 1.
12 4
答案第 3页，共 4页
{#{QQABJQCEgggoQABAABgCQQ0YCAGQkBCCCKoOhAAEIAIAARNABAA=}#}
2 2
（2）设“共轭点对” A,B 中点B的坐标为B x, y ，由（1）知，点 A 3,1 x y在椭圆C： 1
12 4
3x y
上，依题意，直线 l的方程为 0，整理得 x y 0，
12 4
所以直线 l的方程为 x y 0 .
y x x 3 x 3
（3）由（2）知，直线 l： x y 0，由 x2 3y2 12，解得 或 ，则 y 3 y 3
B1( 3, 3)， B2 ( 3, 3)，
x2 2P y P 1 12 4
设点P xP , yP ，Q xQ , yQ ，则 x2 y2 ，两式相减得 Q
Q 1
12 4
(xP xQ )(xP xQ ) (yP yQ ) (yP y Q
)
0，
12 4
yP yQ 1PQ / /OA y y (x x ) yP y x x又 ，于是 ，则 ，有 Q P Qx x 3 P Q p Q ，线段 PQP Q 2 2
被直线 l平分，
设点 P到直线 x y 0的距离为 d，则四边形B1PB2Q的面积
SB 2S
1
2 B B d，
1PB2Q PB1B2 2 1 2
2 2
而 B1B2 3 3 3 3 2 6，则有 SB1PB2Q 2 6d，
设过点 P且与直线 l平行的直线 l1的方程为 x y m，则当 l1与 C相切时，d取得最大值，
x y m
2 2 y 4x2 6mx 3 m2由 x y 消去 得 4 0，
1 12 4
令 36m2 48 m2 4 0，解得m 4，
当m 4 2时，此时方程为4x2 24x 36 0，即 x 3 0，解得 x 3，
则此时点 P或点 Q必有一个和点 A 3,1 重合，不符合条件 PQ / /OA，从而直线 l1与 C不
可能相切，
4
即 d小于平行直线 x y 0和 x y 4（或 x y 4）的距离 2 2，
2
所以 SB PB Q 2 6 2 2 2 6 2 2 8 3 .1 2
答案第 4页，共 4页
{#{QQABJQCEgggoQABAABgCQQ0YCAGQkBCCCKoOhAAEIAIAARNABAA=}#}
