四川省眉山市彭山区第一中学2023-2024高二上学期12月月考数学试题（含答案）

彭山区第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考
数学试卷
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名 班级 考号等信息
2.请将所有答案正确填写在答题卡上.
第Ⅰ卷选择题（60分）
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2.向量，若，则（ ）
A. B.
C. D.
3.圆与圆的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为（ ）
A. B. C. D.1
4.已知双曲线的离心率为，且双曲线上的点到焦点的最近距离为2，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.若连续抛两次骰子得到的点数分别是，则点在直线上的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.已知直线过点和点，则点到的距离为（ ）
A.3 B. C. D.
7.已知椭圆为椭圆的对称中心，为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，轴，与椭圆的另一个交点为点为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.埃及金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，若金字塔的高为，点满足，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知甲罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3；乙罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4，现从甲罐 乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号之和小于5”，事件B=“抽取的两个小球标号之积为奇数”，则下列说法正确的是（ ）
A.事件发生的概率为 B.事件发生的概率为
C.事件发生的概率为 D.事件发生的概率为
10.直线与圆相切，且在轴 轴上的截距相等，则直线的方程可能是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知两点的距离为定值4，平面内一动点，记的内角的对边分别为，面积为，下面说法正确的是（ ）
A.若，则最大值为2
B.若，则最大值为
C.若，则最大值为
D.若，则最大值为1
12.已知正方体的棱长为，点在底面上运动.则下列说法正确的是（ ）
A.存在点，使得
B.若平面时，长度的最小值是
C.若与平面所成角为时，点的轨迹长度为
D.当点为底面的中心时，三棱锥的外接球的表面积为
第II卷非选择题
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同，经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为__________.
14.已知双曲线上一点到双曲线的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为__________.
15.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为__________.
16.已知椭圆的左 右焦点分别为，左顶点为，离心率为，经过的直线与该椭圆相交于两点（其中点在第一象限），且，若的周长为，则该椭圆的标准方程为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.小宁某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：
（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率.
18.在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线被圆截得弦长为，求实数的值.
19.已知椭圆的离心率为，且短轴长为.
（1）求的方程；
（2）若直线与交于两点，且弦的中点为，求的一般式方程.
20.已知四棱锥的底面为等腰梯形，，平面.
（1）求证：；
（2）若四棱锥的体积为2，求平面与平面夹角的余弦值.
21.己知双曲线的一条渐近线为，且双曲线的虚轴长为.
（1）求双曲线的方程；
（2）记为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点，若的面积为，求直线的方程.
22.已知椭圆的方程为，点为长轴的右端点.为椭圆的短轴的端点.直线与直线的斜率和满足：.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与圆相切，且与椭圆相交于两点，求证：以线段为直径的圆恒过原点.
彭山区第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考
数学参考答案
一 项选择题：
1.C 2.B 3.A 4.B 5.C 6.D 7.A 8.D
二 项选择题：
9.AC 10.ACD 11.BC 12.ABD
三 填空题：
13. 14.9 15. 16.
四 解答题：
17.解：用分别表示这三列火车正点到达的事件.
则，所以.
（1）由题意得之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为
18.【详解】（1）因为的中点为，且直线的斜率，
则线段的垂直平分线所在直线的方程为，
联立方程，解得，
即圆心，
所以，圆的方程为.
（2）因为直线被曲线截得弦长为，
则圆心到直线的距离，
由点到直线的距离公式可得，解得.
19.【详解】（1）由题意可得椭圆中：
解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设，则，
两式相减，得，
又根据题意带入可得，
所以的斜率
故的方程为，即..
20.【详解】（1）平面平面，
过点作，由为等腰梯形，，
故，
所以，即，即，
平面平面，
又平面，
故.
（2），
，
，
.
如图，建立空间直角坐标系，
设平面法向量为，
则，
取，得
同理，设面法向量为，则
取，得
由题意，..
设平面与平面的夹角为，则
21.【详解】（1）解：由题意可得，可得，
因此，双曲线的方程为
（2）解：若直线与y轴重合，则直线与双曲线C没有交点，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点，联立可得，
由题意可得，解得，由韦达定理可得，
则，
.解得，合乎题意，
所以，直线的方程为或.
22.【详解】解：（1）
由，即得，
所以
即椭圆的标准方程为：.
（2）设
由得：
又与圆相切，所以即
所以
所以，，即
所以，以线段为直径的圆经过原点.