第八章 静电场
静电场综合练
一、单选题
1．如图所示，三个带电小球A、B、C分别位于等边三角形的三个顶点且放在光滑绝缘的水平桌面上，空间存在水平且与BC连线垂直的匀强电场，三个小球可看成质点且均静止不动，则三个带电小球所带电荷的电性及电荷量的关系是（ ）
A．A、B带正电，C带负电，A、B、C所带电荷量之比为1：1：1
B．A、B带正电，C带负电，A、B、C所带电荷量之比为2：1：1
C．A带正电，B、C带负电，A、B、C所带电荷量之比为1：1：1
D．A带正电，B、C带负电，A、B、C所带电荷量之比为2：1：1
【答案】D
【解析】AB．三个带电小球两两之间存在库仑力，且库仑力的方向一定沿两小球的连线方向，假设C球带负电，对C球进行受力分析，可知匀强电场对C球的电场力方向水平向左，要使C球受力平衡，则A球须带正电，B球需带负电，故AB错误；
CD．假设A球带正电，则匀强电场对A球的电场力方向水平向右，要使A球受力平衡，则B、C两球须均带负电且两者电荷量相等，分析B、C两球可知系统可处于平衡状态，对B球进行受力分析，可得
可得
因此有
故C错误，D正确。
故选D。
2．均匀带电的球体在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心产生的电场。若将地球视为均匀带电的球体，电荷量为Q，半径为R，静电力常量为k，则在地外空间距地面高度为R处的电场强度大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，在地外空间距地面高度为R处的电场强度大小
故选D。
3．如图所示，真空中固定两个等量异种点电荷A、B，O为A、B连线中点，以O点为圆心、半径为R的圆面垂直于A、B连线，以O为几何中心的边长为2R的正方形平面垂直圆面且与A、B连线共面，两个平面边线交点分别为e、f，下列说法正确的是（ ）
A．a、b、c、d、e、f六点中，任何两点的场强及电势均不相同
B．将一电荷由e点沿圆弧egf移到f点电场力始终不做功
C．将一电荷由a点移到圆面内各点过程电势能的变化量都不相同
D．沿线段eOf移动的电荷，它所受的电场力先减小后增大
【答案】B
【解析】A．题图中圆面是一个等势面，e、f的电势相等，根据电场线分布的对称性可知，e、f的场强相同，A错误；
B．题图中圆弧egf是一条等势线，其上任意两点间的电势差都为零，将一电荷由e点沿圆弧egf移到f点电场力不做功，B正确；
C．a点与圆面内任意一点间的电势差相等，根据公式可知，将一电荷由a点移到圆面内任意一点时，电场力做功相同，则电势能的变化量相同，C错误；
D．沿线段eOf移动电荷，电场强度先增大后减小，则电荷受到的电场力先增大后减小，D错误。
故选B。
4．下图为地图上某山地的等高线图，O点为峰顶（图中数字的单位是米）。小山坡的左边a和右边b，据地理知识可根据该图判断出哪一边的地势更陡，若现在把该图看成一个描述电势高低的等势线图，图中数字的单位是伏特，以下说法正确的是（ ）
A．与Ob方向相比，沿Oa方向电势降落较快
B．负电荷在20V等势线上的电势能小于在40V等势线上的电势能
C．若只考虑电场力，在电势为30V的等势线上静止释放q = 1.6 × 10－6C的点电荷，运动到零势能面时动能一定为 × 10－5J
D．若电子沿30V的等势线从左到右逆时针运动一周，则电场力先做正功，后做负功，总功为零
【答案】C
【解析】A．由图判断相邻等势面为等差等势面，描述电势降落快慢的物理量是电场强度，描述电场强度的大小可用等差等势面的疏密程度，a侧电场强度小，所以沿Oa方向电势降落得慢，故A错误；
B．负电荷在电势低的地方电势能大，故B错误；
C．据能量守恒，带电粒子的动能和电势能之间相互转化，总能量不变为 × 10－5J，故C正确；
D．在同一条等势线上移动电荷，电场力始终不做功，故D错误。
故选C。
5．范德格拉夫静电加速器结构如图所示，其工作原理是先通过传送带将正电荷传送到金属球壳（电荷在金属球壳均匀分布），使金属球与地面间产生几百万伏的高压，然后利用高压给绝缘管中的带电粒子加速。在加速管顶端A点无初速度释放一带电粒子，粒子经过B、C两点到达管底（B为中点）。不计粒子重力，仅考虑球壳产生电场的影响，下列说法正确的是（ ）
A．B点电势比C点电势低
B．粒子从B点到C点的过程中电势能增大
C．粒子在B点的加速度小于在C点的加速度
D．粒子在与间的动能变化量不同
【答案】D
【解析】AB．根据题意可知电场线方向沿着ABC的方向，沿着电场线方向电势逐渐降低，所以B点电势比C点电势高，粒子在加速过程中，动能增大，电势能减小，故AB错误；
C．电场线的疏密程度表示场强的大小，从A到C的过程中电场线逐渐稀疏，所以B点的场强大于C点的场强，根据牛顿第二定律
可知，粒子在B点的加速度大于在C点的加速度，故C错误；
D．因为从A到C的过程中场强逐渐减小，根据公式可知，AB两点间的电势差大于BC两点间的电势差，所以粒子在AB间的动能变化量大于在BC间的动能变化量，故D正确；
故选D。
6．如图所示，间距为d的两平行金属板通过理想二极管与电动势为的电源（内阻不计）相连，A板接地，在两板之间的C点固定一个带电荷量为的点电荷，C点与B板之间的距离为，下列说法正确的是（ ）
A．图中电容器无法充电
B．点电荷的电势能为
C．把两板错开放置，B板的电势不变
D．把A板向下移动，点电荷受到的电场力减小
【答案】B
【解析】A．若电容器充电，电流沿顺时针方向，通过二极管的电流从左向右，与二极管的导通方向相同，所以电容器能充电，A错误；
B．间电势差，则间电势差
点电荷的电势能，结合
可得
B正确；
C．由二极管的单向导电性可知，电容器只能充电，不能放电，当两板的正对面积减小时，电容器的带电荷量Q不变，由
可得
当两板的正对面积减小，其他量不变时，B板的电势降低，C错误；
D．由
可得板间电场强度
则把A板向下移动，两板间的电场强度不变，点电荷受到的电场力不变，D错误。
故选B。
7．如图所示，虚线为匀强电场中的等势线，相邻两条虚线间的电势差相等，实曲线为一个带电粒子仅在电场力作用下运动的轨迹。A、B、D为粒子的运动轨迹与等势线的交点，C点为轨迹与该处等势线的切点，则下列判断正确的是（ ）
A．沿轨迹从A到D，轨迹上各点的电势先降低后升高
B．沿轨迹从A到D，粒子的机械能先减小后增大
C．粒子从A到C与从C到D运动的时间之比为
D．粒子从A到B与从B到C电场力的冲量之比为
【答案】B
【解析】A．根据等势线可知，电场线沿水平方向，粒子仅在电场力作用下运动，则电场力应指向轨迹凹侧，故电场力水平向左。但因不知道粒子带正电还是负电，故不可能判断出电势变化，A错误；
B．粒子从A到C，电场力与运动方向成钝角做负功。粒子从C到D，电场力与运动方向成锐角做正功，粒子的机械能先减小后增大。B正确；
C．C点为轨迹与该处等势线的切点，则粒子在C点的水平方向速度为0。设粒子从A到C运动时间为t1，从C到D运动的时间为t2，相邻等势线的距离为d。粒子在水平方向做匀变速运动，通过逆向思维可得
，
所以
C错误；
D．设粒子从A到B运动时间为t3，从B到C运动的时间为t4，则
所以
根据
粒子受到的电场力一直相等，则粒子从A到B与从B到C电场力的冲量之比为，D错误；
故选B。
8．如图所示，空间存在三个相邻的水平面、和，水平面、之间的距离为，其间区域存在水平向右的匀强电场，水平面、之间区域存在大小相等、方向水平向左的匀强电场。质量为、电荷量为的带正电小球从电场上边界的点由静止释放，经过电场中边界，最终从电场下边界离开。已知小球到达电场下边界时的速度方向恰好竖直向下，且此时动能为其经过电场中边界时动能的6倍。不计空气阻力，重力加速度大小为。下列说法正确提（ ）
A．水平面、之间的距离为
B．匀强电场的电场强度大小为
C．小球在、之间区域做平抛运动
D．小球在、间减小电势能小于在、间增加电势能
【答案】B
【解析】A．质量为、电荷量为的带正电小球从电场上边界的点由静止释放，在电场中运动时，小球受重力和电场力，小球在竖直方向做自由落体运动，在水平方向在M、N区域做初速度是零的匀加速直线运动，设、之间运动时间为t1，在、之间运动时间为t2，则有
水平方向位移
因小球在两电场区域内受电场力大小相等，且小球到达电场下边界时的速度方向恰好竖直向下，说明此时小球在水平方向的速度是零，则有
解得
小球在、之间，设下落高度为h＇，则有
可得
A错误；
B．由题意可得
则有
解得
由
可得
则有
B正确；
C．小球在电场、之间运动时，小球受重力和电场力，小球在竖直方向做自由落体运动，在水平方向做初速度是零的匀加速直线运动，可知小球在、之间区域做匀加速直线运动，C错误；
D．小球在、间与在、间受电场力大小相等，方向相反，在、间做初速度是零匀加速直线运动，在、间做匀减速直线运动末速度是零，即小球在电场方向的动能变化是零，因此小球在、间减小电势能等于在、间增加电势能，D错误。
故选B。
二、多选题
9．如图所示，一条直线上有ACBO四个点，AC距离2L，CB距离L，BO距离L，A处固定一个电荷量为2Q的正点电荷，B处固定一个电荷量为－Q的负点电荷，图中虚线圆圆心为O、半径为2L，D为圆上一点且BD与直线垂直，已知将试探电荷从圆上任意一点移动到无穷远处，电场力做功均为0，则以下判断正确的是（ ）
A．正试探电荷在圆上所受电场力一定指向O点
B．试探电荷在C点所受电场力为0
C．将正试探电荷从D点移到AC中点，电势能减小
D．D点场强大小为
【答案】AD
【解析】A．将试探电荷从圆上任意一点移动到无穷远处，电场力做功均为0，可知圆上各点在同一等势面，由于电场线与等势面垂直，则正试探电荷在圆上所受电场力一定指向O点，故A正确；
B．试探电荷在C点所受电场力为
故B错误；
C．D点与C点在同一等势面，由D点移到中点相当于由C点移到中点，正试探电荷在连线上受到的电场力向右，则在C点移到中点过程中，电场力做负功，电势能增加，故C错误；
D．连接AD，CD，OD，由几何关系有，，，则A处和B处在D点产生的电场场强分别为和
将正交分解如图所示
由矢量合成可知D点产生的场强大小为
故D正确。
故选AD。
10．如图，M、N两点电场强度相同，电势也相同的是（ ）
A．（a）图中，与点电荷等距的M、N两点
B．（b）图中，两块面积足够大且靠近的平行金属板之间，与上板等距的M、N两点
C．（c）图中，两个等量异种点电荷连线的中垂线上，与连线中点等距的M、N两点
D．（d）图中，两个等量同种点电荷连线上，与连线中点等距的M、N两点
【答案】BC
【解析】A．（a）图中M、N两点电场强度大小相等，但方向不同，电势相同，A选项错误：
B．（b）图中平行金属板之间是匀强电场，M、N两点电场强度相同，M、N两点处于同一等势面，电势也相同，B选项正确；
C．（c）图中，由对称性可知M、N两点场强大小相等，方向都与两点电荷连线平行且向右，两个等量异种点电荷连线的中垂线是等势线，故M、N两点电势相同，C选项正确；
D．（d）图中，由对称性知M、N两点电势相同，场强大小相等，但方向相反，D选项错误。
故选BC。
11．我国利用自主研发的电子束焊接技术，成功焊接了4500米载人深潜器的球壳。电子束焊接机中的电子枪如图所示，K为阴极电势为，A为阳极电势为，仅在电场力作用下电荷量为的电子由静止从K运动到A，则（ ）
A．电子做匀加速直线运动
B．从K到A电势逐渐升高
C．电场力对电子做功为
D．电子电势能增加
【答案】BC
【解析】A．电子束焊接机中为非匀强电场，则电子做变加速运动，故A错误；
B．K为阴极电势低，A为阳极电势高，从K到A电势逐渐升高，故B正确；
CD．电子仅在电场力作用下，从静止开始运动，电场力做正功，电势能减小，由公式可得，电场力做功为
故D错误，C正确。
故选BC。
12．图甲为两水平金属板，在两板间加上周期为T的交变电压u，电压u随时间t变化的图线如图乙所示。质量为m、重力不计的带电粒子以初速度沿中线射入两板间，经时间T从两板间飞出。下列关于粒子运动的描述正确的是（ ）
A．t＝0时入射的粒子，离开电场时偏离中线的距离最小
B．无论哪个时刻入射的粒子，离开电场时的速度方向都沿水平方向
C．时入射的粒子，离开电场时偏离中线的距离最大
D．无论哪个时刻入射的粒子，离开电场时的速度大小都相等
【答案】BD
【解析】AC．因为水平方向粒子的速度v0保持不变，当t＝0时入射，在时竖直方向速度达到最大，当t＝T时速度恰好减小为0，因此离开电场时偏离中线的距离最大，故AC错误；
BD．无论哪个时刻入射的粒子，在一个时间T内，正向电压和反向电压的时间是相同的，所以在竖直方向上电场力的冲量为零，所以离开电场时的速度方向都水平的，离开电场时的速度大小都相等，故BD正确。
故选BD。
三、实验题
13．如图A所示，在两个相同竖直方向放置的平行导电板之间连接一电源，电源输出电压及两板间电压无法直接测得。将一个带电小球悬挂在两板之间的绝缘细线上。实验中可以改变小球的电荷量q并用静电计测量，带电小球能在两平行板内达到平衡。为了测出两带等量异种电荷的平行板间匀强电场的电场强度。
（1）除了小球的电荷量q，还需要测量的物理量是 和 ；
（2）以电荷量和重力加速度之比为横轴， 为纵轴，将实验数据绘图后，能线性拟合出一条直线。再根据图像求出直线的斜率为k，则平行板间电场强度E的大小可表示为 。
（3）如图B所示，第1组同学将球悬挂在一根较长的绝缘细线下，使球在靠近板中心的地方达到平衡；第2组同学用一根短绝缘细线将球悬挂起来，使球在靠近板边缘的地方达到平衡。第 组（选填“1”或“2”）的实验装置更合适，理由是 。
【答案】 小球的质量m 细线与竖直方向的夹角 夹角的正切值 1 靠近极板中心处的电场可视为匀强电场（或极板间除边缘附近外的电场为匀强电场或极板边缘的电场分布不均匀等合理答案均可）
【解析】（1）[1][2]小球静止状态，受力分析得
除了小球的电荷量q，还需要测量的物理量是小球的质量m，细线与竖直方向的夹角；
（2）[3]根据平衡关系式得
将实验数据绘图后，能线性拟合出一条直线，故纵坐标应该为夹角的正切值；
[4]根据图像求出直线的斜率为k，则平行板间电场强度E的大小可表示为
（3）[5][6]第1组的实验装置更合适，理由是靠近极板中心处的电场可视为匀强电场，极板边缘的电场分布不均匀。
14．用高值电阻放电法测电容的实验电路图如图所示。其原理是测出电容器在充电电压为时所带的电荷量，从而求出其电容C。该实验的操作步骤如下：
（1）按电路图接好实验电路；
（2）接通开关S，调节电阻箱的阻值，使微安表的指针接近满刻度。记下这时的电压表读数和微安表读数；
（3）断开开关并同时开始计时，每隔或读一次微安表的读数，将读数记录在预先设计的表格中；
（4）以为横坐标，为纵坐标，建立坐标系。若由实验得到的数据，在右图中描出了12个点（用“×”表示），可以估算出当电容器两端电压为时该电容器所带的电荷量约为 C，从而算出该电容器的电容约为 F。（结果均保留2位有效数字）
【答案】 （） （）
【解析】[1]用平滑曲线将各点连接，然后数此曲线与坐标轴围成的格子数，超过半格的算一格，不足半格的舍弃。每格代表电量为
数出的格子数为格，则
[2]电容为
四、解答题
15．如图所示，真空中A、B两点分别固定电荷量均为的两个点电荷，O为A、B连线的中点，C为A、B连线中垂线上的一点，C点与A点的距离为，AC与AB的夹角为，中垂线上距离A点为的点的电势为（以无穷远处为零电势点）。一个质量为的点电荷（其电荷量远小于Q），以某一速度经过C点，不计点电荷的重力，静电力常量为。
（1）画出C点的电场强度方向；
（2）若经过C点的点电荷的电荷量为，速度方向由C指向O，要让此点电荷能够到达O点，求其在C点的速度最小值；
（3）若经过C点的点电荷的电荷量为，要让此点电荷能够做过C点的匀速圆周运动，求其在C点的速度的大小和方向。
【答案】（1）；（2）；（3），方向垂直于纸面向里或者向外
【解析】（1）根据对称性可知，C点电场场强方向沿着AB连线的中垂线向上，如图所示
（2）C点电势为
O点电势为
设此点电荷刚好能够到达O点，由能量守恒定律可得
解得
（3）设圆周运动的半径为，C点电场场强大小为，则有
联立解得
方向垂直于纸面向里或者向外。
16．如图所示，在平面直角坐标系内有四个点：（m，3m）、（m，3m）、（m，－1m）和（m，－1m），在空间内有平行于xOy平面的匀强电场，且、、点处的电势分别为-2000V、1000V、-1000V。有一个重力可以忽略的带电粒子从坐标原点以大小为、方向与y轴负方向夹角为的速度射入第四象限，经过，速度恰好平行于x轴且与x轴同向。
（1）求点的电势；
（2）求匀强电场的电场强度大小；
（3）求带电粒子的带电性质及比荷。
【答案】（1）；（2）；（3），粒子带负电
【解析】（1）在平行于xOy平面内有匀强电场，且平行于，在匀强电场中，相互平行的两线段两端的电势差与两线段的长度成正比，有
可得
由以上两式解得
（2）据题意，与y轴交点M（0，3m）电势为0，点N（m，1m）的电势也为0，即直线MN为等势线，设MN与y轴间的夹角为α，如图所示
由几何关系有
得
因为电场的方向垂直MN，所以电场方向与x轴负方向间的夹角为，电场强度大小
（3）在t时间内粒子在y轴负方向上做匀减速运动，则有
，
解得
，且该带电粒子带负电
17．真空中两块相同的金属板A、B水平正对，O是贴近A板上表面左边缘处的一个点，如图甲所示，A板接地，两板间加上周期性的交变电压后，在两板之间产生了交变的匀强电场。B板的电势随时间t的变化规律如图乙所示。现在O点放一个粒子源，粒子源不断水平向右发射带负电的粒子，粒子一旦碰到金属板，就附着在金属板上不再运动，且电荷量同时消失，不影响A、B板间的电压。已知粒子源发射的粒子初速度大小均为，电荷量均为q，质量均为m，A、B板间交变电压的周期为T，图乙中是已知量，但是可变量，不计粒子的重力和粒子之间的相互作用。若，在时刻被射出的粒子，经过一个周期的时间恰好回到A板。
（1）求图乙中的值。
（2）求金属板A、B间的最小距离。
（3）若，粒子源保持均匀发射粒子，金属板A、B间的距离，，则在时间内，打在B板上的粒子占一个周期内发射的粒子的百分比大约是多少？（已知）
【答案】（1）；（2）；（3）14%
【解析】（1）若，则在时间内，粒子的加速度大小
方向向上；
在时间内，粒子的加速度大小
方向向下；
根据题意有
解得
（2）若，粒子恰好不能打到B金属板，则此时金属板A、B间的距离最小，粒子在时刻垂直金属板方向的分速度
粒子沿垂直金属板方向加速运动的距离
粒子沿垂直金属板方向减速运动的距离
A、B两板间的最小距离
解得
（3）若，，，设经过时间向上加速运动、再经过时间向上减速运动的粒子恰好能打在B金属板上，根据垂直金属板方向粒子的运动特点有
并且
联立解得
故在时间内发出的粒子均可打到B金属板上，所以一个周期内发出的粒子打到B金属板上所占百分比约为第八章 静电场
静电场中的图像问题
【考点预测】
1. 静电场中的运动学图像问题
2.描述电场力的性质的物理量的图像问题
3. 描述电场能的性质的物理量的图像问题
4. 带电粒子在电场中的动能、机械能的图像问题
【方法技巧与总结】
v－t图像 根据v－t图像中速度变化、斜率确定电荷所受合力的方向与合力大小变化，确定电场的方向、电势高低及电势能变化
φ－x图像 (1)电场强度的大小等于φ－x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ－x图线存在极值，其切线的斜率为零 (2)在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向 (3)在φ－x图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断
E－t图像 根据题中给出的E－t图像，确定E的方向，再在草稿纸上画出对应电场线的方向，根据E的大小变化，确定电场的强弱分布
E－x图像 (1)反映了电场强度随位移变化的规律 (2)E＞0表示电场强度沿x轴正方向，E＜0 表示电场强度沿x轴负方向 (3)图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定
Ep－x图像 (1)反映了电势能随位移变化的规律 (2)图线的切线斜率大小等于电场力大小 (3)进一步判断电场强度、动能、加速度等随位移的变化情况
【题型归纳目录】
题型一：静电场中的v t图象
题型二：电势差与电场强度的关系
题型三：电场强度随位移的变化图像（E x图像）
题型四：动能随位移变化图像（Ek x图像）
【题型一】静电场中的v t图象
【典型例题】
例1．2022秋·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）如图甲，A、B是某电场中一条电场线上的两点，一个负电荷从A点由静止释放，仅在静电力的作用下从A点运动到B点，其运动的v-t图像如图乙所示。A、B两点的场强分别为、，电势分别为、，负电荷在A、B两点的电势能分别为、，则下列选项正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】根据v-t图像可知，斜率表示加速度，从A到B，图像斜率在减小，加速度在减小，受到的电场力在减小，即电场强度在减小，故
负电荷受到的电场力方向与 场强方向相反，电荷从A运动到B，故电场力水平向右，电场线方向水平向左，沿电场线方向电势逐渐降低，故
负电荷在电势高的地方电势能反而比较小，故
故选A。
【方法技巧与总结】
根据v t图象的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，确定电荷所受电场力的方向与电场力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化．
练1．（2023·全国·高三专题练习）如图a所示是某一点电荷形成的电场中的一条电场线，A、B是电场线上的两点，一负电荷q仅在电场力作用下以初速度v0从A运动到B过程中的速度图线如右图b所示，则以下说法中正确的是
A．A、B两点的电场强度是EA>EB
B．A、B两点的电势是
C．负电荷q在A、B两点的电势能大小是
D．此电场一定是负电荷形成的电场
【答案】C
【解析】A．速度图象的斜率等于物体的加速度，由图可知点电荷从A向B运动的过程中加速度越来越大，故A点的场强小于B点场强．故A错．
B．由于物体沿电场线运动过程当中做加速运动，故点电荷所受电场力方向由A指向B，又由于负电荷所受电场力的方向与场强的方向相反，所以电场线的方向由B指向A；而沿电场线的方向电势降低，所以B点电势比A点的电势高．故B错．
C．从图象知道，速度增大，电荷动能增大，由于仅在电场力作用，所以根据能量守恒电势能减小，即．故C正确．
D．A点的场强小于B点场强，电场线的方向由B指向A，所以此电场一定是正电荷形成的电场，故D错．
故选C．
【题型二】φ x图象
【典型例题】
例2．（2022秋·山西·高二校联考期中）如图甲所示，x轴上固定两个点电荷A和B，电荷A固定在原点O，电荷B固定在x=2L处，通过电势传感器测出x轴上各点电势随坐标x的变化规律并描绘出图像，如图乙所示。已知图线与x轴的交点坐标为和，x=3L处的图线的切线水平，取无穷远处电势为零时点电荷的电势公式，其中k为静电力常量，Q为场源点电荷的电荷量，r为某点距场源点电荷的距离，以下说法正确的是（ ）
A．两点电荷为同种电荷
B．两点电荷的电荷量之比为
C．在x轴上的区域内无初速度释放一正电荷，该正电荷一定能到达无穷远处
D．、
【答案】D
【解析】A．根据图像，电荷A周围的电势为正值，所以电荷A带正电；电荷B周围的电势为负值，所以电荷B带负电，两点电荷为异种电荷，A错误；
B．处的图线的切线平行x轴，该处的电场强度等于零
解得
故B错误；
C．在x轴上2L<x<3L的区域内，电势逐渐升高，电场强度沿x轴负方向，若在x轴上2L<x3L的区域内，电势逐渐降低，电场强度沿x轴正方向，若在x轴上x>3L的区域内无初速度释放一正电荷，正电荷受到向右的电场力，将向右加速到无穷远处，故C错误；
D．φ–x图像中图线的斜率绝对值表示电场强度大小，则x=3L处的电场强度为零，有
由题图可知x1、x2处的电势为零，根据电势公式有
解得
，
故D正确。
故选D。
【方法技巧与总结】
(1)电场强度的大小等于φ x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ x图线存在极值，其切线的斜率为零．
(2)在φ x图象中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向．
(3)在φ x图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断．
练2．（多选）（2023·全国·高二随堂练习）某静电场中的一条电场线与x轴重合，其电势的变化规律如图所示。在O点由静止释放一个负电荷，该负电荷仅受电场力的作用，则在区间内（ ）
A．电场强度没有发生变化
B．电场强度发生了变化
C．负电荷将沿x轴正方向运动，加速度不变
D．负电荷将沿x轴负方向运动，加速度逐渐减小
【答案】AC
【解析】AB．图像的斜率表示电场强度大小，在区间内图像的斜率不变，可知区间内电场强度的大小不变，沿电场线电势降低可知在区间内电场强度方向为沿轴负方向，故电场强度没有发生变化，故A正确，B错误；
CD．在区间内电场强度方向为沿轴负方向，且大小不变，负电荷受到的电场力方向与场强方向相反，故负电荷将沿x轴正方向运动，加速度不变，故C正确，D错误。
故选AC。
【题型三】电场强度随位移的变化图像（E x图像）
【典型例题】
例3．（多选）（2023·湖南·高三专题练习）如图甲所示，某电场中的一条电场线恰好与直线AB重合，以A点为坐标原点，向右为正方向建立直线坐标系，B点的坐标为，若一粒子仅在电场力的作用下由A点运动至B点，其电势能增加60eV，该电场线上各点的电场强度大小为E随位移x的变化规律如图乙所示，若A点电势为15V，下列说法正确的是（ ）
A．x轴上各点的电场强度方向都沿x轴负方向
B．该粒子沿x轴正方向做匀减速直线运动
C．B点电势是A点电势的3倍
D．图乙中应为
【答案】AC
【解析】AC．粒子由A点运动到B点，电场力做功为
解得
因为
所以
B点电势是A点电势的3倍，因为B点电势高于A点电势，所以电场的方向沿x轴负方向，故AC正确；
B．图乙中电场强度随位移x均匀变化，电场力为变力，所以粒子沿x轴正方向做变加速直线运动，故B错误；
D．图乙中图像的面积为A、B两点间的电势差的大小，可以确定为，故D错误。
故选AC。
【方法技巧与总结】
在给定了电场的E x图像后，可以由图线确定电场强度的变化情况，电势的变化情况，E x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差．在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况．
练3．（2022秋·辽宁·高二校联考阶段练习）某静电场中x轴上各点的电场强度方向均和轴重合，以x轴正方向为电场强度的正方向，x轴上的电场强度随位置坐标的变化规律如图所示，其中间的图线关于点中心对称，规定点为电势零点，已知，将一带电荷量为的粒子从坐标原点由静止释放不计粒子重力，关于粒子从原点O运动到点的过程，下列说法正确的是（ ）
A．释放后粒子的加速度先不变后减小 B．粒子到达点时的动能为
C．粒子经过的位置中O点电势一定最大 D．粒子在和处速度达到最大值
【答案】C
【解析】AD．间，电场强度沿轴正方向且大小不变，又粒子带正电，故粒子沿轴正方向做匀加速直线运动；间，电场强度沿x轴正方向，且大小逐渐减小，故粒子沿x轴正方向做加速度减小的加速运动；间，电场强度沿x轴负方向，且大小逐渐增大，故粒子沿x轴正方向做加速度增大的减速运动，故AD错误；
B．间的图线关于点中心对称，则间电场力对粒子做的正功数值上等于，间电场力对粒子做的负功，故粒子到达时的动能等于粒子到达时的动能，为
故B错误；
C．粒子在电场中仅在电场力作用下运动，粒子的动能和电势能之和不变，若点之后粒子速度一直大于零，则粒子经过的位置处的电势能一定小于点的，又粒子带正电，则粒子经过的位置处的电势一定小于点的，故C正确。
故选C。
【题型四】动能随位移变化图像（Ek x图像）
【典型例题】
例4．（多选）（2023春·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）如图1所示，一倾角为固定光滑绝缘斜面，上方存在沿斜面向下的匀强电场。一带电量为的物块（可视为质点）以一定初速度沿斜面上滑，在上滑过程中物块的动能、电势能与位移x的关系如图2所示。重力加速度g取，则物块质量m和电场强度的大小E分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】CD．根据
图2中以出发点的电势能为零，则有
结合图2有
解得
C正确，D错误；
AB．根据
可知
根据图2有
解得
A正确，B错误。
故选AC。
【方法技巧与总结】
根据动能定理，斜率表示合力大小。结合电场力做功和电势能的关系，以及其他功能关系和动力学观点处理问题。
练4．（多选）（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，绝缘、光滑水平面上方，有水平向右的匀强电场，电场强度大小为E。在水平面右端固定一轻弹簧，一带电物块（可视为质点）质量为m，电量为+q，将带电物块由静止释放，以物块出发点为坐标原点，水平向右为x轴正方向，建立坐标系，物块动能Ek与它通过的距离x之间的关系如图乙，其中坐标x1处为弹簧原长位置，O~x1段为直线，坐标x2处动能最大，坐标x4处动能为零。下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的劲度系数为
B．从坐标x1处到坐标x4处，物块所受力的合力先增加后减小
C．从坐标x1处到坐标x3处弹簧弹性势能增加了
D．从坐标x1处到坐标x2处，弹簧弹性势能增加量的大小等于电势能减少量的大小
【答案】AC
【解析】A．由动能定理可知，物体做匀加速直线运动，则
在处物体动能最大，此时物体加速度为零，则
即
解得
故A正确；
B．从坐标x1处到坐标x4处，在处
所以阶段
变大，则变小，而从到对应
变大，变大，所以合力先减小后增大，故B错误；
C．从坐标x1处到坐标x3处，弹簧弹性势能变大，而电场力做功全部转化为弹簧的弹性势能，即有
故C正确；
D．从坐标x1处到坐标x2处，弹性势能增加、动能增加，电场力做正功，电势能减小，可知弹簧弹性势能增加量和动能的增加量之和大小等于电势能减少量的大小，故D错误。
故选AC。
【过关测试】
一、单选题
1．如图甲所示，在无限大的空间内，边长为的正方形四个顶点分别固定着电荷量相等的正电荷，O点为正方形的几何中心，以O为原点，沿中垂线指向无穷远建立x轴，设无穷远处电势为零，通过电势传感器测出中垂线上各点电势随距离x的变化图像如图乙所示。四个点为两条中垂线上距中心O点等距离的点，有电子、氕核、氘核、氚核四个带电粒子，分别从四个点由静止释放，不计粒子的重力，以下说法正确的是（ ）
A．每条中垂线上电场强度为零的点除无穷远处外还有两处
B．每条中垂线上电场强度相同的点有两处
C．若氕、氘、氚三个粒子最终能到达无穷远处，其速度大小关系为
D．电子、氕、氘、氚可能围绕中心O做往复运动
【答案】C
【解析】A．根据电场强度矢量合成法则和对称性原理，原点O的电场强度为零，在图像中电势最高点处电场强度为零，故每条中垂线上电场强度为零的点除无穷远处外还有三处，故A错误；
B．每条中垂线上电场强度为零的点有三处，则电场强度从原点O向两侧先逐渐增大再减小到零，反向后再增大后再减小到零，由于场强相等时，大小相等方向一致，则每条中垂线上电场强度相同的点可能有两处、三处或四处，故B错误；
C．若氕、氘、氚三个粒子最终能到达无穷远处，电场力做功相同，由动能定理有
由于三个粒子质量不同，有
则有
故C正确；
D．由于释放位置关系，氕、氘、氚可以围绕原点O做往复运动，但电子将在a点左侧做往复运动，不可能围绕O点做往复运动，故D错误。
故选C。
2．如图甲所示，两电荷量分别为Q1和Q2的点电荷固定在x轴上的A、B两点，O点为坐标原点，在x轴上各点的电势φ随x轴坐标的变化规律如图乙所示，图中x轴上C点的电势为零，D点的电势最低。则（ ）
A．图像中图线的斜率表示电势能
B．在x轴上D点的电场强度最大
C．点电荷 Q1的电荷量比Q2的大
D．点电荷 Q1带正电，Q2带负电
【答案】C
【解析】A．φ-x图像的斜率表示不同位置的电场强度，故A错误；
B．根据图像可知，在x轴上D点的斜率为零，则场强为零，故B错误；
CD．因为在x轴上D点的电场强度为零，根据场强叠加的特点可知，两个点电荷在此处产生的电场强度大小相等，方向相反，则两个电荷为异种电荷，从点O到点D场强方向向右，点D右侧场强方向向左，由此可知点电荷 Q1带负电，Q2带正电。根据距离的关系结合场强的计算公式
可知，点电荷Q1的电荷量比Q2的大，故C正确，D错误。
故选C。
3．如图甲所示，某电场中的一条电场线恰好与直线AB重合，以A点为坐标原点，向右为正方向建立直线坐标系，B点的坐标为，若一α粒子仅在电场力的作用下由A点运动至B点，其电势能增加60 eV，该电场线上各点的电场强度大小E随位移x的变化规律如图乙所示，若A点电势为15V，下列说法正确的是（ ）
A．x轴上各点的电场强度方向都沿x轴正方向
B．该a粒子沿x轴正方向做匀减速直线运动
C．B点电势是A点电势的2倍
D．图乙中E0应为
【答案】D
【解析】A C．粒子由A点运动到B点，电场力做功为
解得
因为
所以
B点电势是A点电势的3倍，因为B点电势高于A点电势，所以电场的方向沿x轴负方向，A、C错误；
B．图乙中电场强度随位移x均匀变化，电场力为变力，所以α粒子沿x轴正方向做加速度增加的减速直线运动，B错误；
D．图乙中图像的面积为A、B两点间的电势差的大小，则
D正确。
故选D。
4．沿电场中某条直线电场线方向建立x轴，该电场线上各点的电场强度E随x的变化规律如图所示。将一个带正电的粒子从O点由静止释放，粒子仅在电场力的作用下，由坐标原点O运动到位置过程中，下列说法不正确的是（ ）
A．粒子先加速后减速运动
B．粒子的电势能一直减小
C．坐标原点O和位置的电势差
D．粒子动能的增加量等于电势能的减小量
【答案】A
【解析】ABD．由坐标原点O运动到位置过程中，电场方向一直为正方向，电场力方向与速度方向相同，电场力对粒子做正功，粒子速度一直增大，电势能一直减小，粒子的动能增加量等于电势能的减小量，故A错误，BD正确；
C．坐标原点O和位置间的电势差为图像与x轴所围成的面积，则有
故C正确。
本题选择错误的，故选A。
5．沿电场中某条直电场线方向建立轴，该电场线上各点电场强度随的变化规律如图所示，坐标原点和分别与轴上四点相对应，相邻两点间距相等。一个带正电的粒子从点由静止释放，运动到点的动能为，仅考虑电场力作用，则（ ）
A．从点到点，电势先升高后降低
B．粒子先做匀加速运动，后做变加速运动
C．粒子在段电势能变化量的绝对值大于段电势能变化量的绝对值
D．粒子在段电势能变化量的绝对值小于段电势能变化量的绝对值
【答案】C
【解析】A．由图可知，从点到点，场强方向不变，且正电荷受到电场力方向与场强方向相同，则电场线方向从点到点，沿电场线方向电势降低，故A错误；
B．根据
可知，加速度先增大后减小，故B错误；
CD．根据
图像面积表示电势差，由图可知在段面积较大，故电势差较大，电场力做功较大，故粒子在段电势能变化量的绝对值大于段电势能变化量的绝对值，故C正确，D错误。
故选C。
6．如图所示，在水平向左的匀强电场中，可视为质点的带负电物块，以某一初速度从足够长的绝缘斜面上的A点，沿斜面向下运动，经C点到达B点时，速度减为零，然后再返回到A点。已知斜面倾角θ=30°，物块与斜面间的动摩擦因数，整个过程斜面均保持静止，物块所带电量不变。则下列判断正确的是（ ）
A．物块在上滑过程中机械能一定减小
B．物块在上滑过程中，增加的重力势能一定大于减少的电势能
C．物块下滑时经过C点的动能一定大于上滑时经过C点的动能
D．物块在下滑过程中，斜面与地面之间的摩擦力可能不为零
【答案】C
【解析】A．上滑过程中满足
则电场力做功大于摩擦力做功，即除重力以外的其它力对物体做正功，则物体的机械能增加，选项A错误；
B．上滑过程中由动能定理
则
则物块在上滑过程中，增加的重力势能一定小于减少的电势能，选项B错误；
C．由于滑块下滑经过C点往下运动，再返回到C点时有摩擦力做功，则由能量关系可知物块下滑时经过C点的动能一定大于上滑时经过C点的动能，选项C正确；
D．当不加电场力时，由于斜面对物体的支持力为
N=mgcos30°
摩擦力
f=μmgcos30°=mgsin30°
可知支持力和摩擦力的合力方向竖直向上；
当加电场力后
N=mgcos30°+qEsin30°
f=μ(mgcos30°+ qEsin30°)
支持力和摩擦力成比例关系增加，则摩擦力和支持力的合力仍竖直向上，根据牛顿第三定律，则物块给斜面的摩擦力和压力的方向竖直向下，可知斜面在水平方向受力为零，则斜面所受地面的摩擦力为零，选项D错误。
故选C。
二、多选题
7．如图甲所示，A、B是某电场中一条电场线上的两点，一带负电荷的粒子仅在静电力的作用下从A点以一定初速度沿电场线运动到B点，其运动的图像如图乙所示。则下列说法正确的是（ ）
A．A点的电势比B点的电势低
B．A点的电场强度比B点的小
C．A、B两点的电场强度可能相等
D．负电荷在A点的电势能比在B点的小
【答案】BD
【解析】A．由图像可知，负电荷做减速运动，说明电场力向左，则电场方向向右，沿电场方向，电势降低，所以A点的电势比B点的电势高。A错误；
BC．由图乙可知，负电荷的加速度增大，根据牛顿第二定律，负电荷受到的电场力增大，所以A点的电场强度比B点的小。B正确，C错误；
D．由图像可知，负电荷做减速运动，说明电场力做负功，电荷电势能增加，负电荷在A点的电势能比在B点的小。D正确。
故选BD。
8．如图甲所示，A、B是某电场中一条电场线上的两点，将一点电荷从A点由静止释放，仅在静电力的作用下沿电场线从A点运动到B点，其运动的加速度a随时间t变化的规律如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．A点的电势一定高于B点的电势
B．电场线的方向一定从A指向B
C．从A点到B点该电场的电场强度一直在减小
D．该点电荷在A点的电势能一定大于其在B点的电势能
【答案】CD
【解析】AB．题干中仅给出了点电荷从A点运动到B点，但点电荷电性未知，所以电场线方向不一定从A指向B，那么A点的电势也不一定高于B点的电势，AB错误；
C．根据图乙，点电荷从A点运动到B点的过程中加速度在逐渐减小，由
可判断出点电荷所受电场力在逐渐减小，根据
可判断出电场强度在一直减小，C正确；
D．点电荷从A点运动到B点，加速度一直减小，但速度一直在增加，那么动能一直在增大，说明电场力做正功，电势能降低，所以点电荷在A点的电势能一定大于其在B点的电势能，D正确。
故选CD。
9．如图甲所示，某电场中的一条电场线恰好与M、P所在直线重合，以M为坐标原点，向右为正方向建立直线坐标系x，P点的坐标，此电场线上各点的电场强度E的大小随x变化的规律如图乙所示。若一电子（电荷量大小为e）仅在电场力作用下自M点运动至P点，其电势能减小。以下说法正确的是（ ）
A．该电子做匀变速直线运动
B．x轴上各点的电场强度方向都为x轴负方向
C．两点间电势差
D．图像中的的数值为
【答案】BD
【解析】A．由图乙可知，从M点到P点过程，电场强度逐渐减小，又因为电子仅受到电场力的作用，可知该电子的加速度逐渐减小，故电子不是做匀变速直线运动，A错误；
B．电子从M点运动至P点过程电势能减小，电场力做正功，可知电子受到的电场力沿x正方向，场强沿x负方向，B正确；
C．由功能关系可得
解得
C错误；
D．乙图中图线下方的面积与电荷量e的乘积表示电势能的减少量，可得
代入数据解得
故图像中的E0的数值为，D正确。
故选BD。
10．电场中的一条电场线与x轴重合，该电场线上各点电场强度大小E随x的变化规律如图所示，坐标轴上的点0、x1、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应，相邻两点间距相等，一电子由O点静止释放，仅受电场力的作用，运动到A点的动能为Ek。下列说法正确的是（ ）
A．从O点到C点，电势逐渐降低
B．电子先做匀速运动，后做减速运动
C．电子运动到C点时动能小于3Ek
D．电子在A点的电势能小于电子在B点的电势能
【答案】C
【解析】A．电子有O点运动到C点，故场强方向沿x轴负方向，所以逆着电场线方向电势逐渐升高，A错误；
B．由图像可知场强先不变后减小，故电子先做匀加速后做加速度减小的加速运动，B错误；
C．由图像可知图像的面积表示电势差，则有，所以电子运动到C点时动能小于3Ek，C正确；
D．电子由A点到B点电场力做正功，电势能减小，电子在A点的电势能大于电子在B点的电势能，D错误。
故选C。第八章 静电场
静电场综合练
一、单选题
1．如图所示，三个带电小球A、B、C分别位于等边三角形的三个顶点且放在光滑绝缘的水平桌面上，空间存在水平且与BC连线垂直的匀强电场，三个小球可看成质点且均静止不动，则三个带电小球所带电荷的电性及电荷量的关系是（ ）
A．A、B带正电，C带负电，A、B、C所带电荷量之比为1：1：1
B．A、B带正电，C带负电，A、B、C所带电荷量之比为2：1：1
C．A带正电，B、C带负电，A、B、C所带电荷量之比为1：1：1
D．A带正电，B、C带负电，A、B、C所带电荷量之比为2：1：1
2．均匀带电的球体在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心产生的电场。若将地球视为均匀带电的球体，电荷量为Q，半径为R，静电力常量为k，则在地外空间距地面高度为R处的电场强度大小为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示，真空中固定两个等量异种点电荷A、B，O为A、B连线中点，以O点为圆心、半径为R的圆面垂直于A、B连线，以O为几何中心的边长为2R的正方形平面垂直圆面且与A、B连线共面，两个平面边线交点分别为e、f，下列说法正确的是（ ）
A．a、b、c、d、e、f六点中，任何两点的场强及电势均不相同
B．将一电荷由e点沿圆弧egf移到f点电场力始终不做功
C．将一电荷由a点移到圆面内各点过程电势能的变化量都不相同
D．沿线段eOf移动的电荷，它所受的电场力先减小后增大
4．下图为地图上某山地的等高线图，O点为峰顶（图中数字的单位是米）。小山坡的左边a和右边b，据地理知识可根据该图判断出哪一边的地势更陡，若现在把该图看成一个描述电势高低的等势线图，图中数字的单位是伏特，以下说法正确的是（ ）
A．与Ob方向相比，沿Oa方向电势降落较快
B．负电荷在20V等势线上的电势能小于在40V等势线上的电势能
C．若只考虑电场力，在电势为30V的等势线上静止释放q = 1.6 × 10－6C的点电荷，运动到零势能面时动能一定为 × 10－5J
D．若电子沿30V的等势线从左到右逆时针运动一周，则电场力先做正功，后做负功，总功为零
5．范德格拉夫静电加速器结构如图所示，其工作原理是先通过传送带将正电荷传送到金属球壳（电荷在金属球壳均匀分布），使金属球与地面间产生几百万伏的高压，然后利用高压给绝缘管中的带电粒子加速。在加速管顶端A点无初速度释放一带电粒子，粒子经过B、C两点到达管底（B为中点）。不计粒子重力，仅考虑球壳产生电场的影响，下列说法正确的是（ ）
A．B点电势比C点电势低
B．粒子从B点到C点的过程中电势能增大
C．粒子在B点的加速度小于在C点的加速度
D．粒子在与间的动能变化量不同
6．如图所示，间距为d的两平行金属板通过理想二极管与电动势为的电源（内阻不计）相连，A板接地，在两板之间的C点固定一个带电荷量为的点电荷，C点与B板之间的距离为，下列说法正确的是（ ）
A．图中电容器无法充电
B．点电荷的电势能为
C．把两板错开放置，B板的电势不变
D．把A板向下移动，点电荷受到的电场力减小
7．如图所示，虚线为匀强电场中的等势线，相邻两条虚线间的电势差相等，实曲线为一个带电粒子仅在电场力作用下运动的轨迹。A、B、D为粒子的运动轨迹与等势线的交点，C点为轨迹与该处等势线的切点，则下列判断正确的是（ ）
A．沿轨迹从A到D，轨迹上各点的电势先降低后升高
B．沿轨迹从A到D，粒子的机械能先减小后增大
C．粒子从A到C与从C到D运动的时间之比为
D．粒子从A到B与从B到C电场力的冲量之比为
8．如图所示，空间存在三个相邻的水平面、和，水平面、之间的距离为，其间区域存在水平向右的匀强电场，水平面、之间区域存在大小相等、方向水平向左的匀强电场。质量为、电荷量为的带正电小球从电场上边界的点由静止释放，经过电场中边界，最终从电场下边界离开。已知小球到达电场下边界时的速度方向恰好竖直向下，且此时动能为其经过电场中边界时动能的6倍。不计空气阻力，重力加速度大小为。下列说法正确提（ ）
A．水平面、之间的距离为
B．匀强电场的电场强度大小为
C．小球在、之间区域做平抛运动
D．小球在、间减小电势能小于在、间增加电势能
二、多选题
9．如图所示，一条直线上有ACBO四个点，AC距离2L，CB距离L，BO距离L，A处固定一个电荷量为2Q的正点电荷，B处固定一个电荷量为－Q的负点电荷，图中虚线圆圆心为O、半径为2L，D为圆上一点且BD与直线垂直，已知将试探电荷从圆上任意一点移动到无穷远处，电场力做功均为0，则以下判断正确的是（ ）
A．正试探电荷在圆上所受电场力一定指向O点
B．试探电荷在C点所受电场力为0
C．将正试探电荷从D点移到AC中点，电势能减小
D．D点场强大小为
10．如图，M、N两点电场强度相同，电势也相同的是（ ）
A．（a）图中，与点电荷等距的M、N两点
B．（b）图中，两块面积足够大且靠近的平行金属板之间，与上板等距的M、N两点
C．（c）图中，两个等量异种点电荷连线的中垂线上，与连线中点等距的M、N两点
D．（d）图中，两个等量同种点电荷连线上，与连线中点等距的M、N两点
11．我国利用自主研发的电子束焊接技术，成功焊接了4500米载人深潜器的球壳。电子束焊接机中的电子枪如图所示，K为阴极电势为，A为阳极电势为，仅在电场力作用下电荷量为的电子由静止从K运动到A，则（ ）
A．电子做匀加速直线运动
B．从K到A电势逐渐升高
C．电场力对电子做功为
D．电子电势能增加
12．图甲为两水平金属板，在两板间加上周期为T的交变电压u，电压u随时间t变化的图线如图乙所示。质量为m、重力不计的带电粒子以初速度沿中线射入两板间，经时间T从两板间飞出。下列关于粒子运动的描述正确的是（ ）
A．t＝0时入射的粒子，离开电场时偏离中线的距离最小
B．无论哪个时刻入射的粒子，离开电场时的速度方向都沿水平方向
C．时入射的粒子，离开电场时偏离中线的距离最大
D．无论哪个时刻入射的粒子，离开电场时的速度大小都相等
三、实验题
13．如图A所示，在两个相同竖直方向放置的平行导电板之间连接一电源，电源输出电压及两板间电压无法直接测得。将一个带电小球悬挂在两板之间的绝缘细线上。实验中可以改变小球的电荷量q并用静电计测量，带电小球能在两平行板内达到平衡。为了测出两带等量异种电荷的平行板间匀强电场的电场强度。
（1）除了小球的电荷量q，还需要测量的物理量是 和 ；
（2）以电荷量和重力加速度之比为横轴， 为纵轴，将实验数据绘图后，能线性拟合出一条直线。再根据图像求出直线的斜率为k，则平行板间电场强度E的大小可表示为 。
（3）如图B所示，第1组同学将球悬挂在一根较长的绝缘细线下，使球在靠近板中心的地方达到平衡；第2组同学用一根短绝缘细线将球悬挂起来，使球在靠近板边缘的地方达到平衡。第 组（选填“1”或“2”）的实验装置更合适，理由是 。
14．用高值电阻放电法测电容的实验电路图如图所示。其原理是测出电容器在充电电压为时所带的电荷量，从而求出其电容C。该实验的操作步骤如下：
（1）按电路图接好实验电路；
（2）接通开关S，调节电阻箱的阻值，使微安表的指针接近满刻度。记下这时的电压表读数和微安表读数；
（3）断开开关并同时开始计时，每隔或读一次微安表的读数，将读数记录在预先设计的表格中；
（4）以为横坐标，为纵坐标，建立坐标系。若由实验得到的数据，在右图中描出了12个点（用“×”表示），可以估算出当电容器两端电压为时该电容器所带的电荷量约为 C，从而算出该电容器的电容约为 F。（结果均保留2位有效数字）
四、解答题
15．如图所示，真空中A、B两点分别固定电荷量均为的两个点电荷，O为A、B连线的中点，C为A、B连线中垂线上的一点，C点与A点的距离为，AC与AB的夹角为，中垂线上距离A点为的点的电势为（以无穷远处为零电势点）。一个质量为的点电荷（其电荷量远小于Q），以某一速度经过C点，不计点电荷的重力，静电力常量为。
（1）画出C点的电场强度方向；
（2）若经过C点的点电荷的电荷量为，速度方向由C指向O，要让此点电荷能够到达O点，求其在C点的速度最小值；
（3）若经过C点的点电荷的电荷量为，要让此点电荷能够做过C点的匀速圆周运动，求其在C点的速度的大小和方向。
16．如图所示，在平面直角坐标系内有四个点：（m，3m）、（m，3m）、（m，－1m）和（m，－1m），在空间内有平行于xOy平面的匀强电场，且、、点处的电势分别为-2000V、1000V、-1000V。有一个重力可以忽略的带电粒子从坐标原点以大小为、方向与y轴负方向夹角为的速度射入第四象限，经过，速度恰好平行于x轴且与x轴同向。
（1）求点的电势；
（2）求匀强电场的电场强度大小；
（3）求带电粒子的带电性质及比荷。
17．真空中两块相同的金属板A、B水平正对，O是贴近A板上表面左边缘处的一个点，如图甲所示，A板接地，两板间加上周期性的交变电压后，在两板之间产生了交变的匀强电场。B板的电势随时间t的变化规律如图乙所示。现在O点放一个粒子源，粒子源不断水平向右发射带负电的粒子，粒子一旦碰到金属板，就附着在金属板上不再运动，且电荷量同时消失，不影响A、B板间的电压。已知粒子源发射的粒子初速度大小均为，电荷量均为q，质量均为m，A、B板间交变电压的周期为T，图乙中是已知量，但是可变量，不计粒子的重力和粒子之间的相互作用。若，在时刻被射出的粒子，经过一个周期的时间恰好回到A板。
（1）求图乙中的值。
（2）求金属板A、B间的最小距离。
（3）若，粒子源保持均匀发射粒子，金属板A、B间的距离，，则在时间内，打在B板上的粒子占一个周期内发射的粒子的百分比大约是多少？（已知）
第八章 静电场
静电场中的图像问题
【考点预测】
1. 静电场中的运动学图像问题
2.描述电场力的性质的物理量的图像问题
3. 描述电场能的性质的物理量的图像问题
4. 带电粒子在电场中的动能、机械能的图像问题
【方法技巧与总结】
v－t图像 根据v－t图像中速度变化、斜率确定电荷所受合力的方向与合力大小变化，确定电场的方向、电势高低及电势能变化
φ－x图像 (1)电场强度的大小等于φ－x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ－x图线存在极值，其切线的斜率为零 (2)在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向 (3)在φ－x图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断
E－t图像 根据题中给出的E－t图像，确定E的方向，再在草稿纸上画出对应电场线的方向，根据E的大小变化，确定电场的强弱分布
E－x图像 (1)反映了电场强度随位移变化的规律 (2)E＞0表示电场强度沿x轴正方向，E＜0 表示电场强度沿x轴负方向 (3)图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定
Ep－x图像 (1)反映了电势能随位移变化的规律 (2)图线的切线斜率大小等于电场力大小 (3)进一步判断电场强度、动能、加速度等随位移的变化情况
【题型归纳目录】
题型一：静电场中的v t图象
题型二：电势差与电场强度的关系
题型三：电场强度随位移的变化图像（E x图像）
题型四：动能随位移变化图像（Ek x图像）
【题型一】静电场中的v t图象
【典型例题】
例1．2022秋·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）如图甲，A、B是某电场中一条电场线上的两点，一个负电荷从A点由静止释放，仅在静电力的作用下从A点运动到B点，其运动的v-t图像如图乙所示。A、B两点的场强分别为、，电势分别为、，负电荷在A、B两点的电势能分别为、，则下列选项正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【方法技巧与总结】
根据v t图象的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，确定电荷所受电场力的方向与电场力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化．
练1．（2023·全国·高三专题练习）如图a所示是某一点电荷形成的电场中的一条电场线，A、B是电场线上的两点，一负电荷q仅在电场力作用下以初速度v0从A运动到B过程中的速度图线如右图b所示，则以下说法中正确的是
A．A、B两点的电场强度是EA>EB
B．A、B两点的电势是
C．负电荷q在A、B两点的电势能大小是
D．此电场一定是负电荷形成的电场
【题型二】φ x图象
【典型例题】
例2．（2022秋·山西·高二校联考期中）如图甲所示，x轴上固定两个点电荷A和B，电荷A固定在原点O，电荷B固定在x=2L处，通过电势传感器测出x轴上各点电势随坐标x的变化规律并描绘出图像，如图乙所示。已知图线与x轴的交点坐标为和，x=3L处的图线的切线水平，取无穷远处电势为零时点电荷的电势公式，其中k为静电力常量，Q为场源点电荷的电荷量，r为某点距场源点电荷的距离，以下说法正确的是（ ）
A．两点电荷为同种电荷
B．两点电荷的电荷量之比为
C．在x轴上的区域内无初速度释放一正电荷，该正电荷一定能到达无穷远处
D．、
【方法技巧与总结】
(1)电场强度的大小等于φ x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ x图线存在极值，其切线的斜率为零．
(2)在φ x图象中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向．
(3)在φ x图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断．
练2．（多选）（2023·全国·高二随堂练习）某静电场中的一条电场线与x轴重合，其电势的变化规律如图所示。在O点由静止释放一个负电荷，该负电荷仅受电场力的作用，则在区间内（ ）
A．电场强度没有发生变化
B．电场强度发生了变化
C．负电荷将沿x轴正方向运动，加速度不变
D．负电荷将沿x轴负方向运动，加速度逐渐减小
【题型三】电场强度随位移的变化图像（E x图像）
【典型例题】
例3．（多选）（2023·湖南·高三专题练习）如图甲所示，某电场中的一条电场线恰好与直线AB重合，以A点为坐标原点，向右为正方向建立直线坐标系，B点的坐标为，若一粒子仅在电场力的作用下由A点运动至B点，其电势能增加60eV，该电场线上各点的电场强度大小为E随位移x的变化规律如图乙所示，若A点电势为15V，下列说法正确的是（ ）
A．x轴上各点的电场强度方向都沿x轴负方向
B．该粒子沿x轴正方向做匀减速直线运动
C．B点电势是A点电势的3倍
D．图乙中应为
【方法技巧与总结】
在给定了电场的E x图像后，可以由图线确定电场强度的变化情况，电势的变化情况，E x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差．在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况．
练3．（2022秋·辽宁·高二校联考阶段练习）某静电场中x轴上各点的电场强度方向均和轴重合，以x轴正方向为电场强度的正方向，x轴上的电场强度随位置坐标的变化规律如图所示，其中间的图线关于点中心对称，规定点为电势零点，已知，将一带电荷量为的粒子从坐标原点由静止释放不计粒子重力，关于粒子从原点O运动到点的过程，下列说法正确的是（ ）
A．释放后粒子的加速度先不变后减小 B．粒子到达点时的动能为
C．粒子经过的位置中O点电势一定最大 D．粒子在和处速度达到最大值
【题型四】动能随位移变化图像（Ek x图像）
【典型例题】
例4．（多选）（2023春·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）如图1所示，一倾角为固定光滑绝缘斜面，上方存在沿斜面向下的匀强电场。一带电量为的物块（可视为质点）以一定初速度沿斜面上滑，在上滑过程中物块的动能、电势能与位移x的关系如图2所示。重力加速度g取，则物块质量m和电场强度的大小E分别为（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
根据动能定理，斜率表示合力大小。结合电场力做功和电势能的关系，以及其他功能关系和动力学观点处理问题。
练4．（多选）（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，绝缘、光滑水平面上方，有水平向右的匀强电场，电场强度大小为E。在水平面右端固定一轻弹簧，一带电物块（可视为质点）质量为m，电量为+q，将带电物块由静止释放，以物块出发点为坐标原点，水平向右为x轴正方向，建立坐标系，物块动能Ek与它通过的距离x之间的关系如图乙，其中坐标x1处为弹簧原长位置，O~x1段为直线，坐标x2处动能最大，坐标x4处动能为零。下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的劲度系数为
B．从坐标x1处到坐标x4处，物块所受力的合力先增加后减小
C．从坐标x1处到坐标x3处弹簧弹性势能增加了
D．从坐标x1处到坐标x2处，弹簧弹性势能增加量的大小等于电势能减少量的大小
【过关测试】
一、单选题
1．如图甲所示，在无限大的空间内，边长为的正方形四个顶点分别固定着电荷量相等的正电荷，O点为正方形的几何中心，以O为原点，沿中垂线指向无穷远建立x轴，设无穷远处电势为零，通过电势传感器测出中垂线上各点电势随距离x的变化图像如图乙所示。四个点为两条中垂线上距中心O点等距离的点，有电子、氕核、氘核、氚核四个带电粒子，分别从四个点由静止释放，不计粒子的重力，以下说法正确的是（ ）
A．每条中垂线上电场强度为零的点除无穷远处外还有两处
B．每条中垂线上电场强度相同的点有两处
C．若氕、氘、氚三个粒子最终能到达无穷远处，其速度大小关系为
D．电子、氕、氘、氚可能围绕中心O做往复运动
2．如图甲所示，两电荷量分别为Q1和Q2的点电荷固定在x轴上的A、B两点，O点为坐标原点，在x轴上各点的电势φ随x轴坐标的变化规律如图乙所示，图中x轴上C点的电势为零，D点的电势最低。则（ ）
A．图像中图线的斜率表示电势能
B．在x轴上D点的电场强度最大
C．点电荷 Q1的电荷量比Q2的大
D．点电荷 Q1带正电，Q2带负电
3．如图甲所示，某电场中的一条电场线恰好与直线AB重合，以A点为坐标原点，向右为正方向建立直线坐标系，B点的坐标为，若一α粒子仅在电场力的作用下由A点运动至B点，其电势能增加60 eV，该电场线上各点的电场强度大小E随位移x的变化规律如图乙所示，若A点电势为15V，下列说法正确的是（ ）
A．x轴上各点的电场强度方向都沿x轴正方向
B．该a粒子沿x轴正方向做匀减速直线运动
C．B点电势是A点电势的2倍
D．图乙中E0应为
4．沿电场中某条直线电场线方向建立x轴，该电场线上各点的电场强度E随x的变化规律如图所示。将一个带正电的粒子从O点由静止释放，粒子仅在电场力的作用下，由坐标原点O运动到位置过程中，下列说法不正确的是（ ）
A．粒子先加速后减速运动
B．粒子的电势能一直减小
C．坐标原点O和位置的电势差
D．粒子动能的增加量等于电势能的减小量
5．沿电场中某条直电场线方向建立轴，该电场线上各点电场强度随的变化规律如图所示，坐标原点和分别与轴上四点相对应，相邻两点间距相等。一个带正电的粒子从点由静止释放，运动到点的动能为，仅考虑电场力作用，则（ ）
A．从点到点，电势先升高后降低
B．粒子先做匀加速运动，后做变加速运动
C．粒子在段电势能变化量的绝对值大于段电势能变化量的绝对值
D．粒子在段电势能变化量的绝对值小于段电势能变化量的绝对值
6．如图所示，在水平向左的匀强电场中，可视为质点的带负电物块，以某一初速度从足够长的绝缘斜面上的A点，沿斜面向下运动，经C点到达B点时，速度减为零，然后再返回到A点。已知斜面倾角θ=30°，物块与斜面间的动摩擦因数，整个过程斜面均保持静止，物块所带电量不变。则下列判断正确的是（ ）
A．物块在上滑过程中机械能一定减小
B．物块在上滑过程中，增加的重力势能一定大于减少的电势能
C．物块下滑时经过C点的动能一定大于上滑时经过C点的动能
D．物块在下滑过程中，斜面与地面之间的摩擦力可能不为零
二、多选题
7．如图甲所示，A、B是某电场中一条电场线上的两点，一带负电荷的粒子仅在静电力的作用下从A点以一定初速度沿电场线运动到B点，其运动的图像如图乙所示。则下列说法正确的是（ ）
A．A点的电势比B点的电势低
B．A点的电场强度比B点的小
C．A、B两点的电场强度可能相等
D．负电荷在A点的电势能比在B点的小
8．如图甲所示，A、B是某电场中一条电场线上的两点，将一点电荷从A点由静止释放，仅在静电力的作用下沿电场线从A点运动到B点，其运动的加速度a随时间t变化的规律如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．A点的电势一定高于B点的电势
B．电场线的方向一定从A指向B
C．从A点到B点该电场的电场强度一直在减小
D．该点电荷在A点的电势能一定大于其在B点的电势能
9．如图甲所示，某电场中的一条电场线恰好与M、P所在直线重合，以M为坐标原点，向右为正方向建立直线坐标系x，P点的坐标，此电场线上各点的电场强度E的大小随x变化的规律如图乙所示。若一电子（电荷量大小为e）仅在电场力作用下自M点运动至P点，其电势能减小。以下说法正确的是（ ）
A．该电子做匀变速直线运动
B．x轴上各点的电场强度方向都为x轴负方向
C．两点间电势差
D．图像中的的数值为
10．电场中的一条电场线与x轴重合，该电场线上各点电场强度大小E随x的变化规律如图所示，坐标轴上的点0、x1、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应，相邻两点间距相等，一电子由O点静止释放，仅受电场力的作用，运动到A点的动能为Ek。下列说法正确的是（ ）
A．从O点到C点，电势逐渐降低
B．电子先做匀速运动，后做减速运动
C．电子运动到C点时动能小于3Ek
D．电子在A点的电势能小于电子在B点的电势能
