2022-2023湖南省邵阳市新邵县七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省邵阳市新邵县七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 化简：的结果是( )
A. B. C. D.
2. 多项式中各项的公因式是( )
A. B. C. D.
3. 用加减法解方程组时，要使方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形，以下四种变形正确的是( )
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 的结果是( )
A. B. C. D.
6. 若，，则( )
A. B. C. D.
7. 如图，在三角形中，点，，分别在，，上，连接，，，下列条件中，能推理出的是( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图，，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
9. 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：你根据图乙能得到的数学公式是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，设他们中有个成人，个儿童根据图中的对话可得方程组( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 若，则 ______ ．
12. 已知、满足方程组，则的值为______．
13. 把多项式因式分解的结果是______．
14. 已知是二元一次方程的一组解，则______．
15. 用整式的乘法公式计算： ______ ．
16. 市三中七年级学生开展义务植树活动，参加者是未参加者人数的倍，若该年级人数减少人，未参加人数增加人，则参加者是未参加者人数的倍，则该校七年级学生共有______ 人
17. 对有序数对定义“运算”：，其中，为常数．运算的结果也是一个有序数对，比如当，时，若，则______．
18. 如图，，，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
19. 先化简，再求值：，其中，．
四、解答题（本大题共7小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. 本小题分
解方程组：．
21. 本小题分
计算：
；
．
22. 本小题分
将下列各式因式分解：
；
．
23. 本小题分
先阅读，再分解因式：，按照这种方法把多项式分解因式．
24. 本小题分
为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，邵阳市举办了第届青少年机器人竞赛组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共个，若桌子腿数与凳子腿数的和为条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？
25. 本小题分
数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值．
请结合他们的对话，解答下列问题：
按照小云的方法，的值为______，的值为______．
老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值．
26. 本小题分
如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点，满足．
试问，，满足怎样的数量关系？
解：由于点是平行线，之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论：如图，当点在的左侧时，，，满足数量关系为______，如图，当点在的右侧时，，，满足数量关系为______．
如图，，分别平分和，且点在左侧．
若，则______．
猜想与的数量关系，并说明理由；
如图，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，，与的角平分线交于点；此次类推，则与满足怎样的数量关系？直接写出结果
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
直接利用，单项式乘以单项式的运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，进而得出答案．
此题主要考查了单项式乘以单项式，正确把握运算法则是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：由于，
因此多项式中各项的公因式是，
故选：．
将每一项写成几个单项式积的形式即可．
本题考查公因式，理解公因式的定义是正确解答的前提．
3.【答案】
【解析】
【分析】
此题比较简单，考查的是用加减消元法求二元一次方程组的解时对方程进行合理变形的方法．根据加减消元法适用的条件将方程进行适当变形，使方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数即可．
【解答】
解：把的系数变为相等时，，得，，
把的系数变为相等时，，得，．
故选C．
4.【答案】
【解析】解：，
选项A不正确；
，
选项B正确；
，
选项C不正确；
选项D不正确．
故选：．
：根据同底数幂的乘法法则判断即可．
：平方差公式：，据此判断即可．
：根据幂的乘方的计算方法判断即可．
：根据合并同类项的方法判断即可．
此题主要考查了平方差公式，要熟练掌握，应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方；公式中的和可以是具体数，也可以是单项式或多项式；对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：底数必须相同；按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
此题还考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：是正整数；是正整数．
此题还考查了合并同类项的方法，要熟练掌握．
5.【答案】
【解析】解：，
故选C．
首先利用积的乘方化简，进而利用同底数幂的乘法运算法则得出即可．
此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：联立得：
解得：，，
则．
故选：．
联立已知两方程求出与的值，即可求出的值．
此题考查了解二元一次方程组，求出与的值是解本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：由，不能判定，
故A不符合题意；
，
，
故B不符合题意；
，
，
故C符合题意；
，
，
故D不符合题意；
故选：．
根据平行线的判定定理求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
8.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．由邻补角定义得到与互补，再由与互补，利用同角的补角相等得到，利用同位角相等两直线平行得到与平行，利用两直线平行同旁内角互补得到与互补，而与对顶角相等，由的度数求出的度数，进而求出的度数．
【解答】
解：，，
，
，
，
．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：大正方形的面积，
还可以表示为，
．
故选：．
根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积．
正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平方公式的理解能力．
10.【答案】
【解析】解：设他们中有个成人，个儿童，根据题意得：，
故选：．
题目中的等量关系为：、大人数儿童数；、大人票钱数儿童票钱数，据此求解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是从题目中找到两个等量关系并根据等量关系列出方程．
11.【答案】
【解析】解：，
，
则．
故答案为．
根据同底数幂的乘法法则计算即可．
本题考查了同底数幂的乘法问题，关键是根据法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答．
12.【答案】
【解析】解：，
得：，
故答案为：．
方程组两方程相加即可求出所求式子的值．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
13.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：把代入方程得，，
，
故答案为：．
把代入方程得出，再代入求出答案即可．
本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解与二元一次方程的关系是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：
原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：设参加者有人，未参加者有人，根据题意得：
，
解得：，
则该校七年级学生共有人．
故答案填：．
可设参加者有人，未参加者有人，根据参加者是未参加者人数的倍可列出一个方程，再根据该年级人数减少人，未参加人数增加人，则参加者是未参加者人数的倍可列出第二个方程，求方程组的解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
17.【答案】
【解析】解：，
，解得，
，
故答案为：．
根据定义“运算”列方程组即可求出、，从而可得答案．
本题考查解二元一次方程组，涉及新定义，解题的关键是根据“运算”，列出关于、的方程组．
18.【答案】
【解析】解：由平移的性质可知：，，
，
阴影部分的周长，
故答案为：．
根据平移的性质得到，，根据周长公式计算，得到答案．
本题考查的是平移的性质，平移不改变图形的形状和大小、经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．
19.【答案】解：原式，
，
，
当、时，原式．
【解析】根据完全平方公式及整式的混合运算，将原式化简为，代入、的值即可求出结论．
本题考查了整式的化简求值，利用完全平方公式结合整式的混合运算，将原式化简成是解题的关键．
20.【答案】解：，得，解得．
将代入，得．
所以，原方程组的解为
【解析】由于方程组的两个方程中的系数成整倍数关系，可将，消去未知数，得到关于的一元一次方程，进而求解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
21.【答案】解：原式；
原式．
【解析】直接利用平方差公式以及单项式乘以多项式计算得出答案；
直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式计算得出答案．
此题主要考查了平方差公式以及完全平方公式，正确应用公式是解题关键．
22.【答案】解：；
．
【解析】利用平方差公式分解即可；
先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
23.【答案】解：，
，
，
，
．
【解析】根据材料，找出规律，再解答．
此题要综合运用配方法，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式并读懂题目信息是解题的关键．
24.【答案】解：设每个比赛场地有张桌子，条凳子，
依题意得：，
解得：，
答：每个比赛场地有张桌子和条凳子．
【解析】设每个比赛场地有张桌子，条凳子，根据四条腿的桌子和三条腿的凳子共个，桌子腿数与凳子腿数的和为条，列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
25.【答案】
【解析】解：，得，
把代入，得，
解得，
故答案为：；；
，得，
即，
，
，
，
解得．
根据题意列方程组求解即可；
利用整体代入的方法求解即可．
本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握消元以及整体代入的思想方法是解答本题的关键．
26.【答案】
；
如图，，分别平分和，
设：，，
则，
，
即：；
同理可得：，，
，
故：．
【解析】解：如图，过点作，
则，
故答案为：；
同理可得：，
故答案为：；
，则，
由知，
而，，
故，
故答案为；
见答案．
过点作，利用平行线的性质即可求解；
设：，，则，，，，即可求解．
本题主要考查了平行线的性质，平行公理和及推论等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，是解此题的关键．
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