四川省宜宾市叙州区第一名校校2024届高三一模数学（理）试题(原卷版+解析版)

叙州区一中高2021级高三一诊模拟考试
数学（理工类）
本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，，若，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
3. 给出下列四个函数：①；②；③；④．其中在上是增函数的有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4. 若三个不同的平面满足则之间的位置关系是（ ）
A. B.
C. 或 D. 或与相交
5. 已知lg3 = a，lg5 = b，则log515 =
A. B. C. D.
6. 设函数的导数为，且，则（ ）
A. 0 B. 4 C. D. 2
7. 将函数的图象向左平移个单位长度得到f（x）的图象，则（ ）
A. B. 的图象关于对称
C. D. 的图象关于直线对称
8. 设函数与函数的对称轴完全相同，则的值为
A. B. C. D.
9. 已知函数在处有极值，则等于（ ）
A. B. 16 C. 或16 D. 16或18
10. 若函数有且仅有两个不同零点，则b的值为
A. B. C. D. 不确定
11. 若圆锥内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数，若函数在区间上有最值，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知函数，且的图像恒过定点P，且P在幂函数的图像上，则____________．
14. 若，，则的值为__________．
15. 已知，，且ABCD平行四边形，则点D坐标为______．
16. 在中，，角平分线交BC于D，则_________．
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17. 已知，且是第二象限角.
（1）求的值；
（2）求的值.
18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求的值；
（2）若，△ABC的面积为，求边长b的值.
19. 如图，棱柱 的所有棱长都等于 2， ，平面 平面 ．
（1）证明： ；
（2）求二面角 的余弦值；
20. 如图，已知A，B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的正西方向1 km处，tan∠BAN＝，∠BCN＝，.现计划铺设一条电缆连通A，B两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元km、4万元km.
（1）求A，B两镇间的距离；
（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？
21. 已知函数
（1）求f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个零点的极值点为t，是否存在a使得？若存在，求出所有满足条件的a的值；若不存在，请说明理由．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22. 在极坐标系中，为极点，如图所示，已知以为直径作圆.
（1）求圆的极坐标方程 ；
（2）若为圆左上半圆弧的三等分点，求点的极坐标．
[选修 4-5：不等式选讲]
23 已知函数.
（1）若不等式恒成立,求的取值范围;叙州区一中高2021级高三一诊模拟考试
数学（理工类）
本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接由复数的减法运算求解即可.
【详解】.
故选：D.
2. 已知集合，，若，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合子集的概念，可确定端点的关系，即可求解.
【详解】已知，，且，
所以.故实数的取值范围为，故选B.
【点睛】本题主要考查了集合子集的概念，属于容易题.
3. 给出下列四个函数：①；②；③；④．其中在上是增函数的有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】根据常见函数的单调性即可求解.
【详解】和在上是增函数，和在上是减函数，
故选：C
4. 若三个不同的平面满足则之间的位置关系是（ ）
A. B.
C. 或 D. 或与相交
【答案】D
【解析】
【分析】利用正方体中的面面关系即可求解.
【详解】由可得或与相交，
比如在正方体中，
平面平面，平面平面，则平面平面，
又平面平面，平面平面，但是平面与平面相交，
故选：D
5. 已知lg3 = a，lg5 = b，则log515 =
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查对数的换底公式和对数的运算性质．
【详解】由换底公式可知.
故选：B．
6. 设函数的导数为，且，则（ ）
A. 0 B. 4 C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】可先求函数的导数，令求出即可.
【详解】由，
令得，
解得.
故选：C.
7. 将函数图象向左平移个单位长度得到f（x）的图象，则（ ）
A. B. 的图象关于对称
C. D. 的图象关于直线对称
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数的图象变换，求得，再结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，将函数的图象向左平移个单位长度，
可得，所以A不正确；
由，所以的图象关于对称，
所以B正确；
由，所以C不正确；
令，可得，
可得不是函数的对称轴，所以D不正确.
故选：B.
8. 设函数与函数的对称轴完全相同，则的值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出两个函数的对称轴，利用对称轴完全相同，即可求得的值．
【详解】由题意，求函数的对称轴，
令，解得
函数，
令，解得，
因为函数与函数的对称轴完全相同，
所以，
故选：C.
【点睛】该题考查的是三角函数的问题，涉及到的知识点有三角函数的性质，考查学生的计算能力，属于简单题目．
9. 已知函数在处有极值，则等于（ ）
A. B. 16 C. 或16 D. 16或18
【答案】A
【解析】
【分析】求导，即可由且求解，进而代入验证是否满足极值点即可.
【详解】，
若函数在处有极值8，
则 且，即 ，
解得：或 ，
当时，，此时不是极值点，故舍去，
当时，，
当或时，，当，故是极值点，
故符合题意，
故，
故，
故选：A
10. 若函数有且仅有两个不同零点，则b的值为
A. B. C. D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】求导后，讨论函数的单调性，结合零点存在性定理即可判断.
【详解】因为函数，所以，
若，则，此时函数单调递增，不满足条件；
若，由，可验证是函数的两个极值点，
若函数恰有两个不同的零点，则或，
因为，所以，即，
解得.
故选：C．
11. 若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解法一：设圆锥底面半径为，高为，根据∽可得，即，利用锥体的体积公式，然后利用基本不等式求最值；解法二：同解法一，利用导数求最值；解法三：设，可得，，即，设，利用二次函数配方即可求解.
【详解】解法一：如图，设圆锥底面半径为，高为.
由∽可得，即，
则，
所以，
因，所以，当且仅当，即时取等号，
此时圆锥体积最小，最小值为.因为该球的体积为，
所以该圆锥体积与其内切球体积比为.
解法二： 如图，设圆锥底面半径为，高为.
由∽可得，即，
则，
所以令，
则，
当时，；
当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
即时，该圆锥体积最小， 最小值为.又其内切球体积为.
所以该圆锥体积与其内切球体积比为，
解法三：设，则，所以，
又，所以，
所以，令，
因为，当且仅当时取得最大值，
从而圆锥体积最小，最小值为.因为该球的体积为，
所以该圆锥体积与其内切球体积比为，
故选：D.
【点睛】本小题考查圆锥的内切球、几何体的体积、基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、考查数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模等核心素养，体现综合性、应用性和创新性.
12. 已知函数，若函数在区间上有最值，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由指数函数和一次函数的单调性，根据的取值范围，判断函数的单调性，或者，通过求导的方式，判断单调性，进而求出最值.
【详解】，，∴.
当时，在上恒成立，即函数在上单调递减，函数在区间上无最值；
当时，设，则，在上为减函数，又，若函数在区间上有最值，则函数有极值，即有解，∴，得.
故选：A.
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知函数，且的图像恒过定点P，且P在幂函数的图像上，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】通过与变量无关得到定点，设出解析式，求解变量即可.
【详解】当时，的值与无关，且，故，设
将代入，解得，故
故答案为：
14. 若，，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【详解】分析：解方程，求出，利用诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简得到关于的表达式，代入求值即可.
详解：由，，得到，由得，
又
即答案为.
点睛：本题考查诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简求值，属基础题.
15. 已知，，且ABCD是平行四边形，则点D坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】由，即可求
【详解】，又，设O为坐标原点，
∴，∴．
故答案为：
16. 在中，，的角平分线交BC于D，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出；
方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出．
【详解】
如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，
因为，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案为：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
故答案为：．
【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17. 已知，且是第二象限角.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
【分析】（1）由题意结合同角三角函数基本关系可得.则.
（2）化简三角函数式可得，结合(1)的结论可知三角函数式的值为.
【详解】（1）∵是第二象限角，∴，∴.
.
（2）∵，∴.
18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求的值；
（2）若，△ABC的面积为，求边长b的值.
【答案】（1）.（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，利用正弦定理化简等式即可得到结论；
（2）根据（1）得，利用三角形面积公式得，再利用余弦定理即可.
【详解】（1）在△ABC中，由正弦定理，
设，则，
带入，化简得，
因为，
所以；
（2）由（1）可知，，，
又，所以，解得.
在△ABC中，由余弦定理，
即，解得.
【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.
19. 如图，棱柱 的所有棱长都等于 2， ，平面 平面 ．
（1）证明： ；
（2）求二面角 的余弦值；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而可得；
（2）先证是正三角形，由平面 平面 的性质，取中点，证平面，建立空间直角坐标系，利用向量求二面角 的余弦值.
【小问1详解】
证明：由条件知四边形是菱形，所以 ，
而平面 平面，平面 平面，
所以平面，又平面，
因此.
【小问2详解】
因为，是菱形，所以，而，
所以是正三角形；
令，连结，则，，两两互相垂直，
如图所示，以为坐标原点，
分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则 ，，， ，
，平面 的法向量为，
设是平面的法向量，则
，
令 ，则，即
设二面角的平面角为 ，则是锐角，
并且，
因此二面角 的余弦值为
20. 如图，已知A，B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的正西方向1 km处，tan∠BAN＝，∠BCN＝，.现计划铺设一条电缆连通A，B两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元km、4万元km.
（1）求A，B两镇间的距离；
（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？
【答案】（1）5km（2）点P选在A镇的正西方向(4－) km处，总铺设费用最低
【解析】
【分析】
（1）过B作MN的垂线，垂足为D，在Rt△ABD和Rt△BCD中利用正切的定义表示AD，CD，借助AC＝AD－CD构建方程，求得BD，AD，进而由勾股定理，得答案；
（2）方案①总费用等于单价乘以长度；方案②：设∠BPD＝θ，在Rt△BDP中利用正弦函数和正切函数的定义用θ表示BP,AP长度，进而构建总铺设费用的函数，利用导数分析该函数的单调性，得此方案的最小值；最后比较方案①和方案②的费用，确定答案.
【详解】（1） 如图，过B作MN的垂线，垂足为D.
在Rt△ABD中，tan∠BAD＝tan∠BAN＝＝，
所以AD＝BD.
在Rt△BCD中，tan∠BCD＝tan∠BCN＝＝1，
所以CD＝BD.
则AC＝AD－CD＝BD－BD＝BD＝1，
所以BD＝3，则CD＝3，AD＝4.
由勾股定理得，AB＝＝5(km)．
所以A，B两镇间的距离为5km
（2） 方案①：沿线段AB在水下铺设时，总铺设费用5×4＝20(万元)
方案②：设∠BPD＝θ，则θ∈，其中θ0＝∠BAN.
在Rt△BDP中，DP＝，BP＝，
所以AP＝4－DP＝4－.
则总铺设费用为2AP＋4BP＝8－
设f(θ)＝，则f′(θ)＝，
令f′(θ)＝0，得即θ＝，列表如下：
θ
f′(θ) － 0 ＋
f(θ) 单调递减 极小值 单调递增
所以f(θ)的最小值为.
所以方案②的总铺设费用最低为 (万元)，此时AP＝4－.
而，所以应选择方案②进行铺设，点P选在A镇的正西方向(4－) km处，总铺设费用最低．
【点睛】本题考查三角函数的实际应用，应优先建模，将实际问题转化为熟悉的数学问题，进而构建对应的函数关系，还考查了利用导数求函数的最值，属于难题.
21. 已知函数
（1）求f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个零点的极值点为t，是否存在a使得？若存在，求出所有满足条件的a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）(0,)上单减，(, +∞)上单增；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）求出，由得增区间，由得减区间；
（2）由于存在两个零点，且有一个极值点，因此时，从而可得，接着由极值点与的大小分类讨论.
【详解】(1)，所以(0,)上单减，(, +∞)上单增；
(2)由题意知:时，且，，
①当时，,所以所以,该方程无解、
②当时，在(0, 1)上单减，上单增，只有唯一-零点,故不成立
③当时:,则有
令，所以单增，又，
所以，不符合题意
综上所述，不存在满足条件的.
【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性与极值，研究函数的零点．难点在于分类讨论，在研究函数存在两个零点问题时，要根据极值点与已知零点1的大小关系分类讨论，从而确定较大的零点是哪一个，是否满足.
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22. 在极坐标系中，极点，如图所示，已知以为直径作圆.
（1）求圆的极坐标方程 ；
（2）若为圆左上半圆弧的三等分点，求点的极坐标．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）设点为圆上任意一点，利用中三角函数可建立关系，即可得解；
（2）由三等分点确定极角，代入圆的极坐标方程求解即可.
【小问1详解】
设点为圆上任意一点，则，
在中，.
∴ 圆的极坐标方程为.
【小问2详解】
圆左上半圆弧的三等分点对应的极角分别，
代入圆的极坐标方程中，
∴ 圆左上半圆弧的三等分点分别为
[选修 4-5：不等式选讲]
23. 已知函数.
（1）若不等式恒成立,求的取值范围;
（2）当时,求不等式的解集.
【答案】（1）或
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用不等式的性质得，所以不等式恒成立,可以转化为，解绝对值不等式即可得到的取值范围；
（2）先把函数写成分段函数，再利用零点分段法，断开，分别解不等式组，即可得到不等式的解集.
【小问1详解】
由于，
所以，解得或．
【小问2详解】
，
原不等式等价于，或，或，