浙教版2023-2024学年数学七年级上册第6章图形的初步知识（解析版）
6.8 余角和补角
【知识重点】
1.互余的定义：如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角.
2.互补的定义：如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角.
3. (1)余角的性质：同角或等角的余角相等.
(2)补角的性质：同角或等角的补角相等.
4.注意：互余或互补都是指两个角的关系.
【经典例题】
【例1】已知∠α＝25°30'，则它的补角为（ ）
A．25°30′ B．64° 30' C．164° 30' D．154°30′
【答案】D
【解析】∵∠α＝25°30'，
∴它的补角为，
故答案为：D.
【例2】有下列说法：
①若∠A+∠B+∠C=180°，则∠A，∠B，∠C互补；②若∠1是∠2的余角，则∠2是∠1的余角；
③一个锐角的补角一定比它的余角大90°；④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】①补角指的是两个角之间的关系，错误．
②若∠1是∠2的余角，则∠2是∠1的余角，正确．
③同一个锐角的补角一定比它的余角大90°，180°-α-(90°-a)=90°，正确．
④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角，可以都是直角，错误．
故答案为：B.
【例3】若一个角的补角比这个角的余角3倍还多，则这个角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设这个角的度数为x，根据题意得
180°-x=3（90°-x）+10°，
解之：x=50°.
∴这个角的度数为50°.
故答案为：B
【例4】已知∠的余角是35°45′20″，则∠的度数是 ° ′ ″ .
【答案】54；14；40
【解析】当两角的和为90°时则两角互余，角度之间的等量关系为：1°=60′，1′=60″．
根据题意可得：∠的度数为：90°-35°45′20″=54°14′40″．
故答案为：
【例5】（1）若一个锐角为α，则它的余角为 ，补角为 ，它的补角与余角的差为
（2）若一个角的余角是54°38'，则这个角的补角是
【答案】（1）90°-α；180°-α；90°
（2）144°38'
【解析】（1）若一个锐角为α，则它的余角为90°-α，补角为180°-α，
（180°-α）-（90°-α）=90°，
∴它的补角与余角的差为90°，
故答案为：90°-α；180°-α；90°；
（2）∵一个角的余角是54°38'，
∴这个角的补角=90°+54°38'=144°38'.
故答案为：144°38'.
【例6】如图，直线与直线相交于点，射线表示正北方向，射线表示正东方向．已知射线的方向是南偏东，射线的方向是北偏东，且的角与的角互余．
（1）①若，则射线的方向是 ；
②图中与互余的角有 ，与互补的角有 ．
（2）若射线是的平分线，则 用含的代数式表示
【答案】（1）北偏东；和；
（2）
【解析】（1）解： 根据题意可得，
，
，
射线的方向是北偏东．
，，，
，
图中与互余的角有和，与互补的角有．
（2）解：，平分，
，
．
【基础训练】
1．下列图形中，∠1和∠2互为余角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A、∠1+∠2≠90°，则∠1和∠2不互余，故A不符合题意；
B、∠1+∠2=180°≠90°，则∠1和∠2不互余，故B不符合题意；
C、∠1+∠2≠90°，则∠1和∠2不互余，故C不符合题意；
D、∠1+∠2=90°，则∠1和∠2互为余角，故D符合题意.
故答案为：D.
2．关于补角有下列四个叙述：①锐角的补角是钝角；②只有锐角才有补角；③互为补角的两个角不可能相等；④同角或等角的补角一定相等．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】①锐角的补角一定是钝角，故①正确；
②∵90°的补角是90°，∴只有锐角才有补角是错误的，故②错误；
③∵90°的补角是90°，∴互为补角的两个角可能相等； 故③错误；
④同角或等角的补角一定相等，故④正确.
∴正确的有2个，
故答案为：A.
3．已知一个角的余角等于40°，则这个角的补角等于（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
【答案】A
【解析】设这个角的度数为x，则x+40°=90°，
∴x=50°，
∴这个角的补角为180°-50°=130°.
故答案为：A.
4．如图，下列结论中正确的有（ ）
①射线OB的方向是北偏西50°；②射线OC的方向是东南方向；
③射线OA的方向是北偏东15°；④∠AOC和∠AOB互为补角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】①射线OB的方向是北偏西40°，故①不正确；
②射线OC的方向是东南方向，故②正确；
③射线OA的方向是北偏东25°，故③不正确；
④∠AOC+∠AOB=175°≠180°，故④不正确.
故正确的有1个.
故答案为：A.
5．一个角比它的余角大，则这个角的补角度数是 .
【答案】125°
【解析】设这个角的度数是，则其余角为，
∴，
解得：，
∴这个角的补角度数是，
故答案为：125°
6．一个角比它的补角少，则这个角的余角为 .
【答案】20
【解析】设这个角为，
∵这个角比它的补角少，
∴，
解得，即，
∴这个角的余角为，
故答案为20.
7．若α与β互补，α：β=4：5，则α= 度，β= 度．
【答案】80；100
【解析】因为α+β=180°，α：β=4：5，
所以设：α=4x°，β=5x°，
因为α+β=180°
所以4x+5x=180，
解得：x=20，
故α=80°，β=100°．
故答案为：80，100.
8．一个角的补角比它的余角的4倍少15°，则这个角的度数大小是 .
【答案】55°
【解析】设这个角为x度，
则：180-x=4（90-x）-15
∴x=55
故答案为：55°.
9．下列说法正确的有 ．（请将符合题意说法的序号填在横线上）
⑴锐角的补角一定是钝角；
⑵一个角的补角一定大于这个角；
⑶若两个角是同一个角的补角，则它们相等；
⑷锐角和钝角互补．
【答案】（1）（3）
【解析】（1）锐角的补角一定是钝角，故（1）符合题意；
（2）一个角的补角不一定大于这个角；
∵90°角的补角的度数是90°，
∴说一个角的补角一定大于这个角不符合题意，故（2）不符合题意；
（3）若两个角是同一个角的补角，则它们相等；故（3）符合题意；
（4）锐角和钝角不一定互补，
∵如∠A=10°，∠B=100°，当两角不互补，
∴说锐角和钝角互补不符合题意，故（3）不符合题意；
故答案为：（1）（3）．
10．
（1）∠α的余角是 ，∠β的补角是
（2）已知∠α是∠β的2倍，∠α的余角的3倍等于∠β的补角，求∠α和∠β的度数．
【答案】（1）90°-∠α；180°-∠β
（2）解：设∠β=x，则∠α=2x，
根据题意，得3(90°-2x)=180°-x，
解得x=18°，即∠β=18°，∠α= 36°．
【解析】（1）∠α的余角是90°-∠α，∠β的补角是180°-∠β；
故答案为：90°-∠α；180°-∠β；
11．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O．
（1）若∠BOC=2∠AOC，求∠BOD的度数．
（2）若∠1=∠2，则ON与CD垂直吗？如果垂直，请说明理由．
【答案】（1）解：∵∠BOC=2∠AOC，∠BOC+∠AOC=180°，
∴2∠AOC+∠AOC=180°，
∴3∠AOC=180° ，
∴∠AOC=60°，
∴∠BOD=∠AOC=60°．
（2）解：垂直．理由如下：
∵OM⊥AB，
∴∠AOC+∠1=90°．
∵∠1=∠2，
∴∠AOC+∠2=90°，
∴ON⊥CD．
12．如图，已知是直线上的一点，，平分．
（1）若，则 ；
（2）若，求的度数（用含的代数式表示）．
【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
【培优训练】
13．已知∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，下列结论：①∠3<∠1+∠2；②∠3-∠2= 90°；③∠3+∠2= 270°-2∠1；④∠3-∠1=2∠2．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】根据题意可得：∠1+∠2=90°，∠1+∠3=180°，
则∠3=180°-∠1=（2∠1+2∠2）-∠1=∠1+2∠2＞∠1+∠2，
即∠3＞∠1+∠2，①错误；
则∠3-∠2=∠1+2∠2-∠2=∠1+∠2=90°，
即∠3-∠2=90°，②正确；
则∠3+∠2=180°-∠1+90°-∠2=270°-2∠1，
即∠3+∠2=270°-2∠1，③正确；
∠3-∠1=180°-∠1-∠1=180°-2∠1=180°-（180°-2∠2）=2∠2
即∠3-∠1=2∠2，④正确．
故正确的有3个，
故答案为：C．
14．在同一平面内，点在直线上，与互补，，分别为，的平分线，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ 与 互补，
∴ ，
∵ ， 分别为 ， 的平分线，
①当点B、O、C三点共线时，
则 ；
∵ ，
∴点B、O、C三点共线时，不符合题意；
②当点B、O、C三点不共线时， ，如下图：
则 ，
∵ ，
∴ ；
③当点B、O、C三点不共线时， ，如下如：
则 ，
∵ ，
∴ ；
综上可得： .
故答案为：D.
15．如图，按照上北下南，左西右东的规定画出方向十字线，∠AOE＝m°，∠EOF＝90°，OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，下面说法：
①点E位于点O的北偏西m°；②图中互余的角有4对；③若∠BOF＝4∠AOE，则∠DON＝54°；④若 ，则n的倒数是 ，其中正确有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【解析】∵∠AOE＝m°，
∴∠EOD=90° m°，
∴点E位于点O的北偏西90° m°，故①错误；
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOD+∠DOF＝90°，∠AOE+∠BOF=90°，
∵∠AOD=∠BOD=90°，
∴∠AOE+∠EOD=90°，∠DOF+∠FOB=90°，
∠AOM+∠MOD=90°，∠BON+∠DON=90°，
∵OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，
∴∠AOM=∠EOM，∠BON=∠FON，
∴∠EOM+∠MOD=90°，∠FON+∠DON=90°，
∴图中互余的角共有8对，故②错误；
∵∠BOF＝4∠AOE，∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠BOF=72°，
∴∠BON=36°，
∴∠DON=90° 36°=54°；故③正确；
∵∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠MOE+∠NOF= ，
∴ ，
∴ ，
∴n的倒数是 ，故④正确；
∴正确的选项有③④，共2个；
故答案为：B.
16．一个角的余角比它的补角的多12°，则这个角为 .
【答案】27°
【解析】设这个角为x°，则它的余角为90°－x，补角为180°－x，
由题可得：90－x＝（180－x）＋12
90－x＝60－x＋12
90－60－12＝x－x
18＝x
x＝27
即这个角为27°.
故答案为：27°.
17．已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小30°，则∠α＝ ，∠β＝ ．
【答案】80°；100°
【解析】∵∠α和∠β互为补角，
∴α=180°-β，
根据题意得，180°-β-β=30°，
解得β=100°，
α=180°-β=80°，
故答案为：80°，100°．
18．已知点、、在同一条直线上，．
（1）如图1，若，，则 ．
（2）如图2，若，，平分，求．
（3）如图3，若与互余，也与互余，请在图3中画出符合条件的射线加以计算后，写出的度数（用含的式子表示）．
【答案】（1）20°
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（3）解：①当在的上方时，如图，
∴与互余，也与互余，
∴，
∴，
②当在的下方时，如图，
∵与互余，也与互余，
∴，
∴，
综上所述，的度数为：或．
【解析】（1）解：∵，，
∴
，
故答案为：20°；
19．如图，两条直线相交于点O，且，射线（与射线重合）绕点O逆时针方向旋转，速度为每秒，射线（与射线重合）绕点O顺时针方向旋转，速度为每秒，两射线，同时运动，运动时间为t秒（本题出现的角均指不大于平角的角）.
（1）图中一定有 个直角；当，的度数为 ；当，的度数为 ；
（2）当时，若，试求出t的值；
（3）当时，探究的值，在t满足怎样的条件时是定值，在t满足怎样的条件时不是定值？
【答案】（1）4；；
（2）解：当与重合时，，
当与重合时，，
∴当时，，
由，得，解得；
当时，，
由，得，解得，
综上，当时，t的值为2或；
（3）解：当时，，
∴，解得，
当时，，
，
∴=；
当时，，
，
∴=，
综上，当时，的值是定值5；当时，的值不是定值.
【解析】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴图中共有4直角；
由题意得：，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
故答案为：4，，；
20．已知：∠AOD＝150°，OB，OE，OF是∠AOD内的射线.
（1）如图1，若OE平分∠AOB，OF平分∠BOD，当∠AOB＝60°时，∠EOF＝ ；当射线OB绕占O在∠AOD内部旋转时，∠EOF＝ .
（2）如图2，若∠BOC＝30°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时，小明认为∠AOE与∠DOF互余.
小明的理由如下：
∵ OE平分∠AOC，
∵ OF平分∠BOD，
∴ ∠DOF＝
（请补充完整理由）
（3）如图3，当射线OB在∠AOD外，若∠BOC＝30°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
①当∠AOB小于30°时，猜想∠AOE与∠DOF的关系，并说明理由.
②当∠AOB大干30°而小于180°时，∠EOF＝▲ .
【答案】（1）75°；75°
（2）解：∵ OE平分∠AOC， ， ∵ OF平分∠BOD， ∴ ∠DOF＝ ∠BOD， = (∠AOB+∠BOC+∠BOD) = (∠AOD+∠BOC) = (150°+30°) =90°， ∴∠AOE与∠DOF互余；
（3）解：①∠AOE与∠DOF互余，理由如下，
如图3，当∠AOB小于30°时，
∵ OE平分∠AOC，
，
∵ OF平分∠BOD，
∴ ∠DOF＝ ∠BOD，
= (∠BOC-∠AOB+∠AOD-∠AOB)
= (∠BOC+∠AOD)
= (30°+150°)
=90°，
∴∠AOE与∠DOF互余；
②120°
【解析】（1）空1：∵OE平分∠AOB，∠AOB＝60°，
∴∠BOE = ∠AOB=30°，
∵∠AOD＝150°，∴∠BOD=150°-60°=90°，
∵OF平分∠BOD，∴∠BOF= ∠BOD=45°，∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=75°；
空2：∵OE平分∠AOB，∴∠BOE = ∠AOB，
∵OF平分∠BOD，∴∠BOF= ∠BOD，
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF= (∠AOB+∠BOD)= ∠AOD=75°；
故答案为：75°；75°；
（3）②如图4，∠AOB大于30°时，
∵ OE平分∠AOC， ，
∵ OF平分∠BOD， ∴ ∠BOF＝ ∠BOD，
=
===120°.
故答案为：120°.
【直击中考】
21．若 ，则 的余角为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．140°
【答案】C
【解析】 解： ，
的余角为 .
故答案为：C.
22．如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使 和 互余的摆放方式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】A、∠α与∠β互余，故本选项符合题意；
B、∠α+∠β＞90°，即不互余，故本选项不符合题意；
C、∠α+∠β=270°，即不互余，故本选项不符合题意；
D、∠α+∠β=180°，即互补，故本选项不符合题意；
故答案为：A.
23．如果一个角的度数比它的补角的度数2倍多30°，那么这个角的度数是（ ）
A．50° B．70° C．130° D．160°
【答案】C
【解析】设这个角是 ，则它的补角是： ，
根据题意，得：
，
解得： ，
即这个角的度数为 ．
故答案为：C．
24．如图，点O在直线 上， ，则 的度数是 ．
【答案】
【解析】由图可知：∠AOC和∠BOC互补，
∵ ，
∴∠BOC=180°- = ，
故答案为： .
()
浙教版2023-2024学年数学七年级上册第6章图形的初步知识
6.8 余角和补角
【知识重点】
1.互余的定义：如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角.
2.互补的定义：如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角.
3. (1)余角的性质：同角或等角的余角相等.
(2)补角的性质：同角或等角的补角相等.
4.注意：互余或互补都是指两个角的关系.
【经典例题】
【例1】已知∠α＝25°30'，则它的补角为（ ）
A．25°30′ B．64° 30' C．164° 30' D．154°30′
【例2】有下列说法：
①若∠A+∠B+∠C=180°，则∠A，∠B，∠C互补；
②若∠1是∠2的余角，则∠2是∠1的余角；
③一个锐角的补角一定比它的余角大90°；
④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例3】若一个角的补角比这个角的余角3倍还多，则这个角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【例4】已知∠的余角是35°45′20″，则∠的度数是 ° ′ ″ .
【例5】（1）若一个锐角为α，则它的余角为 ，补角为 ，它的补角与余角的差为
（2）若一个角的余角是54°38'，则这个角的补角是
【例6】如图，直线与直线相交于点，射线表示正北方向，射线表示正东方向．已知射线的方向是南偏东，射线的方向是北偏东，且的角与的角互余．
（1）①若，则射线的方向是 ；
②图中与互余的角有 ，与互补的角有 ．
（2）若射线是的平分线，则 用含的代数式表示
【基础训练】
1．下列图形中，∠1和∠2互为余角的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于补角有下列四个叙述：①锐角的补角是钝角；②只有锐角才有补角；③互为补角的两个角不可能相等；④同角或等角的补角一定相等．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知一个角的余角等于40°，则这个角的补角等于（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
4．如图，下列结论中正确的有（ ）
①射线OB的方向是北偏西50°；②射线OC的方向是东南方向；③射线OA的方向是北偏东15°；
④∠AOC和∠AOB互为补角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．一个角比它的余角大，则这个角的补角度数是 .
6．一个角比它的补角少，则这个角的余角为 .
7．若α与β互补，α：β=4：5，则α= 度，β= 度．
8．一个角的补角比它的余角的4倍少15°，则这个角的度数大小是 .
9．下列说法正确的有 ．（请将符合题意说法的序号填在横线上）
⑴锐角的补角一定是钝角；
⑵一个角的补角一定大于这个角；
⑶若两个角是同一个角的补角，则它们相等；
⑷锐角和钝角互补．
10．（1）∠α的余角是 ，∠β的补角是
（2）已知∠α是∠β的2倍，∠α的余角的3倍等于∠β的补角，求∠α和∠β的度数．
11．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O．
（1）若∠BOC=2∠AOC，求∠BOD的度数．
（2）若∠1=∠2，则ON与CD垂直吗？如果垂直，请说明理由．
12．如图，已知是直线上的一点，，平分．
（1）若，则 ；
（2）若，求的度数（用含的代数式表示）．
【培优训练】
13．已知∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，下列结论：①∠3<∠1+∠2；②∠3-∠2= 90°；③∠3+∠2= 270°-2∠1；④∠3-∠1=2∠2．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．在同一平面内，点在直线上，与互补，，分别为，的平分线，若，则（ ）
A． B． C． D．
15．如图，按照上北下南，左西右东的规定画出方向十字线，∠AOE＝m°，∠EOF＝90°，OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，下面说法：
①点E位于点O的北偏西m°；②图中互余的角有4对；③若∠BOF＝4∠AOE，则∠DON＝54°；④若 ，则n的倒数是 ，其中正确有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
16．一个角的余角比它的补角的多12°，则这个角为 .
17．已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小30°，则∠α＝ ，∠β＝ ．
18．已知点、、在同一条直线上，．
（1）如图1，若，，则 ．
（2）如图2，若，，平分，求．
（3）如图3，若与互余，也与互余，请在图3中画出符合条件的射线加以计算后，写出的度数（用含的式子表示）．
19．如图，两条直线相交于点O，且，射线（与射线重合）绕点O逆时针方向旋转，速度为每秒，射线（与射线重合）绕点O顺时针方向旋转，速度为每秒，两射线，同时运动，运动时间为t秒（本题出现的角均指不大于平角的角）.
（1）图中一定有 个直角；当，的度数为 ；当，的度数为 ；
（2）当时，若，试求出t的值；
（3）当时，探究的值，在t满足怎样的条件时是定值，在t满足怎样的条件时不是定值？
20．已知：∠AOD＝150°，OB，OE，OF是∠AOD内的射线.
（1）如图1，若OE平分∠AOB，OF平分∠BOD，当∠AOB＝60°时，∠EOF＝ ；当射线OB绕占O在∠AOD内部旋转时，∠EOF＝ .
（2）如图2，若∠BOC＝30°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时，小明认为∠AOE与∠DOF互余.
小明的理由如下：
∵ OE平分∠AOC，
∵ OF平分∠BOD，
∴ ∠DOF＝
（请补充完整理由）
（3）如图3，当射线OB在∠AOD外，若∠BOC＝30°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
①当∠AOB小于30°时，猜想∠AOE与∠DOF的关系，并说明理由.
②当∠AOB大干30°而小于180°时，∠EOF＝▲ .
【直击中考】
21．若 ，则 的余角为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．140°
22．如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使 和 互余的摆放方式是（ ）
A． B．
C． D．
23．如果一个角的度数比它的补角的度数2倍多30°，那么这个角的度数是（ ）
A．50° B．70° C．130° D．160°
24．如图，点O在直线 上， ，则 的度数是 ．
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