【期末复习培优冲刺】数轴及数轴上的动点问题
【题型一 用数轴上的点表示有理数】
例题：（2023上·福建漳州·七年级校联考期中）把下列七个数：，2，0，，，，.
(1)分别在数轴上表示出来；
(2)用“<”把这七个数连起来．
【变式训练】
1．（2023上·湖南株洲·七年级统考期中）在数轴上表示下列各数，并用“”把这些数连接起来．
，，0，，．
2．（2023上·山东临沂·七年级统考期中）在数轴上表示下列各数，并把下列各数用“”号连接起来：
【题型二 数轴上两点之间的距离】
例题：（2023上·四川成都·七年级统考期末）如果点是数轴上表示的点，将点在数轴上向右移动个单位长度到点，则点表示的数为 ．
【变式训练】
1．（2021上·甘肃庆阳·七年级统考期中）在数轴上到表示的点距离为5的点所表示的有理数是 ．
2．（2023上·陕西宝鸡·七年级统考期末）点为数轴上表示的点，若将点沿数轴一次平移一个单位，平移两次后到达点，则点表示的数是 ．
【题型三 根据点在数轴的位置判断式子的正负】
例题：（2023下·黑龙江哈尔滨·六年级统考期末）如图，有理数、在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023下·江苏常州·九年级校考期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·重庆綦江·七年级统考期末）若有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
【题型四 数轴上的动点问题中求运动时间】
例题：（2023上·河南鹤壁·七年级统考期末）数轴上有A，B两点，点B在点A的右边，若点A表示的数为，线段．
(1)点B表示的数为__________；
(2)点P从A点出发，以每秒1个单位长度速度向右运动，点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．若点P，Q同时出发，当P，Q两点重合时对应的数是多少？
(3)在（2）的条件下，P，Q两点运动多长时间相距6个单位长度？
【变式训练】
1．（2023上·河南郑州·七年级统考期末）已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数，，，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒．
(1)当时，点到点的距离 ______ ；此时点所表示的数为______ ；
(2)当点运动到点时，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点到达点后也停止运动，则点出发秒时与点之间的距离 ______ ；
(3)在（2）的条件下，当点到达点之前，请求出点移动几秒时恰好与点之间的距离为个单位？
【题型五 数轴上的动点问题中求定值】
例题：（2022上·湖南长沙·七年级校考期末）如图，线段和在数轴上运动，开始时，点与原点重合，且.
(1)若，且为线段的中点，求点在数轴上表示的数.
(2)在(1)的条件下，线段和同时开始向右运动，线段的速度为个单位/秒，线段的速度为个单位/秒，经过秒恰好有，求的值.
(3)若线段和同时开始向左运动，且线段的速度大于线段的速度，在点和之间有一点(不与点重合)，且有，此时线段为定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由.
【变式训练】
1．（2021上·江苏无锡·七年级校考期末）如图，O为原点，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+2|＋(3a＋b)2＝0．
（1）a＝________，b＝_________；
（2）若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）．
①当点P运动到线段OB上，且PO＝2PB时，求t的值；
②先取OB的中点E，当点P在线段OE上时，再取AP的中点F，试探究的值是否为定值？若是，求出该值；若不是，请用含t的代数式表示．
③若点P从点A出发，同时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点O后立即原速返回向右匀速运动，当PQ＝1时，求t的值．
【题型六 数轴上的动点问题中找点的位置】
例题：已知在纸面上有一数轴（如图所示）．
(1)操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则此时表示数4的点与表示数 的点重合；
(2)操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，回答下列问题：
①表示数9的点与表示数 的点重合；
②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求A，B两点所表示的数分别是多少？
③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当PA+PB＝12时，直接写出x的值．
【变式训练】
1．已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣2，6．
(1)请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B；
(2)若同一时间点M从点A出发以1个单位长度/秒的速度在数轴上向右运动，点N从点B出发以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左运动，点P从原点出发以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动．
①若点P向右运动，几秒后点P到点M、点N的距离相等？
②若点P到A的距离是点P到B的距离的三倍，我们就称点P是【A，B】的三倍点．当点P是【B，A】的三倍点时，求此时P对应的数．
【题型七 数轴上新定义型有关问题】
例题：（2021上·陕西榆林·七年级统考期中）数轴上有A，，三个不同的点，给出如下定义：若其中一个点到其他两个点之间的距离相等时，则称该点是其他两个点的“中点”，这三个点为“中点关联点”．例如在图中的数轴上，点A，，所表示的数分别为1，3，5，此时点是点A，的“中点”．
(1)若点A表示数，点表示数1，当点是点A与点的“中点”时，求点表示的数；
(2)点A表示数，点表示数15，点为数轴上一个动点，若点A，，是“中点关联点”，求此时点表示的数．
【变式训练】
1．（2023上·浙江台州·七年级校联考期中）阅读以下材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”．解答下列问题：
(1)若点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为 ；
(2)若A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A表示的数为 ，点B表示的数为 ；
(3)点A表示的数为，点O为数轴原点，点C，D表示的数分别是，，且B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）．
①设点M表示的数为，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，则m可取得整数有 ；
②若点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离，使得点O可以为点A与点B的“雅中点”，则n的所有整数值为 ．
【题型八 数轴上的动点问题中几何意义最值】
例题：（2022下·广东汕头·七年级统考期末）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．
（ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？
（ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3
∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和，
∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3
∴的最小值是3
请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：
(1)的最小值是______；
(2)利用上述思想方法解不等式：；
(3)当a为何值时，代数式的最小值是2
【变式训练】
1．（2022秋·江苏·七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．
（ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？
（ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3
∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和，
∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3
∴的最小值是3
请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：
(1)的最小值是______；
(2)利用上述思想方法解不等式：；
(3)当a为何值时，代数式的最小值是2
【期末复习培优冲刺】数轴及数轴上的动点问题
【典型例题】
【题型一 用数轴上的点表示有理数】
例题：（2023上·福建漳州·七年级校联考期中）把下列七个数：，2，0，，，，.
(1)分别在数轴上表示出来；
(2)用“<”把这七个数连起来．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）化简每个式子，在数轴上表示出来即可；
（2）根据数轴上表示出来的点排列大小即可；
本题主要考查绝对值，数轴上的点，数轴上点的大小，能把各数准确的在数轴上表示出来并判断大小是解题的关键．
【详解】（1）解：，，
（2）解：根据数轴上表示出来的点得：
【变式训练】
1．（2023上·湖南株洲·七年级统考期中）在数轴上表示下列各数，并用“”把这些数连接起来．
，，0，，．
【答案】，数轴表示见解析
【分析】此题考查的是在数轴上描点及利用数轴比较大小，掌握数轴的画法和数轴上的点从左至右逐渐变大是解决此题的关键．
【详解】解：，数轴如图所示：
用“”把这些数连接：．
2．（2023上·山东临沂·七年级统考期中）在数轴上表示下列各数，并把下列各数用“”号连接起来：
【答案】数轴表示见解析，
【分析】本题考查了有理数的乘方，相反数，绝对值，数轴和有理数的大小比较等知识点，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，先将各数化为最简，然后再将它们在数轴上表示来，最后依据数轴上右边的数大于左边的数比较即可．
【详解】解：，，，，
在数轴上表示下列各数，并把下列各数用“”号连接起来：，0， ，，，．
．
【题型二 数轴上两点之间的距离】
例题：（2023上·四川成都·七年级统考期末）如果点是数轴上表示的点，将点在数轴上向右移动个单位长度到点，则点表示的数为 ．
【答案】2
【分析】根据向右移加，向左移减进行求解即可．
【详解】解：点表示的数是，向右移动个单位长度到点，
点表示的数为：．
故答案为．．
【点睛】本题考查数轴和数轴上两点间的距离，解题的关键是掌握数轴上两点间的距离的计算．
【变式训练】
1．（2021上·甘肃庆阳·七年级统考期中）在数轴上到表示的点距离为5的点所表示的有理数是 ．
【答案】3或/或3
【分析】分在的左边与右边两种情况考虑求解．
【详解】解：到的距离为5的点，在左边的是，右边的是3，
∴到的距离为5的点表示的有理数是3或．
故答案为：3或．
【点睛】本题考查了数轴的知识，注意分在的左边与右边两种情况考虑是解题的关键．
2．（2023上·陕西宝鸡·七年级统考期末）点为数轴上表示的点，若将点沿数轴一次平移一个单位，平移两次后到达点，则点表示的数是 ．
【答案】或或
【分析】讨论每次平移向右或向左平移即可得到答案．
【详解】解：当两次都向左平移时，点B表示的数为；
当两次都向右平移时，点B表示的数为；
当第一次向右，第二次向左或第一次向左，第二次向右平移时，点B表示的数为；
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
【题型三 根据点在数轴的位置判断式子的正负】
例题：（2023下·黑龙江哈尔滨·六年级统考期末）如图，有理数、在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由数轴得出，，再进行逐一判断即可得到答案．
【详解】解：由数轴可得：，，
A、，故原选项错误，不符合题意；
B、，故原选项错误，不符合题意；
C、，故原选项正确，符合题意；
D、，故原选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，由数轴得出，，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·江苏常州·九年级校考期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由数轴得，，然后对各选项进行判断即可．
【详解】解：由数轴得，，
∴，，，，
∴A、B、D、错误，故不符合要求；C正确，故符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负．解题的关键在于从数轴上获取正确的信息．
2．（2023上·重庆綦江·七年级统考期末）若有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意知，进而判断各选项即可．
【详解】解：∵
∴，故选项A错误，不符合要求；
，故选项B错误，不符合要求；
，故选项C错误，不符合要求；
，故选项D正确，符合要求；
故选D．
【点睛】本题考查点在数轴上的位置判断式子的正负，解题的关键在于确定有理数的取值范围．
【题型四 数轴上的动点问题中求运动时间】
例题：（2023上·河南鹤壁·七年级统考期末）数轴上有A，B两点，点B在点A的右边，若点A表示的数为，线段．
(1)点B表示的数为__________；
(2)点P从A点出发，以每秒1个单位长度速度向右运动，点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．若点P，Q同时出发，当P，Q两点重合时对应的数是多少？
(3)在（2）的条件下，P，Q两点运动多长时间相距6个单位长度？
【答案】(1)10
(2)2
(3)当P，Q两点运动2秒或6秒时，P，Q两点相距6个单位长度
【分析】（1）将向右平移12个单位得点B表示的数便可；
（2）设用时t秒两点重合，根据重合时P、Q点表示的数相等，列出方程进行解答便可；
（3）设运动x秒，P，Q两点运动多长时间相距6个单位长度，分两种情况：在相遇前，两点相距6个单位；在相遇后，两点相距6个单位．分别列出方程解答便可．
【详解】（1）解：，
∴点B表示的数是10，
故答案为：10；
（2）设用时t秒两点重合，则
解得，
∴P、Q两点重合时对应的数是：；
（3）设运动x秒，P，Q两点运动多长时间相距6个单位长度，
在相遇前时，有，
解得，
②在相遇后时，有，
解得，
答：P，Q两点运动2秒或6秒相距6个单位长度．
【点睛】本题考查数轴，两点之间的距离，一元一次方程的应用，解答的关键是会表示数轴上的数，找准等量关系，利用分类讨论思想列出对应的一元一次方程．
【变式训练】
1．（2023上·河南郑州·七年级统考期末）已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数，，，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒．
(1)当时，点到点的距离 ______ ；此时点所表示的数为______ ；
(2)当点运动到点时，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点到达点后也停止运动，则点出发秒时与点之间的距离 ______ ；
(3)在（2）的条件下，当点到达点之前，请求出点移动几秒时恰好与点之间的距离为个单位？
【答案】(1)，
(2)3
(3)秒或秒
【分析】（1）利用线段的长点的移动速度点的移动时间，可求出的长；利用点表示的数点的移动速度点的移动时间，可求出点所表示的数；
（2）由点，的出发点、移动方向、移动速度及移动时间，可求出点出发秒时点，表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出此时的长；
（3）当点的移动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，
当移动时间为秒时，；
又点表示有理数，
当移动时间为秒时，点表示的数为．
故答案为：，；
（2）当点出发秒时，点表示的数为，点表示的数为，
此时．
故答案为：；
（3）当点的移动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，
根据题意得：，
即或，
解得：或．
答：在的条件下，当点到达点之前，点移动秒或秒时恰好与点之间的距离为个单位．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【题型五 数轴上的动点问题中求定值】
例题：（2022上·湖南长沙·七年级校考期末）如图，线段和在数轴上运动，开始时，点与原点重合，且.
(1)若，且为线段的中点，求点在数轴上表示的数.
(2)在(1)的条件下，线段和同时开始向右运动，线段的速度为个单位/秒，线段的速度为个单位/秒，经过秒恰好有，求的值.
(3)若线段和同时开始向左运动，且线段的速度大于线段的速度，在点和之间有一点(不与点重合)，且有，此时线段为定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由.
【答案】（1）在数轴上表示的数为38；（2）t=11或35；（3）BP=1,为定值
【分析】（1）根据，AB=8,求出CD的长，再有B为线段AC的中点，求出AC的长，即可求点在数轴上表示的数；
（2）经过t秒，点A为3t, 点B为8+3t, 点C为16+2t,点D为38+2t,写出AC,BD的长，代入AC+BD=24解方程即可；
（3）由，在点和之间有一点，得到AC=AP+PC,DP=CP+CD=CP+3AB-2,化简即可得到结论.
【详解】解：（1）∵，AB=8,
∴CD=3×8-2=22,
∵B为线段AC的中点,
∴AC=16,
∴AD=16+22=38,
∴点在数轴上表示的数为38；
（2）由题意知，经过t秒，点A为3t, 点B为8+3t, 点C为16+2t,点D为38+2t,
∴AC= = ,BD==,
∵AC+BD=24
∴+=24
当0≤t﹤16时，-t+16-t+30=24,解得，t=11,
当16≤t﹤30时, t-16-t+30=24,方程无解，
当30≤t时, t-16+t-30=24,解得t=35,
∴t=11或35；
（3）∵，在点和之间有一点，
∴AC=AP+PC,DP=CP+CD=CP+3AB-2，
∵AB+AP+AC=DP,
∴AB+AP+AP+PC=CP+3AB-2,
∴2AP=2AB-2,
∴AP=AB-1,
∴BP=1,为定值.
【点睛】此题主要考查了线段动点问题，熟练地掌握直线动点知识及解一元一次方程是解决问题的关键.
【变式训练】
1．（2021上·江苏无锡·七年级校考期末）如图，O为原点，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+2|＋(3a＋b)2＝0．
（1）a＝________，b＝_________；
（2）若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）．
①当点P运动到线段OB上，且PO＝2PB时，求t的值；
②先取OB的中点E，当点P在线段OE上时，再取AP的中点F，试探究的值是否为定值？若是，求出该值；若不是，请用含t的代数式表示．
③若点P从点A出发，同时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点O后立即原速返回向右匀速运动，当PQ＝1时，求t的值．
【答案】（1）-2，6；（2）①6，②2，③5.
【详解】试题分析：（1）根据非负数的性质即可求出的值；
（2）①先表示出运动t秒后P点对应的数为，再根据两点间的距离公式得出 ，，利用建立方程，求解即可；
②根据中点坐标公式分别表示出点E表示的数，点F表示的数，再计算
即可；
③分类讨论.
试题解析：
解得：
故答案为
①
解得：
②AP的中点F表示的数是
OB的中点E表示的数是
所以
所以
③
解得：
,解得：
解得：
【题型六 数轴上的动点问题中找点的位置】
例题：已知在纸面上有一数轴（如图所示）．
(1)操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则此时表示数4的点与表示数 的点重合；
(2)操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，回答下列问题：
①表示数9的点与表示数 的点重合；
②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求A，B两点所表示的数分别是多少？
③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当PA+PB＝12时，直接写出x的值．
【答案】(1)-4
(2)①-5；②A、B两点表示的数分别是-3，7；③x的值为-4或8．
【分析】（1）先求出中心点，再求出对应的数即可；
（2）①求出中心点是表示2的点，再根据对称求出即可；②求出中心点是表示2的点，求出A、B到表示2的点的距离是5，即可求出答案；③根据点P在数轴上的位置，分类讨论，当点P在点A的左侧时，当点P在点A、B之间时，当点P在点A的右侧时，根据各种情形求解即可．
【详解】（1）解：∵折叠纸面，使数字1表示的点与-1表示的点重合，可确定中心点是表示0的点，
∴4表示的点与-4表示的点重合，
故答案为∶-4；
（2）解：①∵折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，可确定中心点是表示2的点，
∴表示数9的点与表示数-5的点重合；
故答案为∶ -5；
②∵折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），
∴A、B两点距离中心点的距离为10 ÷2= 5，
∵中心点是表示2的点，
∴A、B两点表示的数分别是-3，7；
③当点P在点A的左侧时，
∵PA+PB＝12，
∴-3-x+7-x=12，
解得x=-4；
当点P在点A、B之间时，此时PA+PB=12不成立，故不存在点P在点A、B之间的情形；
当点P在点A的右侧时，
∵PA+PB＝12，
∴x-(-3)+x-7=12，
解得x=8，
综上x的值为-4或8．
【点睛】本题考查了数轴的应用，能求出折叠后的中心点的位置是解此题的关键．
【变式训练】
1．已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣2，6．
(1)请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B；
(2)若同一时间点M从点A出发以1个单位长度/秒的速度在数轴上向右运动，点N从点B出发以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左运动，点P从原点出发以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动．
①若点P向右运动，几秒后点P到点M、点N的距离相等？
②若点P到A的距离是点P到B的距离的三倍，我们就称点P是【A，B】的三倍点．当点P是【B，A】的三倍点时，求此时P对应的数．
【答案】(1)见解析；
(2)①秒或2秒后点P到点M、点N的距离相等，②P对应数-6或0．
【分析】（1）画出数轴，找出A、B所对应的点即可；
（2）①根据两点间距离表示出MP=2t+2－t=t+2．当点P在点N左侧时，NP=6－5t；当点P在点N左右侧时，NP=5t－6，计算即可；
②根据点P是【B，A】的三倍点，可得PB=3PA．分情况讨论：当点P在A点左侧时，求出点P对应数-6；当点P在A、B之间时，求出点P对应数0，综上可知点P对应数-6或0．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：①MP=2t+2－t=t+2．当点P在点N左侧时，NP=6－5t；当点P在点N左右侧时，
NP=5t－6
∴t+2 =6－5t，得：t=；
或t+2 =5t－6，得：t=2．
即秒或2秒后点P到点M、点N的距离相等，
②∵点P是【B，A】的三倍点，
∴PB=3PA．
当点P在A点左侧时，AB=2PA=8，
∴PA=4，点P对应数-6；
当点P在A、B之间时，AB=4PA=8，
∴PA=2，点P对应数0，
综上可知点P对应数-6或0．
【点睛】本题考查数轴，解题的关键是掌握数轴的三要素及画法，数轴上两点之间的距离，注意对于动点问题需要进行分情况讨论．
【题型七 数轴上新定义型有关问题】
例题：（2021上·陕西榆林·七年级统考期中）数轴上有A，，三个不同的点，给出如下定义：若其中一个点到其他两个点之间的距离相等时，则称该点是其他两个点的“中点”，这三个点为“中点关联点”．例如在图中的数轴上，点A，，所表示的数分别为1，3，5，此时点是点A，的“中点”．
(1)若点A表示数，点表示数1，当点是点A与点的“中点”时，求点表示的数；
(2)点A表示数，点表示数15，点为数轴上一个动点，若点A，，是“中点关联点”，求此时点表示的数．
【答案】(1)
(2)40或或
【分析】（1）根据题意求得与的关系，得出答案；
（2）分点P为A、B的中点关联点，A为P、B的中点关联点，B为A、P的中点关联点列式解答即可．
【详解】（1）解：因为点A表示数，点表示数1，且点是点与点的中点，
所以，
所以点表示的数为；
（2）解：分三种情况：
①若点是点，的“中点”则点表示的数是：15+[5-(-5)]=40；
②若点是点，的“中点”则点表示的数是：15-[15-(-10)]/2=2.5；
③若点是点，的“中点”则点表示的数是：-10+[15-(-5)]=-35．
故点表示的数为40或或．
【点睛】本题考查了数轴及数轴上两点的距离，理解新定义，分类讨论是解题关键．
【变式训练】
1．（2023上·浙江台州·七年级校联考期中）阅读以下材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”．解答下列问题：
(1)若点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为 ；
(2)若A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A表示的数为 ，点B表示的数为 ；
(3)点A表示的数为，点O为数轴原点，点C，D表示的数分别是，，且B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）．
①设点M表示的数为，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，则m可取得整数有 ；
②若点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离，使得点O可以为点A与点B的“雅中点”，则n的所有整数值为 ．
【答案】(1)
(2)，
(3)①，②，，
【分析】（1）根据新定义求解；
（2）根据新定义设未知数列方程求解；
（3）①依题意，设B表示的数为，根据新定义得，再结合m为整数，即可作答；
②依题意，得点C和点D分别表示的数为，，根据新定义列不等式组求解，结合n为整数，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，得，
所以则点M表示的数为；
故答案为：；
（2）解：设点A表示的数为，
因为A、B两点的距离为9（A在B的左侧），
所以点B表示的数为，
因为A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，
故，
解得，那么，
所以点A表示的数为，点B表示的数为，
故答案为：；
（3）解：①依题意，设B表示的数为，
因为设点M表示的数为，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，
所以，
因为m为整数，
所以为整数，
则或
故整数m的值为：，，
故答案为：；
②因为点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离，
所以点C和点D分别表示的数为，，
∵O可以为点A与点B的“雅中点”，
∴，
故，
因为B为线段上一点（点B可与C、D两点重合），
所以B表示的数为，
所以，
即，
解得，
因为n为整数，
则，，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴，结合数形结合思想、方程思想和不等式思想都是解题的关键．
【题型八 数轴上的动点问题中几何意义最值】
例题：（2022下·广东汕头·七年级统考期末）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．
（ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？
（ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3
∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和，
∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3
∴的最小值是3
请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：
(1)的最小值是______；
(2)利用上述思想方法解不等式：；
(3)当a为何值时，代数式的最小值是2
【答案】(1)5
(2)或
(3)-2或-6
【分析】（1）把原式转化看作是数轴上表示x的点与表示3与-2的点之间的距离最小值，进而问题可求解；
（2）根据题意画出相应的图形，然后根据数轴可直接进行求解；
（3）根据原式的最小值为2，得到表示4的点的左边和右边，且到4距离为2的点即可．
【详解】（1）解：，表示到与到的距离之和，
点在线段上，，
当点在点的左侧或点的右侧时，，
的最小值是5；
（2）解：如图所示，满足，表示到和1距离之和大于4的范围，
当点在和1之间时，距离之和为4，不满足题意；
当点在的左边或1的右边时，距离之和大于4，
则范围为或；
（3）解：当为或时，代数式为或，
数轴上表示数2的点到表示数4的点的距离为，数轴上表示数6的点到表示数4的点的距离也为，
因此当为或时，原式的最小值是．
【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·江苏·七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．
（ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？
（ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3
∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和，
∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3
∴的最小值是3
请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：
(1)的最小值是______；
(2)利用上述思想方法解不等式：；
(3)当a为何值时，代数式的最小值是2
【答案】(1)5
(2)或
(3)-2或-6
【分析】（1）把原式转化看作是数轴上表示x的点与表示3与-2的点之间的距离最小值，进而问题可求解；
（2）根据题意画出相应的图形，然后根据数轴可直接进行求解；
（3）根据原式的最小值为2，得到表示4的点的左边和右边，且到4距离为2的点即可．
【详解】（1）解：，表示到与到的距离之和，
点在线段上，，
当点在点的左侧或点的右侧时，，
的最小值是5；
（2）解：如图所示，满足，表示到和1距离之和大于4的范围，
当点在和1之间时，距离之和为4，不满足题意；
当点在的左边或1的右边时，距离之和大于4，
则范围为或；
（3）解：当为或时，代数式为或，
数轴上表示数2的点到表示数4的点的距离为，数轴上表示数6的点到表示数4的点的距离也为，
因此当为或时，原式的最小值是．
【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题是解题的关键．
