2022-2023上海市普陀区重点中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市普陀区重点中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在一次试验中，测得的五组数据分别为，，，，，去掉一组数据后，下列说法正确的是( )
A. 样本数据由正相关变成负相关 B. 样本的相关系数不变
C. 样本的相关性变弱 D. 样本的相关系数变大
2. 在直角坐标平面内，点，的坐标分别为，，则满足为非零常数的点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
3. 如图所示的是函数的大致图象，则等于( )
A. B. C. D.
4. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的半焦距为，且满足，点为双曲线右支上一点，为的内心，若成立表示面积，则实数( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
5. 过点且平行于直线的直线方程为______ ．
6. 若，则 ______ ．
7. 一个袋子中装有个红球和个白球除颜色外其余均相同，现从中随机摸出个球，则摸出的个球中至少有个是红球的概率为______．
8. 从名男生和名女生中抽取两人加入志愿者服务队用表示事件“抽到的两名学生性别相同”，用表示事件“抽到的两名学生都是女生”，则 ______ 结果用最简分数表示
9. 以抛物线的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为______ ．
10. 受新冠肺炎的影响，部分企业转型生产口罩，如表为某小型工厂月份生产的口罩数单位：万
若与线性相关，且回归直线方程为，则表格中实数的值为______ ．
11. 已知椭圆：的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于、两点点在第二象限，若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是______．
12. “东哥”上班的路上有个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则他在上班的路上至少遇到次绿灯的概率为______ ．
13. 设是圆与圆在第一象限的交点，则的值为______ ．
14. 如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、若为等边三角形，则双曲线的离心率为_________．
15. 已知抛物线：，圆：，点的坐标为，、分别为、上的动点，且满足，则点的横坐标的取值范围是______ ．
16. 已知实数、、、满足，则的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
记函数的定义域为集合，函数的定义域为集合．
求和；
若，，求实数的取值范围．
18. 本小题分
已知直线：，：．
Ⅰ若，求实数的值；
Ⅱ当时，求直线与之间的距离．
19. 本小题分
某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分数据，统计结果如表所示．
组别
频数
已知此次问卷调查的得分，近似为这人得分的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，求；
附：若，则，，，
在的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；
每次赠送的机制为：赠送元话费的概率为，赠送元话费的概率为．
现市民甲要参加此次问卷调查，记该市民参加问卷调查获赠的话费为元，求的分布及期望．
20. 本小题分
已知椭圆：过点记椭圆的左顶点为，右焦点为．
若椭圆的离心率，求的范围；
已知，过点作直线与椭圆分别交于，两点异于左右顶点连接，，试判定与是否可能垂直，请说明理由；
已知，设直线的方程为，它与相交于，若直线与的另一个交点为证明：．
21. 本小题分
已知函数，
若时，取得极值，求实数的值；
当时，求在上的最小值；
若对任意，直线都不是曲线的切线，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，散点图如图所示，
在个数据中去掉 后，与的相关性加强．所以样本相关系数变大，
故选：．
根据题意，由数据作出散点图，再根据散点图分析判断得解．
本题考查两个变量的线性相关，涉及相关系数的定义，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：设，则由题意，，
化简可得，
故选C．
设，则由题意，，化简可得结论．
本题考查直接法求轨迹方程，考查斜率公式的运用，属于中档题．
3.【答案】
【解析】解：由图象知的根为，，，．
．
的两个根为和，．
．
，为的两根，．
．
故选：．
由图象知的根为，，，求出函数解析式，，为导函数的两根，可结合根与系数求解．
本题考查了识图能力，以及极值与导数的关系
4.【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以，解得，
因为，所以，
设内切圆半径为，
因为为的内心，成立表示面积，
所以，
所以，
因为点为双曲线右支上一点，所以，
所以，
所以，
所以，
故选：．
由可求出双曲线的离心率，设内切圆半径为，则由可得，而，则，从而可求出的值．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：设与直线平行的直线方程为，把点代入可得，，
故所求的直线的方程为，
故答案为．
设与直线平行的直线方程为，把点代入求得的值，即可求得所求的直线的方程．
本题主要考查利用待定系数法求直线的方程，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，
则，
故．
故答案为：．
先对求导，再结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：一个袋子中装有个红球和个白球除颜色外其余均相同，
现从中随机摸出个球，
基本事件总数，
摸出的个球中至少有个是红球包含的基本事件个数，
摸出的个球中至少有个是红球的概率．
故答案为：．
基本事件总数，摸出的个球中至少有个是红球包含的基本事件个数，由此能求出摸出的个球中至少有个是红球的概率．
本题考查概率的求法及应用，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意可知，．
故答案为：．
根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：因为抛物线的焦点，准线，
故所求圆的圆心，半径为，
故圆的方程为．
故答案为：．
先确定出圆的圆心及半径，进而可求圆的方程．
本题主要考查了抛物线的性质，直线与圆相切的性质，圆方程的求解，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，故，
故，
故，
故答案为：．
根据线性回归直线方程经过样本中心，将代入求解．
本题主要考查了线性回归方程的求解，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：椭圆：的右焦点为，
直线经过椭圆右焦点，交椭圆于、两点点在第二象限，
若点关于轴对称点为，且满足，
可知直线的斜率为，所以直线的方程是：，
即．
故答案为：．
求出椭圆的右焦点坐标，利用已知条件求出直线的斜率，然后求解直线方程．
本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与直线的对称关系的应用，直线方程的求法，是基本知识的考查．
12.【答案】
【解析】解：由题意，他在上班路上遇到绿灯的次数服从二项分布，即，
则他至少遇到两次绿灯的概率
．
故答案为：．
遇到绿灯的次数服从二项分布，据此求解即可．
本题考查服从二项分布随机变量的概率，属基础题．
13.【答案】
【解析】解：圆与圆，
则两圆相减可得，两圆的公共弦方程，，
是圆与圆在第一象限的交点，
则点在两圆公共弦方程上，
当时，直线趋向于，即，
故的值为．
故答案为：．
根据已知条件，先求出两圆的公共弦方程，
本题主要考查极限及其运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．
设的边长为，则由双曲线的定义，可求的值，在中，由余弦定理，可得结论．
【解答】
解：设的边长为，
则由双曲线的定义，可得，
，
，，
，
在中，，，
，，
由余弦定理可得
，
，，
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：由抛物线：，可得焦点，准线方程为，
由圆：，可得圆心即为抛物线的焦点，
，
，
，，
，
，
解得，
点的横坐标的取值范围是
故答案为：
由已知可得，进而可得，求解即可．
本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：由得，
设，，
则是上的一点，是上一点，
则，
，，
由得，
由得，
作出函数和的图象，
设与平行的直线方程为，
当与相切时，
设切点为，则，
则，则当时方程成立，此时，
即切点为，此时切线方程为，
则直线，的距离，
则的最小值为，
即的最小值为．
故答案为：．
由绝对值的性质得，，构造函数，，利用两点间的距离公式进行转化求解即可．
本题主要考查函数最值的求解，根据绝对值的性质得到两个等量关系，构造函数，利用两点间的距离公式进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
17.【答案】解：依题意，得或，
，或，
．
由，得，而，
，
．
【解析】利用真数大于零、偶次根式的被开方数非负列不等式是解决本题的关键；准确求解一元二次不等式、含绝对值的不等式是解决本题的前提．
用字母表示出集合，借助数轴分析列出关于实数的不等式是解决本题的关键．
本小题主要考查了函数定义域的求解，不等式的基本解法，集合交并运算的求解．考查学生等价转化的思想、数形结合的思想．
18.【答案】解：Ⅰ直线：，：．
若，则，
解得实数．
Ⅱ当时，，
解得，
直线：，：，即：
直线与之间的距离：．
【解析】本题考查两平行线间的距离的求法，考查直线与直线垂直、直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
Ⅰ由，得，由此能求出实数．
Ⅱ当时，，求出，由此能求出直线与之间的距离．
19.【答案】解：根据题中的统计表，结合题设中的条件，可得：
，
又由，
所以．
根据题，可得所得话费可能的值有，，，元，
其中；；
；，
所以随机变量的分布列为：
所以期望为．
【解析】根据题中的统计表，求得，结合，进而求得的值．
根据题得到话费可能的值有，，，元，根据互斥事件与独立事件的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列以及方差，属于中档题．
20.【答案】解：在椭圆上，
，可得，
；
垂直，理由如下：
且椭圆过，
，因此椭圆方程为，
由题意得，假设，
设，
则，
由，得 ，
即，
又点在椭圆上，则，
联立消去，得，
则 为左顶点不符合题意舍，，
所以与垂直．
证明：设，，，
由知椭圆方程为，与直线的方程 联立消去，
并整理得，
可得，
又点 在直线上，
，
，
，
又直线 的方程为与椭圆方程为联立消去，
，整理得，
所以，于是可得，即，
从而， 两点关于 轴对称，因此．
【解析】先根据在椭圆上，得到，的关系，再结合离心率的范围可以求得的范围；
假设，向量数量积为，可以求得点坐标，可以确定与垂直；
设点后联立直线和椭圆方程，再消参数得出横坐标关系，即可得出结论．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：，又时取得极值，
，解得．
．
当时，；
当时，．
在时取得极小值，故符合．
当时，对恒成立，在上单调递增，
，
当时，由解得，
若，则，
在上单调递减．
若，则，
在上单调递增．
在时取得极小值，也是最小值，即．
综上所述，．
任意，直线都不是曲线的切线，
对恒成立，
即的最小值大于，
而的最小值为，
，故．
【解析】利用，再验证在的左右两侧的符号是否异号即可；
对于分类讨论当时与时，利用的单调性即可得出；
任意，直线都不是曲线的切线，对恒成立，即的最小值大于，解出即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．
第1页，共1页