2023-2024人教版九年级下册数学期末综合素质评价题（含答案）

人教版九年级下册期末综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．【2023·永州】已知点M(2，a)在反比例函数y＝的图象上，其中a，k为常数，且k>0，则点M一定在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是(　　)
A．仅主视图不同
B．仅俯视图不同
C．仅左视图不同
D．主视图、左视图和俯视图都相同
3．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为(　　)
A．1：3 B．1：4 C．1：8 D．1：9
(第3题) (第4题)
4．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：DF＝2：3，BE＝15，那么BC的长为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
5．【教材P8练习T2变式】若点A(－5，y1)，B(1，y2)，C(5，y3)都在反比例函数y＝－的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)
A．y1<y2<y3 B．y2<y3<y1
C．y1<y3<y2 D．y3<y1<y2
6．如图，正比例函数y1＝k1x(k1<0)的图象与反比例函数y2＝(k2y2时，x的取值范围是(　　)
A．x2 B．－2<x2
C．x<－2或0<x<2 D．－2<x<0或0<x<2
(第6题)　(第7题)　(第8题)
7．如图，△ABC中，AC＝4，BC＝5，点D，E分别在AB，AC上，AD＝2，∠AED＝∠B，则DE＝(　　)
A. B. C．3 D．2
8．【教材P19活动2变式】一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四名同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F甲，F乙，F丙，F丁，将相同质量的水桶吊起同样的高度，若F乙<F丙<F甲<F丁，则这四名同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是(　　)
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
9．某三棱柱的三视图如图所示，已知俯视图中tan B＝，BC＝7，下列结论不正确的是(　　)
A．m＝3 B．n＝2 C．tan C＝ D．S△ABC＝7
(第9题)　　　(第10题)
10．【学科素养·推理能力】由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形．∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°.若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为(　　)
A. B. C. D.
二、填空题(每题3分，共24分)
11．若＝，则＝________．
12．【教材P41练习T1改编】在某一时刻的太阳光下，测得一根长为1.5 m的标杆的影长为3 m，同时测得一根旗杆的影长为16 m，那么这根旗杆的高度为________m.
13．已知在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，＋＝0，则∠C的度数是________．
14．如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，＝，则AE的长为________．
(第14题)　(第15题)　(第16题)
15．如图是一个几何体的三视图．则几何体的表面积S＝________.
16．【教材P77练习T1变式】如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12 n mile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A到航线BC的距离是n mile(≈1.73，结果用四舍五入法精确到0.1 n mile)．
17．如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线
l分别与反比例函数y＝和y＝的图象交于P，Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为________．
18．如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于点H.下列结论中：①AC＝CD；②AD2＝BC·AF；③若AD＝3，DH＝5，则BD＝3；④AH2＝DH·AC.正确的是________(填序号)．
三、解答题(19题6分，20，21题每题8分，22，23题每题10分，24，25题每题12分，共66分)
19．【2023·济宁】计算：－2cos 30°＋＋2－1.
20．如图，路灯灯泡在线段DM上，在路灯下，王华的身高用线段AB表示，她在地上的影子用线段AC表示，小亮的身高用线段EF表示．
(1)请你确定灯泡的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子；
(2)如果王华的身高AB＝1.6 m，她的影长AC＝1.2 m，且她到路灯的距离AD＝2.1 m，求路灯的高度．
21．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sin B＝，tan A＝，AC＝3.
(1)求∠B的度数与AB的长；
(2)求tan∠CDB的值．
22．【2023·随州】如图，某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度AB，在建筑物附近有一斜坡，坡长CD＝10米，坡角α＝30°，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°.(已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上)
(1)求点D到地面BC的距离；
(2)求该建筑物的高度AB.
23．如图，正比例函数y＝－x的图象与反比例函数y＝(k≠0)的图象都经过点A(a，2)．
(1)求点A的坐标和反比例函数解析式；
(2)若点B在x轴上，且S△AOB＝1，求点B的坐标；
(3)若点P(m，n)在该反比例函数图象上，且它到y轴距离大于3，请根据图象直接写出n的取值范围．
24．【2022·广安】如图，AB为⊙O的直径，D，E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC＝∠BAD.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若tan∠BED＝，AC＝9，求⊙O的半径．
25．一次数学综合实践活动中，聪明的小倩同学发现关于三角形角平分线的一个结论．如图①，已知AD是三角形ABC的角平分线，可以得到＝.小倩同学的证明思路是这样的：如图②，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过三角形的相似可以证明＝.
(1)请根据小倩同学的思路，写出证明该结论的过程；
(2)利用以上结论进行计算：若在图①中，AB＝3，AC＝6，BC＝8，则BD＝________；
(3)如图③，已知在△ABD中，∠B＝45°，∠ACB＋∠D＝90°，BC＝2，CD＝4，求AD的长．
答案
一、1.A　2.D　3.D　4.B　5.B　6.C　7.A　8.B
9．C　点拨：如图，过点A作AD⊥BC于点D.由题意可知，BD＝4，CD＝m，AD＝n.
∵BC＝7，BC＝BD＋CD＝4＋m，
∴m＝3，故选项A结论正确，不符合题意；
∵tan B＝＝，BD＝4，
∴AD＝2，即n＝2，故选项B结论正确，不符合题意；
∵CD＝BC－BD＝7－4＝3.
∴在Rt△ADC中，tan C＝＝，
因此选项C结论不正确，符合题意；
S△ABC＝7×2÷2＝7，因此选项D结论正确，不符合题意．
故选C.
10．C
二、11.　12.8
13．60°　点拨：∵＋＝0，
∴sin A＝，cos B＝.∵∠A，∠B都是锐角，
∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝60°.
14．1
15．96π cm2　点拨：由题图可知，圆锥高为8 cm，底面直径为12 cm，易求得母线长为10 cm.
∴S＝π r2＋π rl＝36π＋60π＝96π(cm2)．
16．10.4
17．－22　点拨：∵直线l∥y轴，∴∠OMP＝∠OMQ＝90°，
∴S△OMP＝×8＝4，S△OMQ＝－k.
又S△POQ＝15，∴4－k＝15，∴k＝－22.
18．②③　点思路：①根据等腰直角三角形的性质可知∠B＝∠ACB＝45°，若AC＝CD，则∠ADC＝∠CAD＝67.5°，这个根据由已知得不出来，所以①错误；②证明△AEF∽△ABD，列比例式可作判断；④证明△ADH∽△BAH，列比例式可作判断；③先计算AH的长，再由④中得到的比例式计算可作判断．
三、19.解：原式＝2－2×＋2－＋＝2－＋2－＋＝.
20．解：(1)如图，G为灯泡所在的位置，QE为小亮在灯光下形成的影子．
(2)∵AB∥GD，∴△BAC∽△GDC.
∴＝，即＝，
解得GD＝4.4 m.
答：路灯的高度为4.4 m.
21．解：(1)过点C作CE⊥AB于点E.设CE＝x.
在Rt△ACE中，∵tan A＝＝，∴AE＝2x.
∴AC＝＝x＝3，解得x＝3.
∴CE＝3，AE＝6.
在Rt△BCE中，∵sin B＝，∠B是锐角，
∴∠B＝45°.∴△BCE为等腰直角三角形．
∴BE＝CE＝3.∴AB＝AE＋BE＝9.
(2)∵CD是边AB上的中线，∴BD＝AB＝4.5.
∴DE＝1.5.∴tan∠CDB＝＝＝2.
22．解：(1)如图，过点D作DE⊥BC于点E，
由题意可得∠DCE＝30°，CD＝10米，
∴在Rt△CDE中，DE＝CD＝×10＝5(米)，
即点D到地面BC的距离为5米．
(2)如图．∵∠DCE＝30°，∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝90°.
∵MN∥BE，
∴∠MDC＝∠DCE＝30°，
∴∠ADC＝60°，
∴在Rt△ACD中，
tan∠ADC＝＝，即＝，解得AC＝10米．
在Rt△ABC中，sin∠ACB＝＝，
即＝，
解得AB＝15米．
23．解：(1)把A(a，2)的坐标代入y＝－x，即2＝－a，
解得a＝－3，∴A(－3，2)．
∵点A(－3，2)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，
∴k＝－3×2＝－6，
∴反比例函数的解析式为y＝－.
(2)设点B的坐标为(b，0)，
∵S△AOB＝1，∴×2×|b|＝1，
解得b＝±1，即点B的坐标为(1，0)或(－1，0)．
(3)n的取值范围为0<n<2或－2<n<0.
24．(1)证明：如图，连接OD.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∴∠A＋∠ABD＝90°.
∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠ODB.
∵∠BDC＝∠A，∴∠BDC＋∠ODB＝90°.
∴∠ODC＝90°.∴OD⊥CD.
∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
(2)解：∵∠BED＝∠BAD，tan∠BED＝，
∴tan∠BAD＝.∴＝.
∵∠DCB＝∠ACD，∠BDC＝∠BAD，
∴△BDC∽△DAC.∴＝＝＝.
∵AC＝9，∴＝，解得CD＝6.
∴＝，解得BC＝4.
∴AB＝AC－BC＝9－4＝5.∴⊙O的半径为.
25．(1)证明：由题意知，∠BAD＝∠CAD，
∵CE∥AB，∴∠CED＝∠BAD，∴∠CED＝∠CAD，
∴CE＝AC.
∵∠BAD＝∠CED，∠ADB＝∠EDC，∴△ABD∽△ECD，
∴＝，∴＝.
(2)
(3)解：如图，将△ABC沿AB折叠得到△ABC′，
由题意知，BD＝BC＋CD＝6，
由折叠的性质可得，∠ABC′＝∠ABC＝45°＝∠DBC′，BC′＝BC＝2，∠AC′B＝∠ACB，
∴BA是∠DBC′的平分线．
∵∠ACB＋∠D＝90°，∴∠AC′B＋∠D＝90°.
∵∠C′BD＝90°，∴∠C′BD＋∠AC′B＋∠D＝180°，
∴C′，A，D三点共线，△C′BD是直角三角形，
由勾股定理得C′D＝＝2，
由(1)可得＝＝，即＝，
解得AD＝，∴AD的长为.