7.2正弦，余弦苏科版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.在中，，设、、所对的边分别为、、，则
( )
A. B. C. D.
2.如图，直角坐标平面内有一点，那么与轴正半轴的夹角的余切值为( )
A.
B.
C.
D.
3.在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为( )
A. B. C. D.
4.中，，，那么三边是
( )
A. B. C. D.
5.如果直线与轴正半轴的夹角为锐角，那么下列各式正确的是
( )
A. ； B. ； C. ； D. ．
6.在中，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，点在第一象限，与轴所夹的锐角为，，则的值是
( )
A. B. C. D.
8.在中，，，，则的值是( )
A. B. C. D.
9.如图，在一块直角三角板中，，则的值是
( )
A. B. C. D.
10.常听到的“正弦平方加余弦平方”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为假设有任意角( )
A. B. C. D.
11.如图，直线与以线段为直径的圆相切于点，并交的延长线于点，且，，点在切线上移动当的度数最大时，的度数为( )
A. B. C. D.
12.如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，点为坐标原点，点，分别在轴、轴上，点在第一象限内，直线分别与轴、轴、线段交于点、、，，下列结论：和的面积比为：；的最大长度为；；当平分时，，其中正确的结论有( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，已知第一象限内的点在反比例函数的图象上，第二象限的点在反比例函数的图象上，且，，则的值为______．
14.如图，在的正方形网格图中，已知点、、、、均在格点上，其中、、又在上，点是线段与的交点．则的正切值为_______．
15.如图，的直径，是上不与点、重合的任一点，点、为上的两点．若，则称为直径的“回旋角”．
若的长为，“回旋角”的度数_______；
若直径的“回旋角”为，且的周长为，的长__________．
16.如图，点、、为正方形网格纸中的个格点，则的值是_______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，是的直径，弦于，为延长线上一点，过点作的切线，切点为，连接交于点．
求证：；
若，试判断与的位置关系，并说明理由；
在的条件下，若，，求半径的长．
18.本小题分
如图，在正方形中，点在边上不与点，重合，连结，作于点，于点，设．
求证：．
连结，，设，求证：．
设线段与对角线交于点，和四边形的面积分别为和，求的最大值．
19.本小题分
如图，是的直径，弦于点，连接，．
求证：；
若，，求扇形阴影部分的面积．
20.本小题分
如图，在锐角三角形中，，以为直径作，分别交，于点，．
求证：．
若，，求线段的长用含的代数式表示．
21.本小题分
如图，为的直径，切于点，交延长线于点，过作于点，连接．
求证：平分；
若为中点，于，，求的长度；
连接，若，求与的数量关系．
22.本小题分
如图，已知在中，，，求的长和的值．
23.本小题分
如图，是的直径，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，连接，．
求证：；
连接，，若，，，求的长．
24.本小题分
如图，四边形中，，，，连接，以点为圆心，长为半径作，交于点．
试判断与的位置关系，并说明理由；
若，，求图中阴影部分的面积．
25.本小题分
在中，是钝角，交的延长线于点，，分别为、的中点，连接，，设与交于点．
求证：．
若，时，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了锐角三角函数的定义，根据锐角三角函数的定义求出对应三角函数值即可．根据三角函数的定义进行判断，就可以解决问题．
【解答】
解：中，，、、所对的边分别为、、，
，即，故A选项不成立，选项成立；
，即，故C选项不成立，选项不成立．
故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了点在平面直角坐标系里的意义以及锐角三角函数的定义．解决本题的关键是构造直角三角形．过点作轴于点由点的坐标得、的长，根据余切函数的定义得结论．
【解答】
解：过点作轴于点．
由于点，
，
．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：设小正方形的边长为，作的延长线于点．
在中，，，，
，
故选A．
的值可以转化为直角三角形的边的比的问题，因而过点作垂直于的延长线于点在中根据三角函数的定义求解．
本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．也考查了勾股定理．
4.【答案】
【解析】【分析】
此题考查解直角三角形的运用，主要利用勾股定理以及锐角三角函数等知识，注意结合图形，灵活选择适当的方法解决问题．
过点作，垂足为点，由，，设，得出，再由勾股定理得出，由三角形的面积得出，得出，得出三边的比即可．
【解答】
解：如图，
过点作，垂足为点，
，，设，
，
，
，
：：．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数定义，勾股定理有关知识，设点，过点作轴于点，则，，由勾股定理求出，即可求解
【解答】
解：由与轴正半轴的夹角为，
如图，设点是直线上的点，则设点，
过点作轴于点，则，
A.，错误
B.，错误
C.，正确
D.，错误
6.【答案】
【解析】解：由勾股定理得，，
则．
故选：．
根据勾股定理求出，根据余弦的定义计算得到答案．
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：如图：
点在第一象限，
，，
又，
．
故选：．
根据正切的定义即可求解．
本题考查锐角三角函数的定义及运用．
8.【答案】
【解析】解：，，，
，
，
故选：．
本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理．熟练掌握锐角三角函数余弦的定义是解题的关键．
先根据勾股定理求出，然后再利用余弦的定义解答即可．
9.【答案】
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解： ，
．
故选：．
【点睛】本题词考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：“正弦平方加余弦平方”的数学语言为：
故选：．
根据题意即可写出式子．
本题考查了同角三角函数关系，掌握同角三角函数关系的正确表达是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理以及解直角三角形的有关知识，解题的关键是由题意可知当和重合时，的度数最大为．
连接，，由题意可知当和重合时，的度数最大，利用圆周角定理和锐角三角函数定义即可求出的度数．
【解答】解：连接，，
直线与以线段为直径的圆相切于点，
，
当的度数最大时，
则和重合，
，
，，
，
，
当的度数最大时，的度数为．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题．
根据面积比等于相似比的平方，可判断；由，可得，，，四点共圆，所以最大值就是直径，，可判断、；当平分，根据≌可得，，由∽可求的长，进而求出的长，即可判断．
【解答】
解是正方形，
，，
直线分别与轴交于点，
，
，，
，
∽，
，故错误；
取的中点，连、，
，，
，
，，，四点共圆，
的最大值是直径，，
故、正确；
当平分时，，，
，且，
≌，
，
设，则，，
，
，，
∽，
，
，
或不合题意，舍去，且适合此方程，
∽，
，
，故正确．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数定义．作轴于，轴于，如图，利用反比例函数系数的几何意义得到，再根据正切的意义得到，接着证明∽，利用相似三角形的性质得，所以，然后根据反比例函数的性质确定的值．
【解答】
解：作轴于，轴于，如图，则，
在中，，
，，
，
∽，
，
，
，
而，
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：如图，连接，
，
是直径，
，
在中，
，
，
故答案为：．
根据“同弧所对的圆周角相等”可得，然后证明，最后证明即可求解，
本题主要考查圆周角定理，锐角三角形函数的定义，利用圆周角定理把所求角经过等量转换放在直角三角形中是解题关键．
15.【答案】
或
【解析】解：如图，连接、，
，
，
设，
的长为，
，
，
，
作交于，连接，
，
为直径的“回旋角”，
，
，
，
，
点，，三点共线，
，
，
，
，即：“回旋角”的度数为，
故答案为：；
当点在半径上时，如图，过点作交于，连接，
，
同的方法得，点，，在同一条直线上，
直径的“回旋角”为，
，
，
是等边三角形，
，
连接，，
，
过点作于，
，，
，
，
的周长为，
，
，
，
过作于，
，
在中，，
在中，，
，
；
当点在半径上时，
同的方法得，，
，
即：满足条件的的长为或．
先求出，进而判断出点，，在同一条直线上，求出，即可得出结论；
当点在半径上时，利用的方法求出，，利用三角函数求出，进而求出，再用勾股定理求出，即可求出即可得出结论；
当点在半径上时，同方法求出，即可得出结论．
此题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，三点共线，锐角三角函数，勾股定理，新定义，正确作出辅助线是解本题的关键．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，三角形面积，锐角三角函数的定义，作出边上的高是解题的关键．
作，先根据勾股定理和三角形面积公式求出的长，进而求出的长，由正切函数的定义即可求解．
【解答】
解：设正方形网格中小正方形的边长为，作交于，
则，
以为底边可得面积为，
，
，
，
，
．
故答案为．
17.【答案】证明：如图，连接，
为切线，
，
，
，
，
，
，
；
，理由为：
如图，连接，
，即，
，
∽，
，
，
，
；
如图，连接，
，
，
，
，则，，
设半径为，
在中，，，，
由勾股定理可得：，即，
解得，
半径的长为．
【解析】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形判定，熟练掌握定理以及性质是解决问题的关键．
连接，根据切线性质以及，可以推出，根据等角对等边得到；
，理由为：连接，根据和，可以推出∽，又利用同弧所对的圆周角相等得到，可以推知，从而得到；
连接，设半径为，求出，，根据勾股定理列方程可以求解圆的半径．
18.【答案】解：四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
≌，
，
由知，，
，
∽，
，
在中，，
在中，，
，
；
方法、如图，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
∽，
，
，
设的边上的高为，的边上的高为，
∽
，
，
，
时，的最大值为
方法、如图，
设正方形的边长为，
连接交于，过作交于，于，
设，，
，
，
，，
，
，
时，的最大值为．
【解析】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，比例的性质，判断出是解本题的关键．
利用同角的余角相等判断出，进而得出≌，即可得出结论；
先判断出∽，进而得出，再根据锐角三角函数即可得出结论；
方法、先判断出，再判断出，即可得出结论．
方法、先表示出，，即可得出结论．
19.【答案】证明：是的直径，弦，
，
；
解：，，
为等边三角形，
，
，
是的直径，弦，
，
在中，，
扇形阴影部分的面积
【解析】根据垂径定理得到，根据圆周角定理证明结论；
根据等边三角形的判定定理得到为等边三角形，求出，根据正弦的定义求出，利用扇形面积公式计算即可．
本题考查的是扇形面积计算、垂径定理、圆周角定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．
20.【答案】证明：连接，如图所示，
为直径，
，
，
，
平分，
，
．
解：连接，如图所示，
，
，
，
为直径，
，
在中，
，
．
【解析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握这些知识是解题的关键．
连结，如图，根据圆周角定理，由为的直径得到，然后利用等腰三角形的性质即可得到，进而利用等腰三角形的性质得出，进而证明即可；
连接，如图，先根据等腰三角形的性质得出，再利用圆周角定理得出，然后利用锐角三角函数定义可计算出的长，从而得到的长．
21.【答案】解：证明：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
即平分；
为的中点
，
，
在中，，
，
在中，；
与的数量关系为
理由如下：是的切线，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，，
，
，
．
【解析】连接，根是的切线，得，由得出，通过等量代换得出平分；
由为的中点得出，在中根据三角函数得出；
由是的切线，得到，由为的直径，推出，然后证明∽，推出，所以，，推出．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了解直径三角形．
22.【答案】解：，，，
，
．
答：的长为，的值为
【解析】根据勾股定理求的长，根据正弦的定义求的值．
本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
23.【答案】解：连接，，设交于点，
，
，是的切线，
，
在和中，，
，
，
，，
，
，
；
如图，连接，，
，
，，
，，
，
，
是等边三角形，
由知，，
在中，．
【解析】此题主要考查了等腰三角形的性质，切线的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，正确作出辅助线是解本题的关键．
先判断出≌，得出，即可得出结论；
先求出，得出是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论．
24.【答案】解：过点作，垂足为，
，
，
，
，
．
在和中，
，
≌，
，则点在圆上，
与相切；
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积
．
【解析】过点作，证明≌，得到，即可证明与圆相切；
先证明是等边三角形，根据三线合一得到，求出，再利用求出阴影部分面积．
本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确作出辅助线．
25.【答案】解：证明：，分别为、的中点，
，．
，
，
四边形是平行四边形，
，
．
又是的中点，
．
，
设，，
，
，
解得，
，．
四边形是平行四边形，
，即，
，
．
【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，正切函数的定义，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握和运用各性质是解决本题的关键．
首先根据，分别为、的中点，可证得，再根据，可证得，即可证得四边形是平行四边形的，据此即可证得结论
首先根据直角三角形斜边上的中线的性质，可求得，再由，可求得，，再根据，即可求得的长，最后根据勾股定理即可求得的长．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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