2023年黑龙江省哈尔滨市南岗区虹桥中学中考数学二模试卷（含解析）

2023年黑龙江省哈尔滨市南岗区虹桥中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的倒数是( )
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 如图，该几何体是由六个小正方体组合而成的，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线的解析式是( )
A. B.
C. D.
6. 如图，四边形是的内接四边形，连接、，，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，堤坝高为米，则迎水坡面的长度是( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8. 某种衬衫的价格经过连续两次的降价后，由每件元降到元，则平均每次降价的百分率是( )
A. B. C. D.
9. 点在反比例函数上，下列各点在此函数上的是( )
A. B. C. D.
10. 如图所示，在中，若，，则下列比例式正确的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 把用科学记数法表示为______ ．
12. 在函数中，自变量的取值范围是______．
13. 分解因式：______．
14. 计算： ______ ．
15. 抛物线的顶点坐标是______．
16. 不等式组的最大整数解是______ ．
17. 从名男生和名女生中随机选出人讲题，恰好选出一男一女的概率是______ ．
18. 扇形的半径为，扇形的弧长，则该扇形的圆心角为______ 度
19. 已知：正方形的边长为，点是直线上一点，若，则的值是______ ．
20. 已知：中，，，点是中点，点、在上，，，连接，，则的长为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. 本小题分
先化简，再求代数式的值，其中．
22. 本小题分
如图，在小正方形的边长均为的方格纸中，有线段，点，均在小正方形的顶点上．
在图中将线段绕点逆时针旋转得到，连接，画出；
在图中画以为底的等腰，其面积等于面积倍，点在小正方形的顶点上，并直接写出的值 ______ ．
23. 本小题分
为了了解虹桥中学九年级身高情况，随机抽取了部分身高进行调查，利用所得数据绘成如下统计表和如图所示的频数分布直方图；
频数分布表
身高分组 频数 百分比
总计
填空： ______ ；
通过计算补全频数分布直方图；
该校九年级一共有名学生，估计身高不低于的学生大约有多少名？
24. 本小题分
已知，在中，，点、点分别为、的中点，．
如图，求证：四边形是矩形；
如图，若点是上一动点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与四边形面积相等的三角形和四边形．
25. 本小题分
新华公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用元，若用元购买台灯和用元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半；
求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？
经商谈，商店给予新华公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果新华公司需要手电筒的个数是台灯个数的倍还多个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过元，那么新华公司最多可购买多少个该品牌台灯？
26. 本小题分
圆内接，是圆的切线，点为切点，．
如图，连接，求证：；
如图，当为直径，点在弧上，连接、、时；求证：．
如图，在的条件下，连接与交于点，连延长与交于点，：：，，求的长．
27. 本小题分
已知：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线过点，且交轴于点，交轴于点．
求直线的解析式；
如图，点是线段上的点，点的横坐标为，连接，的面积为，求与的函数关系式；不要求写自变量的取值范围
在的条件下，点是线段上的一点，连接并延长，在的延长线上取一点，使，连接，且，连接并延长，交于点，是线段上一点连接，交于点，：：，且，连接，求线段的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义求解．
本题考查了倒数，倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
2.【答案】
【解析】解：、，故原题计算错误；
B、，故原题计算错误；
C、，故原题计算正确；
D、，故原题计算错误；
故选：．
根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可．
此题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、单项式与多项式相乘，关键是熟练掌握各计算法则．
3.【答案】
【解析】解：、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形，又是中心轴对称图形，不符合题意．
故选：．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义．
4.【答案】
【解析】解：从上面看底层是两个小正方形，上层是三个小正方形，
故选：．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
5.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】
解：将抛物线向左平移个单位长度所得抛物线解析式为：，即；
再向下平移个单位为：，即．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
由圆周角定理可求解的度数，再利用平行线的性质可求解．
本题主要考查圆周角定理，平行线的性质，求解的度数是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
根据解直角三角形的知识可知：，即可求出．
本题考查了解直角三角形的应用，属于基础题，掌握三角函数的定义是解答本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：设平均每次降价的百分率为，
则可以得到关系式：，
解得或，
不符合题意，舍去，
故．
答：平均每次降价的百分率是．
故选C．
如果价格每次降价的百分率为，降一次后就是降到价格的倍，连降两次就是降到原来的倍．则两次降价后的价格是，即可列方程求解．
本题考查数量平均变化率问题．原来的数量价格为，平均每次增长或降低的百分率为的话，经过第一次调整，就调整到，再经过第二次调整就是增长用“”，下降用“”．
9.【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标的特征，即纵横坐标的积为常数，在反比例函数上，，利用验证法只有合适．
考查反比例函数图象上点的坐标的特征，即纵横坐标的积为常数，由题意，逐项验证即可，用验证法或排除法．
【解答】
解：在反比例函数上，
选项正确，
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案．
【解答】
解：，，
．
故选C．
【点评】
本题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用，掌握平行线分线段成比例定理并找准对应关系是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：把用科学记数法表示为．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
12.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为．
根据分式有意义的条件是分母不为；分析函数解析式可得关系式，解得答案．
本题考查求解析法表示的函数的自变量取值范围，注意当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为．
13.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
15.【答案】
【解析】解：抛物线，
该抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16.【答案】
【解析】解：由，得：；
由，得：，
不等式组的解集为：；
最大整数解是；
故答案为：．
分别求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集，最后求出最大整数解即可．
本题主要考查了求不等式组的解集及其最大整数解，正确求出不等式组的解集是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：从名男生和名女生中随机选出人共有种选法：男，男，男，女，男，女，男，女，男，女，女，女，
其中恰好选出一男一女的选法有种，分别为：男，女，男，女，男，女，男，女，
恰好选出一男一女的概率是为：，
故答案为：．
根据题意，列举出所有可能的选法，再找出满足题意的选法，再利用概率公式计算即可．
本题考查了利用列举法求概率，解本题的关键在找出所有等可能情况，并熟练掌握概率公式．
18.【答案】
【解析】解：根据，
解得：，
故答案为：．
直接利用弧长公式即可求出的值，计算即可．
本题考查了扇形弧长公式计算，注意公式的灵活运用是解题关键．
19.【答案】或
【解析】解：此题有两种可能：
，，
，
，
；
，，
，
，，
．
故答案为：或．
本题可以利用锐角三角函数的定义、勾股定理以及正方形的性质求解．
本题考查了正方形的性质，掌握锐角三角函数的定义、勾股定理以及正方形的性质是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：，，
，
，
∽，
，即，
如图：取的中点，连接，
点是中点，
，，即，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由三角形外角的性质可得，结合可得，进而说明∽，即；取的中点，连接，则是的中位线，进而得到，然后运用勾股定理可得，进而得到，最后代入即可解答．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
21.【答案】解：，
；
当时，
原式
【解析】先利用分式的混合运算法则将代数式进行化简，然后再求出的值，最后后代入原式即可解答．
本题主要考查了分式的化简求值、三角函数的混合运算等知识点，正确运用分式的混合运算法则化简分式是解答本题的关键．
22.【答案】
【解析】解：如图，即为所求．
由图可知，，，
面积为，
等腰的面积为．
如图，等腰即为所求．
由图可得，．
故答案为：．
根据旋转的性质作图即可．
根据题意可得，等腰的面积为，取格点，使即可；再由锐角三角函数的定义可得答案．
本题考查作图旋转变换、等腰三角形的判定、解直角三角形，熟练掌握旋转的性质、等腰三角形的判定、解直角三角形是解答本题的关键．
23.【答案】
【解析】解：人，，
故答案为：；
的人数为：人，补全图形如下：
人，
答：估计身高不低于的学生有人．
用的频数除以所占百分比可以求得调查的学生总数，从而可以求得的值；
用所占的百分比乘以总人数得到的人数，从而补全频数分布直方图；
用九年级总人数乘以身高不低于的学生所占的百分比即可．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、频数分布表，解题的关键是从统计图表中有效的获取信息，利用频数除以百分比求出总数．
24.【答案】证明：点、点别是、的中点，
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，为的中点，
，
四边形是矩形；
解：四边形是矩形，
，，
，，
四边形面积．
【解析】首先得到四边形是平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判断矩形即可；
由矩形的性质得到，，得到，，即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，三角形的中位线的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．
25.【答案】解：设一个手电筒元，则一个台灯元，
根据题意，可得：，
解得，
经检验是原方程的解，
，
购买一个台灯需要元，购买一个手电筒需要元；
设购买台灯的个数为个，还需要购买手电筒的个数是个，
根据题意得：，
解得：，
，
新华公司最多可购买个该品牌台灯．
【解析】设一个手电筒元，则一个台灯元，再根据购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半，列出方程求解即可；
设购买台灯的个数为个，还需要购买手电筒的个数是个，再根据该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过元，列出不等式求解即可．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准数量关系是解题的关键．
26.【答案】证明：如图，连接并延长交于点，
是切线，为半径，
，
；
证明：在上取一点，使得，
与所对的是，
，
又由得，且是直径，为圆心，
是的垂直平分线，
，
，
≌，
，
又是直径，
，
，
是等腰直角三角形，
，
又，
；
解：过点作于，过点作于，
设，则，
，
，
，
，，
，
≌，
，
，
设，则，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得舍，，
，，，，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，，
在中，．
【解析】如图，连接并延长交于点，根据切线的性质得到根据平行线的性质即可得的答案；
在上取一点，使得根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到是的垂直平分线，求得，根据全等三角形的性质得到，推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论；
过点作于，过点作于，设，则，根据全等三角形的性质得到，求得，设，则，根据平行线的性质得到，根据勾股定理得到舍，，根据相似三角形的性质得到，，，根据勾股定理即可得到结论．
本题是圆的综合题，考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形及勾股定理，勾股定理，平行线的性质，是一道综合性大题，通过本题，我们要学习到线段长度的求法，以及几何图形的性质在实际问题的应用，切线的性质，全等及相似的构造成为解决本题的关键．
27.【答案】解：把，代入直线，
得，
解得，
；
由题意可得，，
当时，，
，，
；
当时，，
，
，
，
，
，
，
，
在上截取点，使，过点作于，
，
，
，
，，
≌，
，
，即，
如图，过点作轴于，
，
，
∽，
，
设，则，
，，
：：，
，
，
在中，由勾股定理可得，
在中，，
，
，
，
，
，，
，，
，
如图，过点作于，
，
，
，
，
由勾股定理得，
，
，
如图，过点作于，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得舍，，
，
如图，过点作轴垂线于，过点作轴于，
由点在直线上，则，
，
，
，
，，
在中，由勾股定理得．
【解析】将点，的坐标代入直线，解之即可；
由题意可得，，当时，，所以，，由三角形的面积公式可得结论；
当时，，所以，则；在上截取点，使，过点作于，易证≌，所以，；过点作轴于，可得∽，设，所以，则，，，则，偶一，在中，由勾股定理可得；在中，，所以，所以；过点作于，在等腰，，由勾股定理可得；过点作于，可得是等腰直角三角形，所以，；在中，由勾股定理得，得出方程，解得，舍，所以，因为点在直线上，所以；过点作轴垂线于，易得，过点作轴于，所以，，在中，由勾股定理可得结论．
本题主要考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质和判定，三角函数的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
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